多变量积分学

1、多变量积分学前言正如定积分源于平面几何图形的面积计算一样，多元函数的积分 学产生背景也是人类在认识自然的活动过程中所遇到的各种几何或物 理问题。例1质量分布问题1) 平面图形上质量的分布： 设平面区域二上分布有质量(密度非均匀)，计算其质量。首先将其抽象为数学问题，即进行数学化处理：将平面区域匚放在二维坐标系中，对应区域仍记为二，设已知密度函数f (x, y),(x,y)匚，求质量 m。我们从最简单的情况出发，逐步得到一般情况下的公式。这是解 决实际问题的一般程序。i) 、特殊情况最简单、特殊的情形是均匀密度的质量分布，此时 f (x, y) =，故 mS.( S"之面积)。ii)

2、、一般情况现在设考虑非均匀密度的质量分布。设密度函数为f (x,y)，如何求质量?常规的思路：将一般、复杂的情形转化为简单、特殊的情形来处 理。方法：分割近似求和法。具体过程：1、 n分割二：氏，则当分割很细时,f (x, y)(密 度)在":;"i 上变化不大，因而，可在":;"i 上视为常密度的均匀质量分布， 对应的质量块可由i)中的公式近似计算。2、近似计算:任取i,氏i,则mf( i,)心，(这里壮i也代表厶6的面积)，因而m 7、f( i, ip-i。3:取极限：采用定积分思想，可设想：m =lim a f(：, Ji，. jo为分割细度。这样

3、，平面上质量分布问题在数学上就是上述形式的二元函数的和式极限问题。2）、空间区域的质量分布：类似，在一个空间区域上密度非均匀的质量分布问题，也可表示 为类似的上述极限问题：m =limf （ , i,，其中,V是对应 于3D坐标系下的空间区域，f（x,y,z）定义在V上为已知的密度函数，W为分割后的第i个小区域，f（ i, i,，d为分割细度。数学上：空间区域的质量分布问题是三元函数的和式极限的问题。3）：空间曲线（曲面）上的质量分布：类似的方法，可以给出其他情况下质量分布的计算公式。空间曲线的质量分布：m =lim 7 f （1,；空间曲面的质量分布：m=dm fG,3,4）3上述问题的结果

4、具有共同的实质，数学上，它们都是多元函数某 种和式的极限问题。相似的问题还出现在几何问题中。例2:计算空间区域V的体积V。类似平面任意几何图形的面积的计算。将空间区域V放在3D坐标下，作其在xoy面内的投影区域'.1，以二】为准线，平行于z轴的直 线为母线作柱面，它与 V有一条交线l，通过l作V的表面分为上半 部分S2和下半部分Si，则V的体积可转化为以S2为顶，以门为底的 曲顶柱体的体积减去以0为顶，以门为底的曲顶柱体的体积。因此， V的体积的计算就转化为曲顶柱体体积的计算，为此，我们先计算如 图曲顶柱体的体积。已知曲顶所在的曲面方程为 z=f（x,y）,曲顶在xoy坐标平面的投影

5、区域为门，计算此曲顶柱体的体积 V。仍采用积分思想。由于与此相近的柱体的体积计算公式是已知的： 底面积x高。故，可以通过分割近似求和来处理。n分割i | ： y“2,“儿；对应曲面S有一个分割：.0, .$,厶Sn，任取，对应的体积可用柱体体积来近似：f( i, ip-i ,故vf(i, i)®j，这和平面区域上质量的分布计算公式具有相同特征。由此可以看出：物理上和几何上都提出了在数学上实质相同的一 类问题，把其具体的背景去掉，抽取其数学上的本质，进行研究，并 作出相应的推广，就形成了相应的数学理论，这便是多元函数的积分 学。因此，上述质量问题用多元函数的积分表示为：f (x,y)d

6、xdy =1叫' f ( i,重积分"(f (x, y, z)dxdydlimZ f (©,3 ,G)X-三重积分,f(x, y,z)dlf ( i, i, iFli第一类曲线积分JjSf(x,y,z)dS=lim f(yE)ASi-第一类曲面积分还有一类物理问题产生更复杂的多元函数的积分类型。 例3:变力做功问题。设质点在变力F的作用下，从空间A点沿曲线l移动到B点，计算 变力F的功已知常力F作用在质点使之沿直线从 A点移动到B点，则做功为：W =F AB cost，利用上述思想，可计算变力做功。A对路径曲线AB作n分割，在每一小段上近似为常力做功，故W八 FiT

7、Ai 4 Ai- Tcos 弓八 Fi Ai4A，记 F P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)，且 人鼻= *, »,迄，则W 八P( i, i, J* Q( i, i, J® R( i, i, J 迄， 故,W =lim' P( i, i, )：Xi Q( i, i, i).y R( i, i,)：乙这又是一种和式的极限，这种和式的极限也对应于一种多元函数 的积分：第二类曲线积分：屈 Pdx Qdy Rdz。类似还可引入第二类曲面积分：JJS Pdxdy + Qdydz + Rdzdx。所有上述各种积分，就形成了多元函数积分学的主要

