2020年高考数学一轮复习绝对值不等式

1、7绝对值不等式考纲传真1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：|a+b|<|a|+|b|(a, bR), |a-b|< |a-c| +|c-b|(a, b, cC R).2.会利用 绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax+ b|<c； |ax+ b|>c；恒一a|十|x b|>c.扫除百点知识全通关1,绝对值三角不等式定理1：如果a, b是实数，则|a+ b|< |a|+ |b|,当且仅当ab 0时，等号成立.定理2：如果a, b, c是实数，那么|a- c|& |a b|+|b c|,当且仅当(ab)(b c)

2、0时，等号成立.2.绝对值不等式的解法(1)含绝对值白不等式X|<a与|x|>a的解法：不等式a>0a = 0a<0|x|<ax|a<x<a?|x|>ax|x> a 或 x< ax R|xw0R|ax+ b|<c, |ax+ b|>c(c>0)型不等式的解法： |ax+b|&c? gax+bwc ；|ax+ b|>c? ax+ b1c或 ax+ b0 c.(3)|x a|+ |x-b|>c, |x -a|+ |x b|<c(c>0)型不等式的解法:利用绝对值不等式的几何意义求解；利用零

3、点分段法求解；构造函数，利用函数的图象求解.基础自测1 .(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“，”，错误的打"x”)(1)|x-a|+xb|的几何意义是表示数轴上的点 x到点a, b的距离之和.()不等式|a|bg|a+b|等号成立的条件是ab<0.()不等式|a b|&|a|+|b|等号成立的条件是ab<0.()当 ab0 时，|a+b|=|a|+|b|成立.()答案，X ，2 .设a, b为满足ab<0的实数，那么（）A. |a+b|>|a b|B. |a+b|<|a- b|C. |a-b|<|a|-|b|D. |ab|<

4、 |a| + |b|B vab<0, . |ab|=|a|+|b|>|a+b|.3 .不等式1<|x+ 1|<3的解集为()A. (0,2)B. (-2,0)U(2,4)C. (-4,0)D. (4, - 2)U (0,2)D原不等式等价于1<x+1<3或3<x+ 1<-1,. .0<x<2 或一4<x< 2,原不等式的解集为( 4, -2)U(0,2),故选D.4 .函数y= |x-4|+ |x 6|的最小值为()A. 2B, 4C. 6D. 10A 由|x 4|+|x 6|的几何意义可知|x-4|+-6|>2,故

5、选A.5.若存在实数x使|x a|+|x1|03成立，则实数a的取值范围是.-2,4利用数轴及不等式的几何意义可得x到a与到1的距离和小于3,所以a的取值范围为一2<a<4题型全突破方法简洁I题型1|绝对值不等式的解法1.解不等式 x+|2x+3|>2.33一 一 一， 八，x< 一r、x）一解原不等式可化为 (2016 全国卷 I )已知函数 f(x)=|x+1|-|2x-3|. 或2-x-3>2 3x+3>2.解得x0 5或x> 1.31综上，原不等式的解集是xx05或xa3(1)在图中画出y=f(x)的图象；(2)求不等式|f(x)|>1的

6、解集.x 4, x< 1,3v-2 13解由题意得f(x)= 3x乙 .、 一、 所以|f(x)|>1的解集为xx<a或1<x< 3或x>5 规律方法1.本题利用分段函数的图形的几何直观性，求解不等式，体现了数 形结合的思想.2.解绝对值不等式的关键是去绝对值符号，常用的零点分段法的一般步骤：求 零点；划分区间，去绝对值符号；分段解不等式；求各段的并集.止匕外，还常用绝 对值的几何意义，结合数轴直观求解.Vx 2一 、3-x+4, x？,故y=f(x)的图象如图所示.(2)由f(x)的函数表达式及图象可知，当f(x)= 1时，可得x= 1或x= 3;当f(x

7、)=1时，可得乂=孑或乂= 5. 3故 f(x)>1 的解集为x1<x<3,1- f(x)< 1的解集为x x<a或x>5 .3I题型2|绝对值三角不等式的应用【例11(1)若对于实数x, y有|1 x|&2, |y+1|&1,求|2x+3y+1|的最大值.解因为 |2x+ 3y+ 1|= |2(x- 1) + 3(y+ 1)|<2|x- 1|+3|y+ 1|<7,所以|2x+3y+1|的最大值为7.(2)若 a>2, xCR,求证：|x-1 + a|+|x-a|>3.证明因为 |x 1 + a|+ x- a|>

