大一轮复习讲义压轴题目突破练解析几何

1、压轴题目突破练 一一解析几何A组专项基础训练(时间：35分钟，满分：57分)( )、选择题(每小题5分，共20分)1已知两条直线li： y= x, 12： axy= 0,其中a为实数，当这两条直线的夹角在变动时，a的取值范围是A (0,1)C.于，1 U (1 ,3)答案 C解析 直线丨1的倾斜角为n，依题意12的倾斜角的取值范围为in，n；u f, n+in; 即g，:月(4，n，从而12的斜率a的取值范围为書,i |U (i,寸3).2. 若圆(x 3)2+ (y+ 5)2 = r2上有且只有两个点到直线4x 3y 2 = 0的距离等于1,则半径r的取值范围是A . (4,6)B . 4,

2、6)C. (4,6D. 4,6答案 A|4X 3 3X f 5 2|解析 因为圆心(3, 5)到直线4x 3y 2= 0的距离为=5, + 32所以当半径r = 4时，圆上有1个点到直线4x 3y 2= 0的距离等于1,当半径r = 6时， 圆上有3个点到直线4x 3y 2= 0的距离等于1,所以圆上有且只有两个点到直线4x3y 2= 0的距离等于1时，4<r<6.2 23已知双曲线 拿一*= 1 (a>0, b>0)与抛物线y2 = 8x有一个公共的焦点 F，且两曲线的一个D . y= ±x交点为P,若|PF|= 5,则双曲线的渐近线方程为A . y=

3、77;, 3xB . y= ±xC. y= ± 2x答案 A解析 设点P(x0, y°).依题意得，焦点F(2,0),X0 + 2 = 5,2于是有 X0= 3, y2= 24;yo= 8x0,厂22a2+ b2= 4,t 924由此解得 a2= 1, b2= 3,27 = 1 ,b因此该双曲线的渐近线方程是y= ±bx= ±. 3x.a4. 已知点P是抛物线y2= 2x上的一个动点，则点P到点(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为A.172答案 A解析记抛物线y2= 2x的焦点为F *, 0 ,准线是I，由抛物线的定义知点P

4、到焦点F的距离等于它到准线I的距离，因此要求点 P到点(0,2)的距离与点P到抛物线的准线的距离之和的最小值，可以转化为求点 P到点(0,2)的距离与点P到焦点F的距离之和的最小值，结合图形不难得知相应的最小值就等于焦点F到点(0,2)的距离.因此所求的最小值等于； * 2+ 22=于，选A.:、填空题(每小题5分，共15分)2 25. 如果+ =-1表示焦点在y轴上的双曲线，那么它的半焦距c的取值范围是 k 21 k答案 (1 ,+ )2 2解析将原方程化成标准方程为 丄-亠 =1.k 1 k2由题意知k 1>0且k 2>0 ,解得k>2.又 a2= k 1, b2= k

5、2，所以 c2= a2+ b2= 2k 3>1, 所以c>1，故半焦距c的取值范围是(1 ,+R).6. 若点(3,1)是抛物线y2= 2px 一条弦的中点，且这条弦所在直线的斜率为2,则p =.答案 2解析 设弦两端点为 卩似1, y", P2(X2, y2),y1= 2px1y1 y22P贝U 2，两式相减得，=2.y2= 2px2X1 X2 y1+ y2又 y1 + y2= 2 , - - p= 2.7. 已知抛物线x2= 4y的焦点为F，经过F的直线与抛物线相交于A, B两点，则以AB为直径的圆在x轴上所截得的弦长的最小值是 .答案 23解析由抛物线定义得以 AB

6、为直径的圆与抛物线的准线相切，利用直角三角形中勾股定理得到弦长的解析式，再求弦长的最小值.设以AB为直径的圆的半径为r，则|AB|=2r>4, r> 2,且圆心到x轴的距离是r 1,所以在x轴上所截得的弦长为 2 'r2 r 1 2 =2 2r 1> 2 3，即弦长的最小值是2 .3.三、解答题洪22分)& (10分)已知椭圆C的中心为坐标原点 O, 个长轴顶点为(0,2)，它的两个短轴顶点和焦 点所组成的四边形为正方形，直线I与y轴交于点P(0, m)，与椭圆C交于异于椭圆顶点的两点 A, B,且AP= 2PB.(1) 求椭圆的方程；(2) 求m的取值范围.