8、内容，我们 将逐次介绍以上各种积分的定义性质、计算方法和相互间的联系。第十七章重积分本章介绍重积分的概念和计算，重点以二重和三重积分为例。§ 1二重积分正如在定积分中，我们首先引入常义定积分：即被积函数有界，积分区间a,b 1有限。所谓区间a,b 1有限，是指对应函数轴上的线段是 可求长的，这在一维空间中是很明显的事实。在讨论二重积分时，也 涉及到与定积分中线段的可求长的类似问题，即平面图形的面积可求 性问题。事实上，正如我们引言中初步提出的那样，二重积分实际是 如下和式的极限：f （x, y）dxdy =lim a f（ I,，显然，取f=1，匚/. a（S fdxdy 应存在），

9、'、' f（ 1,）心-a .i = %，因此，曲域二的 面积应该是可求的。那么，一个平面有界区域的面积是否可求？用什么标准来衡量可 求性，这是我们在介绍二重积分前应解决的问题。一：平面区域的面积。设DR2是有界的二维平面区域，考虑其面积的可求性。由于D有界，因而存在矩形R=a,b c,d，使D R。n 分割 a, b 1： a = a° :印：:：a b ；m 分割c, d : c = c° : C| ：: cn - d过这些分点分别做坐标轴的平行线，就形成了关于区域R的一个矩形分割T :即T将R分割成若干个小矩形块： Kj =ai4,ai Cj4,Cj，

10、利用这些小矩形块 迟 与区域D的关系，将 其分为三类：（1）： Rj u D ；（2） :也Rj中既有D中的点又有非D中的点；（3）: A Ry 门 D =o。记第一类小矩形块的指标集为：二(i, j)：厶RjjD;第二类小矩形块的指标集为：.：-(i, j) =Rj中既有D中的点又有非D中的点 o又记，s(T) = - Sj,S(T)= - Sijs(T),(i,j)日(i,j)d其中Sjj为ARj的面积。显然：0乞s(T)乞S(T)乞Sr，其中Sr为R的面积。(类似定积分中的达步上、下和，成立类似性质：加细时，S(T)不增，sb)不减，且-T,T :s 仃)注仃)记：s二sups(T),S

11、 = i nfS(T),二-V切者显然存在，且OsS，常称s为D内面积，S为其外面积。定义1:对平面区域D,若s二S，称D是可求面积的且其面积 S = S = S o由于平面区域的面积可用定积分来表示，因而，利用定积分 可积的达布的充要条件形式，可得：定理1、(可求面积的充要条件)平面区域D可求面各的充要条件是：- ；0,分割 T，使 S(T)-s(t) ： ； o证明：必要性：设平面区域 D可求面积，且其面积为s，则由定义：s=s = S，因而：-；0,兀，使sb 1) s-二 s; S(T2)： S 二 s ，-2 2 2 2记 T 二久 T2，贝U: s(TJ Es(T),S(T2)-

12、S(T)，因而，s(T) s-；，S(T) X2 2故：S(T)s(T)充分性：设-；0, T,使S(T) s(T)：；,则由于s(y)<s<S <s(y)，故，S-s空s(T)-s(t)：；，由任意性，贝us = S，即D是可求面积的。我们知道：线段有长度而没有面积，曲线是否也是如此？注意到平面有界区域的边界是曲线，能否用边界曲线的面积 是否为0来刻划区域的面积可求性？定理2:平面有界区域D可求面积的充要条件是边界曲线I = 7D的面积为0。证明：由定理1，注意到边界曲线I的面积Si满足：0 Es 兰S(T) s(T)即可。注：平面曲线的面积并不一定为 0。Pea no发现

13、将实数轴上 的闭区间映射平 面上的一个二 维区域(如正 方形)的函数y=f(x)，因而这条曲线在平面上的面积并不为0，这条曲线称为Pea no曲线。但可证明：平面上光滑或分段光滑的连续曲线， 其面积为0。注：今后涉及到的平面区域都设为可求面积的区域。 二：二重积分的定义和性质从引言中可知，这类积分的背景源于几何中曲顶柱体的体积 的计算。当然，在物理及工程技术领域中经常遇到类似的问题， 如求非均匀密度的平面质量分布、重心、转动惯量等问题。这些 问题尽管实际的背景不同，从数学上具相同的本质，都可以转化 为某种和式的极限一一即二重积分。下面，我们从数学上给出二 重积分的定义，并进一步研究其性质和计算

