直线与圆锥曲线专项训练

1、.直线与圆锥曲线专项训练对称轴平行于坐标轴的圆锥曲线【例题精选】：例1：已知平面上一点P在原坐标系中的坐标为，而在平移后所得到的新坐标系中的坐标为，那么新坐标系的原点在原坐标系的坐标为：ABCD分析：由移轴公式已知：答案：A。例2：若平移坐标轴，把坐标系的原点O移到点，在原坐标系下的坐标为（2，1），则原坐标系中的曲线在新坐标系中的方程是：ABCD分析：由已知。曲线在新坐标系中的方程是：。答案：D。例3：平移坐标轴化简方程，画出新旧坐标轴和图形，并写出在原坐标系下的顶点、焦点、准线方程和渐近线方程。解：配方得。，在新坐标系中，曲线方程为，顶点（3，0）（3，0），焦点（5，0）、（5，0），准

2、线方程为。在原坐标系中，顶点（2，2），（4，2），焦点（4，2），（6，2），准线方程。渐近线方程为，即，。右图是曲线的图形和新旧坐标轴。例4：设常数的长轴是短轴的2倍，则。分析：配方得椭圆方程时，依题意，时，。例5：抛物线的准线方程是，圆心在该抛物线的顶点且与其准线相切的圆的方程是。分析：抛物线，顶点为（2，0）焦参数。如右图所示，得准线方程为。圆心在抛物线顶点（2，0），与其准线相切的圆的半径为1，其方程为。小结：画出方程表示的曲线，数列结合有助于问题的解决。例6：双曲线以直线为对称轴，如果它的一个焦点在轴上，那么它的另一个焦点坐标为。分析：由已知双曲线的中心是（1，2），对称轴平行于坐

3、标轴，所以在轴上的焦点是（0，2），由对称性可知，另一焦点为（2，2），即为所求。例7：直线l过抛物线的焦点，并且与轴垂直，若被抛物线截得线段长为4，则。分析：在平移变换中，线段长度不变。令，抛物线方程为中画出曲线如右图所示，由抛物线。 例8：已知一条与轴平行的直线与曲线交于A、B两点，曲线中心面积的最大值。解：曲线方程可化为，它是中心为的椭圆。令，将方程化简为：设与轴平行的直线为，代入方程得，。例9：焦点为，离心率为2的双曲线的方程是。分析：由双曲线焦点为，则其中心为，实轴在轴，焦距，又离心率，所以 ,。例10：设抛物线经过两点（1，6）和（1，2），对称轴与轴平行，开口向右，直线被抛物线截

4、得的线段长度是。求抛物线方程。解：由于抛物线过点和，对称轴与轴平行，而，所以 是它的对称轴。因此，可设抛物线的顶点坐标是，它的方程是由抛物线过点得将直线代入，消去可得，即设抛物与直线的交点是满足方程，所以 又，于是，由题设可得，由、可得再由得代入得，即解出（不合题意，舍去）。把代入式可得。例11：已知方程讨论当时，方程表示什么曲线，并求出曲线的中心（或顶点）、焦点坐标和准线方程。解：（1）当。方程表示顶点为，焦点为（0，0），准线方程是的抛物线。（2）当时，原方程变形为即方程表示中心为的椭圆，其中。（3）当，方程表示双曲线，其中心、焦点坐标、准线方程的表达式与（2）相同。例12：已知曲线 （1

5、）取什么值时，方程表示焦点在与轴平行的直线上的椭圆；（2）求此椭圆的焦点坐标并求其焦点的轨迹。解：（1）配方得当。时，方程表示焦点在与轴平行的直线上的椭圆。（2）当时，焦点坐标为由消去。焦点轨迹为顶点在（1，9）开口向上的抛物线在轴下方的部分（除去顶点）。直线与圆锥曲线【例题精选】：例1：当实数取何值时，直线与双曲线。（1）有两个不同的公共点；（2）仅有一个公共点；（3）无公共点？分析：研究直线与圆锥曲线的交点个数的一般方法是，研究直线与圆锥曲线方程所组成的方程组的实数解的情况。解：将直线与双曲线方程联立代入得整理得当，方程有一实数解，此时直线为与双曲线的渐近线平行，则与双曲线有一交点。当时，

