初二数学勾股定理讲义经典

1、1 / 9知识点归纳】1、已知直角三角形的两边,求第三边勾股定理2、求直角三角形周长、面积等问题3、验证勾股定理成立1、勾股数的应用勾股定理 勾股定理的逆定理 2、判断三角形的形状3、求最大、最小角的问题 1、面积问题2、求长度问题3、最短距离问题4、航海问题5、网格问题6、图形问题考点一：勾股定理（1） 对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为 a、b,斜边为 c,那么一定有a2b2c2勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。（2）结论：1有一个角是 30的直角三角形, 30角所对的直角边等于斜边的一半。2有一个角是 45的直角三角形是等腰直角三角形。3直角三角形斜边的中线

2、等于斜边的一半。（3）勾股定理的验证第一章 勾股定理勾股定理的应用2 / 9例题：例 1 已知直角三角形的两边，利用勾股定理求第三边。(1)在 Rt ABC 中，/ C=901若 a=5, b=12，贝 U c=_ ;2若 a=15, c=25,则 b=_;3若 c=61, b=60,则 a=_ ;4若 a : b=3 : 4, c=10 则 Rt ABC 的面积是=_。(2)如果直角三角形的两直角边长分别为n21, 2n ( n1),那么它的斜边长是()(3)在 Rt ABC 中, a,b,c 为三边长，则下列关系中正确的是()2,2 2 2 2,2A.a b cB.a c bC.c2b2a

3、2D.以上都有可能(4)已知一个直角三角形的两边长分别为 3 和 4,则第三边长的平方是()A25B 14C 7D 7 或 25例 2:已知直角三角形的一边以及另外两边的关系利用勾股定理求周长、面积等问题。(1)_ 直角三角形两直角边长分别为 5 和 12,则它斜边上的高为 _ 。(2)已知 RtABC 中，/ C=90，若 a+b=14cm c=10cm 贝 U Rt ABC 的面积是()2 2 2 2A 、2nB n+1CCn2-1cbaba3 / 9A 、24cmB、36cmC、48cmD 60cm(3) 已知 x、y 为正数，且丨 x2-4 | + (y2-3)2=0,如果以 x、y

4、的长为直角边作一个直角三角形,那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为()D 15例 3:探索勾股定理的证明4 / 9有四个斜边为 c、两直角边长为 a,b 的全等三角形，拼成如图所示的五边形，利用这个图形证 明勾股定理。考点二：勾股定理的逆定理(1)勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a,b,c 有关系，a2b2c2，那么这个三角形是直 角三角形。(2)常见的勾股数：(3n,4n,5n ),(5n,12n,13n) , (8n,15n,17n) , (7n,24n,25n) , (9n,40n,41n)(n 为正整数)(3) 直角三角形的判定方法：1如果三角形的三边长 a,b,c 有

5、关系，a2b2c2，那么这个三角形是直角三角形。2有一个角是直角的三角形是直角三角形。3两内角互余的三角形是直角三角形。4如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。例题：例 1:勾股数的应用(1)下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是()A. 4，5，6 B. 2，3，4 C. 11，12，13 D. 8，15，17(2)若线段 a，b，c 组成直角三角形，则它们的比为()A 、2 : 3 : 4B、3 : 4 : 6 C 、5 ： 12 ： 13 D 、4 : 6 : 7例 2:利用勾股定理逆定理判断三角形的形状(1)下面的三角形中：5 / 91

6、厶 ABC 中，/ C=ZA-ZB;2厶 ABC 中,ZA：ZB:ZC=1: 2： 3;3厶 ABC 中, a： b： c=3： 4： 5;6 / 9厶ABC 中，三边长分别为 8, 15, 17.其中是直角三角形的个数有（）.A. 1 个 B . 2 个C.3 个 D . 4 个（2）若三角形的三边之比为邑: :1，则这个三角形一定是（）22A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D不等边三角形（3）已知 a, b, c为厶ABC 三边，且满足（a2 b2）（a2+b2 c2） = 0,则它的形状为（）A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形（4）将直角