14、。设D是xoy平面上的可求面积的有界闭区域，f (x, y)为定义在D上的函数。T是D的分割，TQjllDn，记口为Di之面积，直径 di = supd(pP2)， ' - T =maxddi为D的直径为分 口 Bi割细度，任取i, i Di ,作和式：v f( i, J.©定义1、设I是一个确定的实数，若- ；.0,.0，使任意 分割T:只要卩|,都成立：忆f(©,q)g-1 v，称f(x, y)在D上(二重)可积，I称为f在D上的二重积分，记为I = D f(x，y)dD。注：由定义 I = JjD f(X，y)dD = ljm z f(®,气)ADj

15、，注意到D的面积含义，则二重积分实际是对面积的积分。注：常用的分割为平行于坐标轴的矩形分割，故此时Di -yi，因此，二重积分也常记为：I !d f (x, y)dxdy = 1叫 ' f ()：x,yi。其中：f为被积函数，x, y为积分变量；门为积分区域。几何意义：1) 、f >0时，I =人f (x,y)dxdy为曲顶柱体之体积。2) 、f =1 时，Hd f(x,y)dxdy = JJD1dxdy = Sd。类似定积分可引入Darboux上、下和，由此刻划可积性，记Mi =supf(x,y),m =咚 f (x, y)，DiDiS(T)=：Z MQDi,s(T)=2： r

16、nDi则：1) f (x, y)在D上可积等价于 卯泸仃)詁吓肿仃);2)若f (x, y)在可求面积的有界闭域 D上连续，贝U f (x, y)必 可积。3) 若f(x, y)在可求面积的有界闭域 D上的不连续点至多落在有限条光滑曲线段上，则 f(x,y)可积。注：以后积分区域D都视为可求面积的有界闭区域。 性质：1线性性质；D(f(x, y) g(x, y)dxdy = d f (x，y)dxdy Dg(x，y)dxdy ；2) 对区域可加性：D! D2fJ ：D2f，( D1与D2无公共内点)3) 保序性：f <g，则.Df Dg ；4) 绝对可积性：若f可积，则f也可积，且 人f

17、|兰山f ；5) 中值定理：若f C(D)，则存在(,) D，使!Dfdxdf( , )Sd。其中Sd为D的面积。作为性质的应用，考察一个例子。例1设f (x, y)在可求面积的有界闭域D上非负连续且不恒 等于0,证明：D f(x, y)dxdy 0证明：由条件，必存在点Po(xo,y°)D，使得f(Po) 0,由连续性，存在邻域U(p0)，使得f (pf(P°) .0,由积分性质2d f (x, y)dxdy - . f (x, y)dxdy - 乞仏)0。§二重积分的计算根据解决问题的普遍性方法，总是将未知的待求解的东西转 化为已知的东西；我们知道：已知的与积

18、分计算有关的内容是定 积分，因而，二重积分计算的主要思想：将其转化为定积分来计 算，即将二重积分转化为两个定积分-累次积分。一、化二重积分为二次积分仍采用从特殊到一般、从简单到复杂的思想来进行。1、矩形域上的转化：问题：设D为矩形域，即D =a,b c,d， f(x, y)在D上可 积，计算 I = JJD f (x，y)dxdy。思路分析：以二元函数f (x,y)为被积函数的积分形式，我们在含参量的积分中已遇到过，其中我们曾涉及到两种形式的累次d bbd积分： dy f (x, y)dx, dx f (x, y)dy，很显然，这两个积分具c-aa 'c有特点：1)对两个变元都进行了积

19、分；2)积分区域跑遍了整个D ； 3)被积函数为f(x,y) ； 4)能够通过计算两个定积分将其计算出来；5)在一定条件下，如f(x,y)连续，则二者相等。前三个特点是二重积分也具备的，因此，后两个特点就是提 示我们考虑如下问题：三者之间什么关系？能否将二重积分化为 累次积分计算？回答是肯定的。定理1、设f(x,y)在矩形域D二a,b c,d可积，且对d-Xa,b，含参量积分 F(x)二f(x,y)dy存在，则累次积分Lcb db ddx f (x, y)dy也存在且 i i f (x,y)dxdy dx f (x, y)dy。a cDa c分析：由于二重积分只有一个定义，因此必然从定义出发，

20、 考虑其关系的证明。证明：对D作矩形分割：T : a = x0 % x2xn = bc=y。 ： % ： y2 ：: yd记 Dj =Xi_L,Xi xyj，yj, &i = x _l X = yj ,Mj度。二 sup f, mjDj由定义则，I fdxdy lii DTl=inf f，乳=max ：Xi : i =1,2川1, n , |T | 为分割细DjMj K y 防 mj x y。bdbf dxj f (x,y dy = J F x(dX=I近 nF ® 企，)a ca0其中i Xi“Xi。故要证明等式，只须比较三者之关系。用形式统一方法，将单重和转化为双重和。b