6、方程的判别式（1）时，直线与双曲线有两个交点；（2）时，直线与双曲线有一个交点；（3）时，直线与双曲线无交点。小结：本题中直线与双曲线有一个公共点包含了两种情况：直线与双曲线的渐近线平行与双曲线交于一点；直线与双曲线相切。同样，直线与抛物线交于一点，包括了与抛物线轴平行的直线与抛物线交于一点和直线与抛物线相切的两种情况。例2：求直线所得的线段的长。分析：求直线与圆锥曲线相交所截得的弦长，可以联立它们的方程，解方程组求出交点坐标，再利用两点间的距离公式即可求出，但计算比较麻烦。如果在方程组消元后得到一元二次方程，利用韦达定理可简化计算，也可用弦长公式求解。 解法一 设直线与椭圆交于两点。消去方程

7、的判别式，由韦达定理， 解法二：由解法一中得到由弦长公式 小结：求直线与圆锥曲线相交截得弦长的有关问题，是一类重要的题型，弦长，可做为公式用，但必须知道其公式推导的基础是两点间距离公式和一元二次方程的根与系数的关系。例3：求椭圆且平分于这点的弦所在直线的方程。解法一 设所求直线方程为，将其代入椭圆方程，消元后经整理得到关于的一元二次方程（*）在椭圆内，且是直线与椭圆相交弦的中点，所以方程（*）的判别式。由韦达定理，又，解得 。即。当斜率不存在时，过点M（2，1）的直线为x=2，不是问题的解。解法二 设过点M（2，1）的直线与已知椭圆相交于两点，则有关系式：得，即将、代入可求得即小结：解法二可称

8、为代点法，当问题涉及弦的中点时，利用此法比较简单。但要考虑所求的直线与圆锥曲线是否交于两点。例4：已知双曲线，过点M能否作直线，使与所给双曲线交于两点，且点M是线段的中点。这样的直线如果存在，求出它的方程，如果不存在，说明理由。解：设所求直线方程为，当斜率不存在时，直线垂直于轴不为所求。将所设直线与双曲线方程联立得：将代入化简整理得设直线与双曲线两交点是方程的两根，由韦达定理：又M（1，1）是的中点，所以斜率应满足由式解得，不满足式，所以满足题中条件的直线是不存在的。小结：本题是探求双曲线的弦的中点所在的直线是否存在，在求解过程中要特别注意一元二次方程判别式的重要作用。例5：已知的两条互相垂直

9、的直线，且与双曲线各有两个交点，分别为。（1）求的取值范围；（2）若的方程。解：（1）依题设，的斜率都存在，因为且与双曲线有两个交点，故方程组有两个不同的实数解。在方程组中消去，整理得若，则方程组只有一个解，即与双曲线只有一个交点，与题设矛盾，故。方程的判别式为设的斜率为，因为过点且与双曲线有两个交点，故方程组有两个不同的实数解。在方程组中消去，整理得同理有又因为。于是，与双曲线各有两个交点，等价于解得（2）设，由方程知 同理，由方程可得，整理得由将、代入上式得小结：注意到的内在关系，它们与双曲线所组成的方程组结构相同，可大大减少运算量。例6：已知椭圆C：和直线l：的取值范围，使对于直线l，椭

10、圆C上有不同的两点关于该直线对称。解法一 设所求的取值范围为M，依两点关于直线对称的定义，可知，等价于有（，是待定常数），使得这直线与椭圆C有两不同的交点P、Q，且线段PQ的中点落在直线上（如图所示）。由方程组代入得方程的两根为是不同的两点，故方程的判别式：解得又PQ的中点上。由方程根据韦达定理，从而故有，代入得，解法二 设点，由已知，得、代入得，是动弦PQ中点M的轨迹方程。将，解得。点M必在椭圆内，则有小结：由以上几道例题可以看出直线与圆锥曲线相交可以编拟较综合的问题，值得重视。例7：在。（1）设点A的坐标为，求曲线上的点到点A最近的点P之坐标及相应的距离|PA|；（2）设点A的坐标为，求曲