8、|(x- 1 + a)-(x-a)|=|2a-1|,又 a"故|2a 1|>3,所以 |x 1 + a| + |x a|3 成立.规律方法利用绝对值三角不等式求最值或证明1对绝对值三角不等式定理|a|- |b|< |a|< |a|+ |b|中等号成立的条件是要深刻 理解，特别是用此定理求函数的最值时.,对于求y=|xa|+|x b|或y=|x a|x b|型的最值问题利用绝对值三角不等式更方便.形如y= |xa|+ |x- b|的函数只有最小 值，形如v= |x a|xb|的函数既有最大值又有最小值.2该定理可强化为|a|b|&|am|w|a|+|b|,它经

9、常用于证明含绝对值的不等式跟跑嫉习已知实数x, y满足：|x+y|<1, |2xy|<1.求证：|y|<T5.361O证明因为 31y|=|3y|=|2(x+y) (2x y)|02|x+ y|+|2x y|,11由题设知 |x+y|<, |2x y|<3, 36从而3|必<|+ 6= I，所以yK功I题型3|绝对值不等式的综合应用【例2】已知函数f(x)= |2x- a|+ a.当a = 2时，求不等式f(x)<6的解集；(2)设函数g(x) = |2x1|.当x R时，f(x)+g(x)>3,求a的取值范围.解(1)当 a = 2 时，f(x

10、) = |2x2| + 2.解不等式 |2x 2| + 206 得10x& 3.所以f(x)< 6的解集为x|1&x0 3.(2)当 xC R 时，f(x) + g(x)=|2x-a| + a+|1-2x|>|2x-a+1-2x| + a=|1-a|+a, 所以当x R时，f(x) + g(x)>3等价于|1 a|+a>3.当a0 1时，等价于1 a+a>3,无解.当a>1时，等价于a-1 + a>3,解得a>2.所以a的取值范围是2, +oo).规律方法设函数f x中含有绝对值，则1 f x >a 有解？ f x max&

11、gt;a.2 f x > a恒成立？ f x min>a., 3 f x >a恰在c, b上成立？ c, b是方程f x = a 的解.丁踪练习(2019郑州第二次质量预测)已知函数f(x) = |2x+ 11, g(x)= |x|+ a.(1)当a = 0时，解不等式f(x)>g(x)；(2)若存在x R,使f(x)&g(x)成立，求实数a的取值范围.解(1)当 a = 0 时，由 f(x)>g(x),得 |2x+1芦冈.两边平方整理，得3x1 从而所求实数a的取值氾围为一万，+ 00 .+4x+1>0,解得x0 1或x> 1.3所以原不等式

12、的解集为(8, - 1u -3, +°0 .3(2)由 f(x)&g(x),得 a引2x+1|一冈.令 h(x) = |2x+ 1|x|,1一 x 1, x< 一 2, x+ 1, x>0.则 h(x)=八一1八3x+ 1, 2<x<0,由分段函数图象可知, ,、,11h(x)min= h ？ =2，真题自主验效果近年考题感港规律1. (2018 全国卷 I )已知 f(x) = |x+1|ax 1|.当a=1时，求不等式f(x)>1的解集；若xC (0,1)时不等式f(x)>x成立，求a的取值范围.2, x 0 1,解(1)当 a=1 时

13、，f(x) = M+1|M 1|,即 f(x)= 2x, - 1<x< 1,2, x> 1.1故不等式f(x)>1的解集为x x>2 .当 xC (0,1)时|x+1|ax1|>x 成立等价于当 xC(0,1)时，|ax1|<1 成立.若 a00,则当 xC (0,1)时|ax1芦1；2 2 一右 a>0, |ax-1|<1 的解集为 0VxV二，所以二>1,故 0<a02.a a综上，a的取值范围为(0,2.2. (2018 全国卷 H)设函数 f(x) = 5|x+ a|-|x-2|.当a=1时，求不等式f(x)>0的解集；(2)若f(x)<1,求a的取值范围.解(1)当a=1时，2x+ 4, x< - 1,f(x)