7、解 由题意，知椭圆的焦点在y轴上，2 2设椭圆方程为 *+詁=1(a>b>0),由题意，知 a = 2, b= c,又 a2= b2 + c2，贝U b= 2,2 2所以椭圆方程为y4 + X2 = 1.设A(xi, yi), B(x2, y2),由题意，知直线I的斜率存在,设其方程为y= kx+ m,与椭圆方程联立，y2+ 2x2= 4,即$消去y,得y= kx+ m,2 2 2(2 + k )x + 2mkx+ m 4= 0,2 2 2= (2mk) 4(2 + k )(m 4)>0 ,mkxi+ X2=,2 + k由根与系数的关系，知2m 4Xi X2=2,L2+ k又

8、AP = 2PB，即有(一xi, m yi)= 2(x2, y2 m),所以一Xi = 2X2.|xi+ X2= X2, 则八XiX2 = 2X2,广2mk 22 + k2 *2m 4所以 2 = 22+ k整理，得(9m2 4)k2= 8 2m2,又9m2 4= 0时等式不成立，22 8 一 2m42所以k =2>0 ,得 <m <4，此时少0.9m 49所以m的取值范围为 一2, 3 U 3, 2 .2 2 *9. (12分)已知中心在原点的椭圆 C:为+活=1的一个焦点为Fi(0,3), M(x,4)(x>0)为椭圆C 上一点， MOFi的面积为3.(1) 求椭圆

9、C的方程；(2) 是否存在平行于 OM的直线I，使得直线I与椭圆C相交于A, B两点，且以线段 AB为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出直线I的方程；若不存在，说明理由.解(1)因为椭圆C的一个焦点为Fi(0,3),2 2所以c= 3, b2= a2+ 9,则椭圆C的方程为笃+ = 1, aa2 + 913因为 x>0 ,所以 SAOMF1 = 2X 3X x= 3，解得 x= 1. 故点M的坐标为(1,4).1 16 因为点M(1,4)在椭圆上，所以 7+ = 1,a a + 9得 a 8a 9= 0,解得a = 9或a = 1（不合题意，舍去），2 2 则b2= 9+ 9= 18,所

10、以椭圆C的方程为X +务=1.918（2）假设存在符合题意的直线I与椭圆C相交于A（x1, y1）, B（x2, y2）两点，其方程为y =4x+ m（因为直线OM的斜率k= 4),y= 4x+ m,由 x2 y2+ 19 + 18，进而得到X1 + X2点，若 PF1F2为直角三角形，则椭圆E的离心率为A.21消去 y 化简，得 18x2 + 8mx + m2 18= 0.8m后18，x1 x2=.因为直线l与椭圆C相交于A, B两点,2 2所以 = (8m) 4X 18X (m 18)>0 ,化简得 m2<162，解得-9 2<m<9 . 2.因为以线段AB为直径的

11、圆恰好经过原点，所以 OA OB= 0,所以 X1X2+ y1y2= 0.2又 yy = (4x1 + m)(4x2 + m)= 16x1x2+ 4m(X1 + X2) + m , X1X2+ y1y2= 17x1X2+ 4m(x1 + X2)+ m217-18 32m22 c=18 18 + m = 0.解得 m= ± 102.由于土,102 ( 9 .2, 9 ,2),所以符合题意的直线I存在，且所求的直线I的方程为y= 4x+ . 102或 y = 4x . 102.B组专项能力提升（时间：25分钟，满分：43分）、选择题（每小题5分，共15分）1.已知椭圆E的左、右焦点分别为

12、 F1、F2,过F1且斜率为2的直线交椭圆E于P、Q两答案 A2 22.由直线y = x+ 1上的一点向圆(x 3) + yA . 1B . 2 迄答案 C解析 如图所示，设直线上一点 P,切点为Q,圆心为M，则|PQ|即为切线长,MQ为圆M的半径，长度为 1,|PQ|= |PM|2 |MQ|2=,'|PM|2 1 ,要使|PQ|最小，即求|PM|的最小值，1引切线，则切线长的最小值为()C. . 7D . 3解析 由题意可知，/ F1PF2是直角，且tan/PFiF2= 2,4a|PF2|= y.根据勾股定理得 曽；+曽；=(2c)2, 所以离心率e=a甘此题转化为求直线 y= x

13、+ 1上的点到圆心 M的最小距离,设圆心到直线y= x+1的距离为d,|3 0 + 1| 厂贝H d= := 2 2.彳1 +( 12所以|PM|的最小值为2 ,2.所以 |PQ|= '|PM |2 1h 2>22 1= 7.3. (2011四川)在抛物线y= x2 + ax 5(a 0)上取横坐标为 x1 = 4, x2= 2的两点，过这两 点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆5x2 + 5y2= 36相切，则抛物线顶点的坐标为()A . ( 2, 9)B . (0, 5)C . (2, 9)D . (1, 6)答案 A解析 当X1 = 4时，y1 = 11