21、m y：由于 F(i) = .af(i,y)dy 八 f( i,y)dy，且a日yyj啟mjAyj 乞 f f (-i,y)dy EMj心yjTj丄则,d' mj y F( i) = f( i,y)dyM j y，cjj两端乘. ：xi，关于i求和：mj ：xr7j 八 F()咲八 Mj =xr yj，ijij注意到|T| > 0时> 0，上式中令|T|p 0，且由于f(x,y)在门上可积，即卯/ m"Xi.y =职、Mj xi y = I，ijij则，由夹逼定理，lim ' F( i) xI， .J0b即： F(x)dx = I。证明完毕。a推论 1:设

22、 f(x, y) Ca,b;c,d，则b dd bf(x, y)dxdy= dx f(x,y)dy二 dy f(x,y)dx。 "Da c"Ca2: x-型区域上的转化。将上述结论逐步推广，先推广到特殊的x-型区域上，设 D是可求面积的平面区域。定义1、若D可表示为：D =( x, y): %(x)乞 x 乞 y2(x), a 乞 x 乞 b，称D为x-型区域。注：由定义可知：所谓的x-型区域，从几何上看，是指其具 有两条平行于y轴的左、右直线边界，有两条上、下的曲边边界， 有时，直线边界可能退缩为一点。如图：注：定义中：y!(x),y2(x)是定义在a,b上的两个连续函数

23、，因此：对应的两条上下曲边边界都是简单的曲线，即:用平行于y轴的直线穿过区域时，直线与上、下两条曲线至多各有一个交点， 即排除如下的区域：注：确定边界方法：(1)先确定区域的左右直线边界一一投影法。将区域向x轴作投影，投影区间为a,b，则直线x=a、x=b即为所求。(2)确定上下曲线边界一一穿线法。用平行于y轴的直线从下到上穿过区域，先交与某曲线进入区域，则此曲线为下边界曲 线，后交与某曲线穿出区域，则此曲线为上边界曲线。定理2、设f(x, y)在x-型域D上可积，(x) Ca,b，贝Uby2(x)E f(x, y)dxdy = J dx J f (x, y)dy。Dayi (x)思路：转化为

24、情形1。通过补充定义，将函数延拓到某个较 大的矩形区域，实现由 x 型区域到矩形区域的转化，在此矩形 区域上利用定理1。证明：由于 y Cc,d，故d = max y2(x), c = min 力(x)存在，a,ba,bf (X, y) ,(x,y)E0 则0,(x,y)，、r作矩形 0=a,b =<c,d，记F(x, y)=由定理1,b二 a dx yi(x).f (x, y)dxdy = . J (x, y)dxdy = a dx c F (x, y)dyy2(x)f (x, y)dy。3、y-型区域上的转化。定义 2、设 X!(y),X2(y) Cc,d，使D 二(x,y):xi(

25、y) _ y X2(y),y c,d，称门为 y-型区域。注：与x-型区域类似，y-型区域具有两条平行于x轴的上、下直线边界，有两条左、右曲线边界。有类似的公式。注：有些区域即可视为x-型区域，又可以视为y型区域。定理3、设f (x, y)在y-型区域|上可积，则dX2(y)HD f (x,y)dxdy=J dyjf (x,y)dx。DcX1(y)4、一般区域上的转化：将上述结论推广到一般情形，由于我们知道1-3的结论，因 此，一般区域上的二重积分的计算，关键在于能否建立一般区域 与上述三种特殊区域之关系，事实上，有结论：定理4、任何可求面积的平面区域都可分割成若干个X-型、y-型区域。定理5

26、、设门可分割成X-型域门x和y -型域1 y，则f (x, y) dxdy 二 J (x, y) dxdy 亠上 f (x, y)dxdy。至此，计算问题解决。计算二重积分的步骤：1、画出图形，找出交点；2、判断区域类型，必要时作分割;3、代入公式计算。例 1:计算 I = j|D (2 + x 十 y)dxdy，其中 D :由 y = x 和 y = x2 所围。解:将区域 D 视为 x-型：Dx =( x, y) : x2 岂 y 岂 x, x ：= 0,1则1x1212429I = j0dx(2(2 +x + y)dy =讣(2 +x)(xx )+x -x)】dx=&。 又可视为

27、 y-型：Dy =(x,y): y 岂 xy, y 0,1，贝UI- y) £(y - y2)】dy 弓。2 60例1中将区域视为任何一种都可以计算, 此时要求正确选择区域类型。n 2例2:计算I =x2e dxdy，其中D:有些例子则不然,由 x = 0, y =1, y =x所解：区域D既可视为x-型，又可视为y -型。若视为x-型，Dx 二(x,y):x y,x 0,1，则112 今2odxje dy无法计算。若视为y-型,Dy =(x,y):1,r 0,1，1 Y211 Q 21=(dy(xe今e刁 dy =§丄。3e围。例 3: I = J* sin y dxdy

