排列组合和二项式定理第15课二项式定理

1、课 题：10 4二项式定理(四)教学目的：1 .掌握二项式定理和二项式系数的性质，2 .能灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题.教学重点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题教学难点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题授课类型：新授课.课时安排：1课时.教 具：多媒体、实物投影仪 .教学过程：一、复习引入：1 .二项式定理及其特例：(1) (a b)n Can C：anb C；an rbr | C：bn(n N ),(1 x)n 1 C1xC；xxn.2 .二项展开式的通项公式：Tr 1 C：an rbr .3 .求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据

2、通项公式讨论对 r的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性4二项式系数表(杨辉三角)(a 3”展开式的二项式系数，当n依次取1,2,3时，二项式系数表，表中每行两端都是1,除1以外的每一个数都等 于它肩上两个数的和.5.二项式系数的性质：(a b)n展开式的二项式系数是 C, Cn, C2 ,，C； . C；可以看成以r为自变量的函数 f(r),定义域是0,1,2, ”|,n,例当n 6时, 其图象是7个孤立的点(如图)(1)对称性.与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等(.Cm Cn m).直线r 0是图象的对称轴.2(2)增减性与最大值： 当n是偶数时，中间一项 C：取得最大值；当n

3、是奇数时，中间两项Cn2 , Cn2取得最大值.(3)各二项式系数和： (1 x)n 1 C；x J C：xr xn,令 x 1,则 2n C0 C： Cn m C； I Cn .二、讲解范例：例1.设 1 x 1 x21 x3 HI 1 x n a0 ax a?*2 Q anxn,当 a0 a1 a2an 254 时，求 n 的值.解：令x 1得：ao a1 a2 an 222 23 2n言J254,.2 128, n 7,点评：对于 f (x)a0(xa)na1(x a)n 1an,令 xa 1,即x a 1可得各项系数的和a0 a1 a2an的值；令x a1,即x a 1 ,可得奇数项系

4、数和与偶数项和的关系 .例 2.求证：Cn 2C2 3c3 I nCn n 2nl.证(法一)倒序相加：设 S Cn 2C2 3C3 J nCn 1,111又S nC： (n 1)Cn 1 (n 2)C； 2 | 2C2 Cn . nCnCn由 + 得：2S n C： C： C2 Cn ,S 1n 2n n 2n 1 ,即 Cn 2C： 3C3 | nC； n 2n 1(法二)：左边各组合数的通项为rCn!r r!(n r)!n (n 1)!(r 1)!(n r)!nC：；,2n 12 n 22例3.已知：(x3 3x2)n的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大992. cn 2C： 3C

5、3HI nC； n C3/ CIII Cn1(1)求展开式中二项式系数最大的项；解：令x 1 ,则展开式中各项系数和为 又展开式中二项式系数和为2n, 22n 2n 992, n 5.(2)求展开式中系数最大的项.(13)n2。(1) n 5,展开式共6项，二项式系数最大的项为第三、四两项,2222.飞 C；(x3)3(3x2)2 90x6, T4 C；(x2(3x2)3 270xy ,(2)设展开式中第r21 项系数最大,则 Tr 1 C；(x3)5 r(3x2)r10 4r3r C5x3rC； 3rle5 13rc53rle51r 9, r 4,即展开式中第5项系数最大,2T5C5V)(3

6、x2)426405x 至例 4.已知 Sn 2n C：2n 1 C；2n 2求证：当n为偶数时，Sn 4n分析：由二项式定理的逆用化简 的多项式.Cnn1 2 1(n N ),1能被64整除.Sn ,再把Sn4n1变形，化为含有因数 64n 1 n 12 n 2n 1n_n. Sn 2 Cn2Cn2 Cn2 1 (2 1)3 ,n* Sn 4n 1 3 4n 1 , 丁 n 为偶数，.设 n 2k (k N ), 2kk 0 4n 1 3 8k 1 (8 1) 8k 1C108k c18k 1 I C： 18 1 8k 1(C108k C88klm Ck)82 (),当k=1时，Sn 4n 1

7、 0显然能被64整除,当k 2时，（）式能被64整除，所以，当n为偶数时，Sn 4n 1能被64整除*三、课堂练习1 .JX 1 x 1 5展开式中X4的系数为,各项系数之和为 2多项式 f(x) C：(x 1) C2(x 1)2 C3(x 1)3 I C：(x 1)n(n 6)的展开式中，x6的系数为1 n3 .若一项式（3x2 一3）n （n N ）的展开式中含有常数项，则 n的最小值2x为（）A.4B.5C.6D.84 .某企业欲实现在今后 10年内年产值翻一番的目标，那么该企业年产值的年 平均增长率最低应（）A.低于5%B. 在5%6%之间C.在6%8%之间 D. 在8%以上5.在（1

8、 x）n的展开式中，奇数项之和为于（）p,偶数项之和为q,则（1 *2/等A.0 B. pq C.2222P q D. p q/,2,3,46 .求和： 一aC0 Cn a-C： c3 III1 a 1 a 1 a 1 a7 .求证：当n N且n 2时，3n 2n 1 n 28.求iox的展开式中系数最大的项答案：1.45, 02. 0.提示：f x xn 1 n 6 .3. B4. C5. D6.37.(略)8. T3 1 15360x四、小结：二项式定理体现了二项式的正整数哥的展开式的指数、项数、二项 式系数等方面的内在联系，涉及到二项展开式中的项和系数的综合问题，只需 运用通项公式和二项式系数的性质对条件进行逐个节破，对于与组合数有关的 和的问题，赋值法是常用且重要的方法，同时注意二项式定理的逆用.五、课后作业：1 .已知(a2 1)”展开式中的各项系数的和等于16 2x51x5的展开式的常数项，而(a2 1)n展开式的系数的最大的项等于54,求a的值(a R).答案：a ,32.设159x 3 2x1413a0 x 1a1 x 1a13 x 1求： a0 a1III a14013 答案： 39 19683； 33/ 9963.3.求值：2C0 C9 2C9C9 2C9 C95 2C6C7 2C9 C9.答案：28 256.296一4.