14、4a ;当X2= 2时，y = 2a 1，所以割线的斜率k=11 4a 2a + 14 2=a 2.设直线与抛物线的切点横坐标为xo,由y' = 2x+ a得切线斜率为2xo + a, - 2x°+ a = a 2, Xo= 1.直线与抛物线的切点坐标为(一1, a 4)，切线方程为 y+ a + 4= (a 2)(x+ 1)，即(a2)x y 6= 0.圆5x2 + 5y2= 36的圆心到切线的距离d= 一6由题意得 6= 6 ,即(aP(a 2f + 1(a 2) + 1 52) + 1 = 5又0, a = 4，此时,y= x2 + 4x 5 = (x+ 2)2 9,

15、顶点坐标为(2, 9).:、填空题(每小题5分，共15分)2 24. 过椭圆j + * = 1(a>b>0)的左顶点A且斜率为1的直线与椭圆的另一个交点为 M，与y轴的交点为B，若|AM|=|MB|，则该椭圆的离心率为 答案呼A点的坐标为(一a,0),y= x+ a,(0, a),故M点的坐标为2, I , o2222./6a 3b , 2a 3 c , e 3 .33解析由题意知设直线的方程为 B点的坐标为代入椭圆方程得2 25. 已知曲线-= 1与直线x + y 1= 0相交于P、Q两点，且O)P OQ = 0(0为原点)，则丄a ba1的值为b答案 22 2解析将y= 1 x

16、代入x y = 1,a b ，得(b a)x2 + 2ax (a+ ab) = 0.由题意，知a丰b.2 a设 P(X1, y1), Q(X2, y2)，贝y X1 + X2=-a ba+ abX1x2 =.a bOP OQ = X1x2 + y2= x1x2 + (1 X1)(1 X2)=2x1x2 (X1 + X2)+ 1.2a + 2ab 2a 所以一一+ 1 = 0,所以a- b=2.a ba b即 2a+ 2ab 2a+ a b = 0,即卩 b a= 2ab,6. 设抛物线y2 2x的焦点为F,过F的直线交该抛物线于 A, B两点，则|AF |+ 4|BF|的最 小值为.答案9解析

17、 设A(X1, y1), B(X2, y2)，则由抛物线定义可得 AF|+ 4|BF| X1 +号+ 4 X2 +舟X1 + 2 + 4 X2+ 1 X1 + 4X2+ 2，设直线 AB的方程为ky x *,联立抛物线方程得方程组 1kyx2,、一 2、，、I消兀整理得y 2ky 1 0，由根与系数的关系可得y1y2 1，又A, By2 2x在抛物线上，代入方程得yfy2= 2xi 2x2= 4xix2 = 1，即XiX2=，因此根据基本不等式|AF |45 55 99+ 4|BF|= xi + 4x2 +2小1 X 4x2 + 2= 2 + 2= 2，当且仅当xi= 4x2时取得最小值 三、

18、解答题2 27. (13分)在平面直角坐标系 xOy中，如图所示，已知椭圆 专+ * = 1的 左，右顶点分别为 A, B,右焦点为F.设过点T(t, m)的直线TA, TB 与此椭圆分别交于点Mg y1), N(x2, y2),其中m>0, y1>0, y2<0.(1) 设动点P满足：|PF|2 |PB|2= 4,求点P的轨迹;1(2) 设X1= 2, X2= 3,求点T的坐标；设t= 9,求证：直线 MN必过x轴上的一定点(其坐标与 m无关).(1) 解 设 P(x, y),由题知 F(2,0), B(3,0), A( 3,0), 则 |PF |2= (x 2)2+ y2, |PB|2 = (x 3)2+ y2,由 |PF|2 |PB|2= 4，得(x 2)2+ y2 (x 3)2+ y2 = 4 ,99化简，得x= 2.故点P的轨迹方程是x= 31(2) 解 将X1= 2 , X2= 3分别代入椭圆方程，并考虑到 y1>0 , y2<0，得 M2 , 3 , N 3 , 20 .则直线MA的方程为y 0x+ 3即 x 3y + 3= 02+ 3直线NB的方程为y 0x 3y+ 3 = 0 ,联立方程|.5x 6y 15= 0 ,x 31,即 5x 6y 15= 0.1 310解得