28、 , D 由 y=x 与 x = yy -245故 I dy 2 xydx 二口 yg注：此例表明：对区域D的不同认识，会导致不同的计算过 程，繁简程度上有差别。最后，给出二重积分的几何应用一一利用二重积分求体积。根据二重积分的几何意义，在计算曲顶柱体的体积时，关键 在于确定曲顶的方程和曲顶的投影区域，即确定柱体的顶和底。 在计算任一空间区域的体积时，需要确定上顶和下底的方程和相 应的投影区域，以便转化为两个曲顶柱体的体积之差。用公式表 所围 y1 21°dy ysin yy解：视为y-型才能计算,idx 二 o (1 - y)sin ydy = 1 - sin 1。若视为x-型，无

29、法计算。例4 :计算I = (Dxydxdy , D是由抛物线 x = y2和直线y = x -2所围。解：1、画出积分区域，找出交点；2、分析区域类型。法一：(是否是x-型区域：两条左右的直线边界，两条上、 下的曲线边界，显然：若将其视为x型区域，必先将其分割成两部分)记=( x, y) : - . x _ y 一 . x,0 一 x 一1D2 =( x, y): x 2 乞 y 乞 x,1 乞 x 咗 4,则1 寂4 寂451 = D xydxdy D xydxdy 二 0dxxydy 厶 dx xydy $法二：将其视为y-型区域，则2D =( x,y):y 乞 x y 2,-仁八 2，

30、示如下：1、曲顶柱体体积V =旺fdxdy ;其中z=f(x,y)为曲顶方程，D为曲顶在xoy平面的投影区域。2、空间区域之体积V = JD(f2 - fjdxdy，其中，z = f2(x,y)是上顶；z=- fi(x, y)是下底。D是区域在xoy 平面的投影区域。特别，曲顶柱体也可以视为底为 z=0的空间区域。注：在处理几何问题时，特别注意对称性，能简化计算。例5:计算柱面x2 z2 = R2与平面y = 0, y = a - 0所围之体 积V。解：由对称性，只计算在第一象限中的部分，在第一象限中， 可将其视为以柱面为顶的曲顶柱体，故顶的方程： z = . R2 -x2， 其在x o面的投

31、影区域为D <0,R 0,a,故V =4 11 zdxdy = 4 ° dx ° R2 - x2dy 二 a R2。例 6 :求由下列曲面所围的体积：z = x y, z = xy, x y = 1, x = 0, y = 0。解：这是一个空间区域的体积，可将其转化为两个曲顶柱体 的体积之差计算：必须确定上顶、下底和投影。确定上顶、下底的方法仍是穿线方法。用平行于z轴的直线， 沿z轴方向从上向下穿过区域，先交曲面进入区域，此曲面为下 底，后交曲面穿出区域，此曲面为上顶。由此确定，上顶为平面： z=x，y ； 下底为曲面：z = xy ， 二者之间被平面x y =1,x

32、 = 0, y =0所截之部分在x o y面上的投影区域D =( x, y): 0 - y - 1 x,0 - x - 1，故，ii丄7V = %(x + y _xy)dxdy = *dx (x 十 y _xy)dxdy =。利用二重积分求面积2 2例7:求椭圆务爲=1之面积a b2 2解：记 D =( x, y) ： X2 y2 _ 1, Di = D x _ 0, y _ 0，由对 a b称性则ab%1 _x2/a22x .2 dx ax=a cos -i4b-/2l-cos BacosOdTJT/22=4化 COSds = JD Idxdy = 4 J|D Idxdy = 4 dx =4

33、ab例8改变积分I =二 ab o2. Zxdx 2 f(x,y)dy的积分次序。0. 2 x _x分析、这类题目，首先由给定次序的累次积分确定积分区域, 将累次积分还原为二重积分，然后，再转化为另一种次序的累次 积分。解、此积分的积分区域为D : 2x- x < y< 2 x , 0 x_。2此区域由上半圆周曲线 (x-1)2 y2=1和抛物线y =2x及直线 x=2所围成。我们须将此区域上的二重积分转化为先对 x再对y 的累次积分，须用直线y=1将区域D分成3部分，在相应的区域 上转化为累次积分，得1 1 一 1 2I = ：0dy 0 f (x,y)dx 0dy 1 百 f

34、(x, y)dx .2 2v dy .匸 f (x, y)dx2也可以利用区域差表示为221宠 _y2I = 0 dyy2 (f ,x )y -dx$舟 (f x y dx重积分的变量代换给定二重积分I = & f(X，y)dxdy，其计算的难易程度受制于两个要素：一是积分区域D的规则程度；二是被积函数f(x,y)的 结构。前述研究表明：D越规则，越简单，如矩形域，三角形区域， x( y)-型区域等，就能很容易地将其转化为累次积分，而当f (x, y) 具有简单的结构时，计算就更加容易，因此，对一个二重积分， 我们总希望D很规则，f (x,y)结构简单。然而，众多的二重积分 并非如此，