11、线上点到点A距离的最小值d，并写出的函数表达式。解：（1）设为曲线上任意一点，则。 式右端作为的函数在上单调递增，（2）设为曲线上任意一点，同理有 当时，式右端在处达到最小值。当时，式右端作为的函数在上单调递增，综上所述，有例8：（1）在抛物线上求一点，使它到直线的距离最短；（2）在椭圆上求一点，使它到直线的距离最短。解：（1）设P为抛物线上一点，则点P的坐标为，P到直线的距离。当时，有最小值；此时点P的坐标为（1，1）。（2）设椭圆，则点M到直线l的距离。有最小值，最小值为此时，。小结：对于（2）若不引入参数，直接设椭圆上点的坐标为，其到直线的距离，再与联立求的最小值，将很难完成，因此（2）

12、只适用于理科。例9：已知双曲线，在直线上任取一点P，经过点P且以已知双曲线的焦点为焦点作椭圆，求作出所有椭圆中长轴最短的椭圆方程。解法一 双曲线的焦点（1，0）、（1，0），设椭圆长轴长为，短轴长为，则。椭圆方程为直线l的方程为代入消去，其判别式即，解法二 设依条件所作的椭圆为，若使椭圆长轴最短，只需最小，（如图所示），由平面几何知，点P为点F1关于直线l的对称点所连直线与直线l的交点。已知椭圆的焦点为。设关于直线。【专项训练】：一、选择题：1、设点经过平移后，M的新坐标为：ABCD2、抛物线的焦点坐标为：ABCD3、方程表示的曲线是：A两条相交直线B两条平行直线C椭圆D双曲线4、双曲线方程，

13、它的中心到准线的距离是：ABC4D85、通过椭圆的一个焦点且与它长轴垂直的弦长等于：A8BC4D26、设倾斜角为的直线通过抛物线的焦点且与抛物线相交于M、N两点，则线段MN的长等于：A16BC8D7、双曲线右支上一点P到直线的距离为，则点P的坐标是：ABCD8、曲线恰 有3个不同的交点，则AB0CD不存在满足上述条件的a二、填空题：9、双曲线的焦点坐标是。10、以抛物线的焦点为顶点，而以其顶点为焦点的抛物线方程是。11、椭圆与抛物线的公共点的个数是。12、AB是抛物线的一条过焦点的弦，若，则AB的中点到直线的距离是。13、过双曲线的左焦点F1，引直线交双曲线左支于M、N，F2为双曲线右焦点，若

14、的周长为40，则弦。14、抛物线与椭圆在轴上方交于A、B两点，设椭圆左顶点为M，那么。三、解答题：15、已知双曲线的两条渐近线方程为，一条准线方程为，求此双曲线方程。16、设抛物线截直线所得的弦长。（1）求k的值；（2）以AB为底边，以x轴上点P为顶点，组成的面积为39时，求点P的 坐标。17、已知椭圆C的方程，若过C的右焦点F的直线l与C交于，两点，且满足，求直线l的方程。18、已知曲线C：，问是否存在实数，使得C与l交于A、B两点，并且以AB为直径的圆恰过原点。【答案】：一、选择题：1、B2、D提示：方程化为在中焦点为，在原坐标系中焦点为，所以选D。3、A提示：方程化为，表示两条相交直线，所以选A。4、C提示：平移变换得，准线方程为，所以选C。5、C提示：平移变换在新坐标系下的方程为，焦点为，代入求得，弦长为4。6、C提示：，焦点为（1，0），直线MN方程为，与抛物线联立，求得弦长，所以选C。7、由选择支A在双曲线上，且到直线的距离为，所以选A。8、B提示：当时，表示两条相交直线与圆恰 有3个交点，所以选B。二、填空题：9、（3，1），（1，1）10、11、3个12、提示：由抛物线定义，AB中点到准线的