35、此时，必须经过相应的技术处理-变量代换，将其转 化为具有上述特点的二重积分。1 :二重积分的极坐标变换。当积分区域或被积函数具有圆域结构，即D的边界的刻划和f(x,y)中具有因子x2 y2时，可用极坐标将二重积分简化。为讨论二重积分极坐标下的计算，引入如下区域的概念。设D是平面区域。类似直角坐标系下的 x(y)型区域，引入下 述定义。定义3:若在极坐标下，若D可表示为D =(r,R:承巧汀汀2(巧，：一二 _ ：，其中aG)，2(巧为d的连续函数，则称D是二-型区域；若D可表示为D 二(r,二)：弓(r) r 岂岂(r), a _ r - b，其中齐(r),，2(r)为r的连续函数，称D是r-

36、型区域。注：几何特征二-型区域夹在两条可过极点的射线之间；r -型区域夹在以极点为心的两个同心圆环内。注：对有些区域，即可表示为 二-型区域，又可表示为r-型 区域。注：若区域包含原点，常将其视为 八-型区域，即D =( r,旳：0 _ r _ r(R,0 _ r _ 2二;若区域的边界过极点，也将其视为 二-型区域，即D =(r,旳：0 _r(旳，：J ,其中使 r(：J =0,rC)=0。下面考虑二重积分在极坐标下的计算。给定I二D f(x")dxdy，其中D是平面区域(直角坐标下)，则由定义，对任意分割T,都有:I =沪2,0)2。我们采用如下的(极坐标)分割T(rc)，即以r

37、二c的一族同心圆和以v - c的一族过极点的射线来分割D，如图，对应于此分割T(r,R，考虑每一子块的面积Di，利用扇形面积的计算公式可知，如图小区域的面积为1 2 2 1D (r=r)2 v -r2 ：打=(r r) ：r ：二22略去咼阶无穷小量1 2() . : ，贝U D :“ r ：r 二 v。故2I = lim ?l ? 0 f (ri cosqi ,ri sin qJrQ riD qi=蝌d f ( r c ocs r sq n r c) rqd这就是极坐标下的计算公式若D是二-型区域，则11 f(rcos,rsin )rdrd -P JO)f(rc0>rSi)rdr ；若

38、D是r-型区域，则b日(r)11 f(rcos,rsin Rrdrd = & rdr 打)f (r cos1, r sin -)注：极坐标系下，二重积分的表示，也可视为从二重积分的 直角坐标下的公式经变经变量代换转化而成，即X壬cos卫Il f (x, y)dxdyf(rcosv,rsin 旳rdrd v，"Dy -psin D其中D的形状没有发生变化，表示方式发生了改变。应用举例：2 2例 9、计算 I 二 d e 丛 * dxdy, D : x2 y2 < 1 o分析：圆域结构，极坐标公式计算。解：区域D是圆域，包含极点，故为二-型区域:D =( r,R : 0 乞

39、 r 乞1,0 w < 2，也是 r -型区域。故 IeGdrd 八2- 1r21)dr ° re dr - : (1 -e )。二X所割下例10、计算单位球x 二 2 因而，V =4V() o 3 23 y2： 二重积分的一般变量代换 z2 _1被柱面x2 y2 的(含在柱面内)体积V。解：由对称性，只计算在第一象限中的体积V，此时V为曲顶柱体之体积，y的顶为球面z f1 -x2 - y2，其在xoy平面的投影即底为为 x o面上的半圆区域D ( x, y): x2 y2 乞 x,x 0,y 0，在极坐标下为，D = (r,二)：0 乞 r 乞 cos 二,0 _ 二 _ 3

40、，故，y = j «1 -x2 - y讨论在一般变量代换下的二重积分I = JJD f (x, y)dxdy的计 dxdy = *j-r2 rdrd 9=2d 1 r2dr 二1 2仆 _sin3)d)- -(2)003 03 23给定变换：H :丿u =u(x,y),(x,y)w D，设H是对应的 y = v(x, y)(J = D(x,讥 0)记D(u,v)Duv 二(u,v) :u =u(x, y),v 二v(x,y),(x, y) D,则H建立了 xoy平面内的区域D与uov平面区域Duv的对应关系。即H : D > Duv。另，从隐函数理论，在条件"0 下，

41、严u(x,y)能确定隐jV = v(x,y)，广函数丿xx(u，v)，因而在 H 之下，f(x,y)T f (x(u,v), y(u,v)。 j = y(u,v)于是，在变换H之下，在xy平面上关于xy的二重积分转化为在uv平面上关于uv的二重积分。定理 5:设 f(x, y) C(D),u(x, y),v(x, y) C (D)，又设变换事 0 (在 Duv 上)，贝Uu=u(x，y)是 1-1 的且v =v(x, y)D(u,v)ff f(x, y)dxdy = ff f (x(u,v), y(u,v) J dudv。DDuv此定理的证明放在后面，先承认这一结论。x = r cos 日 j

42、 = r sin 日，则j _ D(x,y)D(u,v)注：极坐标下的结论正是定理 5的推论，即取JD f (x, y)dxdy = JjD f (r cos8, r sinB)rdrd 8。注：利用变量代换时，选择合适的变量代换，使得1) 、使被积函数简单；2) 、使积分区域规则、简单；3) 、二者不可兼得时，选择较难处理的作为主要变换 对象。例11、求由抛物线y 2 2例12、求椭球务占勺一1之体积。a b c解：由对称性，只须计算第一象限之体积 V1，利用曲顶柱体 体积公式，: 2 2y =cJDJ-笃-警dxdy，D v a b = px, y2 = qx, (0 ： p ： q)及双

43、曲线xy= axy= b(0ca<b )所围区域D之面积S。解：由二重积分的几何意义，, .D1dxdy(显然，此二重积分重点处理的对象是区域：即选合适的变量代丨y2换，将区域规则化)注意到边界曲线之特征，作变换H : u二x，v = xy 则H将D映为Duv =(u,v): puq,avb，又：一叫亠=丄，故：D(u,v) D(u,v)3y2 3uD(x, y) x11qS 1dxdydudv(ba)ln 。、'DDuv 3u3p2 2其中D：歸。,八。作广义极坐标变换：h：丿x = ar co讯，此时，y = brs in 日在极坐标下：D : r <1,0'，

44、且 J = D(X,y)= abr ,2D(u,v)故: Vt =c d 1 _ r2 abrdr =abc，故：V abc。J。b63X丄例 13、计算 | = JjD ex4y dxdy , D :由 x = 0, y = 0, x + y=1 所围。故:分析：积分区域简单，重点简化被积函数解：作变换H :丿u = x _ y1，则Hv 二 x yo1x (u v)2 ，故Duv由 y = ?(V - u)= 0,v-u =0,v=1 所围，又：J 二D(x,y) _ 1D(u,v)2，I丸22 Duv21 v -dv evdur-1丄v(e - e )dv (e -e )。4_ 12序。

45、3、注、上式转化为累次积分时，一定要注意选择正确的积分顺重积分变量代换定理的证明。 面给出定理5的简要证明的思路。分析：从分析结论入手，寻找证明的思路和方法。从最基本 的定义出发：由二重积分的定义，则.D f(x,y)dxdy =lim ' f( i, J ,D - 0而，”Duvf (x(u, v), y(u,v)| J dudv =浬刀 f G：*1；) | Ji其中D的分割为T,对应于一个Duv的分割T ,反之也成立。因而，(i, ih ( i, i(xC i, -i), y(：J),故 f ( i, ih f(xC i, -i),yC i, -i),因而，剩下的应该有：Acti

46、Jj Act：。这种特殊的关系也可通过取定特殊的f来获得，比如取f=1，也暗示上述的对应关系。对应关系的含义：每一块区域的面积.-：i在变换H下变成Ji也时，(即隐藏了：分割的小区域 殂在H下对应于Duv中的一个子区域0:，二者的面积关系正是上式。)因而：Ji，这Act :也正是J的几何意义。我们正是从这一几何意义出发，完成定理 的证明。为此，我们首先研究矩形面积在映射H下的变化，给定矩形ABCD，其中A(Xo,yo),B(Xo ：x, yo),C(Xo,yo ：y),D(x°：x,y°：y)。在 H之下将矩形ABCD映为区域Duv由于H C，由泰勒展开：u =u(A) +

47、uX(A) 也x + +uy(A) Ay+aP:v =v(A) vx(A) ：xvy(A) ：y ，其中亠y2叫记仿射变换:u = u(A) ux(A)：x 亠亠uy(A) ：yv = v(A) vx(A) ：x 亠亠vy(A) ：y则H可用H近似代替，而在H下，矩形ABCD映为平等四边行ABCD o换句话说：当H是一一对应时，可用平行四边行 A B C D 近似视为矩形ABCD在H之下的像。又记u0二u(A),v0二v(A)，矩形ABCD的面积为S，平等四边行ABCD 的面积为S，矩形ABCD的象域的面积为S引理 1 : J(Uo,V°).S=lim 。简证:-o S '由

48、对应关系和平行四边形的面积计算公式，则-Su(x°,y°)u(xo ：x, yo)u(xo, yo：y)v(xo, yo)v(xo x yo)v(xo,y°：y)因而,_Su(xo, yo)u(xo ：x,y°) -u(xo, yo)u(Xo,y° y) u(Xo, y°)v(xo, yo)v(x° ：x, y°) -v(xo,y°)v(x°, yo y) -v(Xo,y°)=u(Xo+Dx, y。)- u(xo,yo)?v(Xo, y。 Dy)- v(Xo,y。)-u( x , y

49、+ D y )- u(ox)? v£x D xo y)v(Xo y)故limo-S-S-Sx yI ； u : vI cc:x : y:uyD(u,v) D(x,y)|(xo，yo)D(x,y) |D(u,v) l(uo，vo)1J(uo,vo)引理证毕。代换定理的证明:设矩形分割T: Di，D2,DnC = T )，对应此分割T,通过H形成对Duv的分割T : Di,D2,，DnC，则由定义:n?ro?H 一一蝌D f (x,y)dxdy=聊？ f (xk,yk)DDk f xk uk Vk, yk)Uk vk J u)Vk dd£ )f (x u V y,u VJ )u

50、) v dudv )注：若J在个别点，甚至一条可求长的曲线上J = 0 ,结论仍 成立。§ 3三重积分一：定义正如引言中指出的那样，空间区域的质量分布问题、空间区 域的体积等一系列物理和几何问题都可归结为三重积分，那么， 如何定义三重积分？设:：二R3为有界光滑区域，f(x,y,z) C()，对门作n分割T :，丨；对应体积记为：Vi； V ;又记4二sup d(x, y)(x,y)S为"的直径，二maxdi为分割细度。定义1：若存在实数I，使对- 0, 0，使对任意分割T，只要0 一 "，对- (i, i, ib J，都成立:z f(g,3,、)Vi -I|称f

51、 (x,y,z)在门上三重可积，I称为f (x,y,z)在】上的三重积分，记为 I 二.f (x, y,z)dV。注：类似二重积分，通常采用平行于坐标平面的分割，因而每一个内子块 J都是立方体，其体积为V xyzi，故三重积分常写为：I ： i l l(x, y,z)dxdydz。注：三重积分的定义表明，它仍是有限和的极限，即I iiir.f(x,y, z)dV =limi0' f( i, i,。注：三重积分的定义性质与二重积分的类似，此处略注：几何意义：f "时，I二ViL-门的体积 二：三重积分的计算：采用类似二重积分计算的思路来研究三重积分的计算。即将 三重积分转换为(

52、一重)定积分和二重积分、最终转化为累次(三 次)积分来计算。解决问题的思路仍然是从简单到复杂，从特殊 到一般的解决问题的思路。1:长方体上化三重积分为三次积分。定理1、设f(x, y,z)在长方体区域门-a,b c,d e,h上可h积，且对任意的(x,y) a,b c, d，含参量积分f (x, y,z)dz存- h|/e f (x,y,z)dz dxdy在，则iiir.f (x, y,z)dxdydz _a,b>tc,d特别，若f(x,y,z) C)，则:b dfb fdi i XfdxdydzM adxc dy e fd adxe dzcfdy=。注：证明略。注：在长方体区域上，转化

53、为三次积分的积分顺序有6种，因此，三重积分的计算更加复杂，难度更大。下面，将定理1进行进一步的推广。为此，类似二重积分中， 将平面区域投影到坐标轴上得到 x-型区域或y-型区域，我们将 空间区域投影到坐标轴或坐标平面上，引入一些特殊的空间区域 概念。2:特殊区域上的先一后二法。所谓先一后二法，是指将一个三重积分转化为先计算一个一 重定积分，再计算一个二重积分，如下述形式：f (x, y,z)dz-Z2(x,y)(x,y,z)dxdydz =人 |L(x,y)来计算。那么，在什么样的特殊区域上能采用此方法？ 为此，我们将区域向坐标面作投影，引入几类特殊区域 定义2:若空间区域门可表示为11 =(

54、x,y,z) R3 : Zi(x, y) 一 z 一 Z2(x,y),(x, y) Dxy其中：Dxy为xoy坐标面中光滑有界的平面区域，Zj(x,y) C(Dxy),i =1,2，称区域是 xy 型区域。注：定义2给出了 xy型区域的代数特征。从几何上看，所谓 xy型区域门，是将其向xoy平面作投影，利用投影区域刻划其特 征。其代数表达式和几何上的对应关系表现在此类型区域构成的 三个要素上：曲面z = z2 (x, y), (x, y) Dxy为的上顶，曲面z = Zi(x,y),(x, y) Dxy为门的下底，Dxy正是门在xoy面的投影区 域。注：除了上述刻划xy型区域的三个主要要素一一顶、底和投 影区域外，几何上，这种类型的区域还涉及到一个概念一一围