7、三角形的三条边长同时扩大同一倍数，得到的三角形是（）A.钝角三角形B.锐角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形（5）若厶 ABC 的三边长 a,b,c 满足a2b2c2200 12a 16b 20c,试判断 ABC 的形状。（6）_ ABC 的两边分别为 5,12，另一边为奇数，且 a+b+c 是 3 的倍数，则 c 应为_ ，此三角形为_。例 3:求最大、最小角的问题（1） 若三角形三条边的长分别是 7,24,25，则这个三角形的最大内角是 _度。（2） 已知三角形三边的比为 1: 、3 : 2,则其最小角为 _。考点三：勾股定理的应用例题：例 1:面积问题（1）下图是一株美丽的勾股树，其

8、中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形AB C D 的边长分别是 3、5、2、3,则最大正方形 E 的面积是（）A. 13 B. 26 C. 47 D. 947 / 9（图1）（图2）（图3）8 / 9（3）如图， ABC 为直角三角形，分别以 AB BC, AC 为直径向外作半圆，用勾股定理说明三个半 圆的面积关系，可得（）A. S 汁 S2 S3B. S 汁 S2= S3C. S2+SV SiD.以上都不是（2）如图所示，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是S、S、S，贝尼们之间的关系是（）A. S1- S2= S3B. S 计 S2= S3C.

9、S2+Sv S1D. S2- S3=S例 2:求长度问题（1）小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1 米，当他把绳子的下端拉开 5 米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度。（2）在一棵树 10m 高的 B 处，有两只猴子，一只爬下树走到离树 20m 处的池塘 A 处；？另外一只爬到树顶 D 处后直接跃到 A 外，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等， 试问这棵树有多高？2如图 1，已知圆柱体底面圆的半径为 -，高为 2, AB CD 分别是两底面的直径，AD BC 是母线，若一只小虫从 A 点出发，从侧面爬行到 C 点，则小虫爬行的最短路线的长度是（结果保留根式）

10、例 3: 最短路程问题(1)(图 1)9 / 9(2)如图 2,有一个长、宽、高为 3 米的封闭的正方体纸盒，一只昆虫从顶点A 要爬到顶点 B,那么这只昆虫爬行的最短距离为_(图 2)例 4:航海问题(1)一轮船以 16 海里/时的速度从 A 港向东北方向航行，另一艘船同时以 12 海里/时的速度从 A港向西北方向航行，经过 1.5 小时后，它们相距 _里.(2)如图 1,某货船以 24 海里/时的速度将一批重要物资从 A 处运往正东方向的 M 处，在点 A 处 测得某岛 C 在北偏东 60的方向上。该货船航行 30 分钟到达 B 处，此时又测得该岛在北偏东 30 的方向上，已知在 C 岛周围

11、 9 海里的区域内有暗礁，若继续向正东方向航行，该货船有无暗礁危险？ 试说明理由。台风中心，沿10 / 9(3)如图 2,某沿海开放城市 A 接到台风警报，BC 方向以 15km/h 的速度向 D 移动，已知城市 A 到 BC 的距离 AD=100km 那么台风中心经过多长时间从 B 点移到 D 点？如果在距台风中心 30km 的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险，正在D点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险?11 / 9例 5:网格问题(1)如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1,则网格上的三角形 ABC 中，边长为无理数 的边数是()A. 0 B . 1 C . 2

12、D . 3(2) 如图，正方形网格中的 ABC 若小方格边长为 1,则厶 ABC 是 ()A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.以上答案都不对(3) 如图，小方格都是边长为 1 的正方形,则四边形 ABCD 勺面积是()(1)如图 1，求该四边形的面积(3)某公司的大门如图所示,其中四边形AE CD是长方形,上部是以AD为A. 25B. 12.5 C. 9 D. 8.5(2) (2010 四川宜宾)如图 2, 已在厶 ABC 中，/ A= 45，AC：2, AB=3+1，则边 BC 的长为（图2）（图3）12 / 9直径的半圆，其中AE=2.3m,BC=2m,现有一辆装满货物的卡

13、车 高为 2.5m,宽为 1.6m，问这辆卡车能否通过公司的大门？并说明你的理由13 / 9(4)将一根长 24cm的筷子置于地面直径为 5cm,咼为 12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长为 hcm,贝Uh 的取值范围_ 。【培优提高】1.如图是一张直角三角形的纸片，两直角边 AG= 6 cm、BC= 8 cm,现将 ABC 折叠，使点 B 与点 A 重合，折痕为 DE 则 BE 的长为(A) 4 cm(B) 5 cm(C) 6 cm(D) 10 cm2如图所示，在 Rt ABC 中,ZC= 90,/ A= 30, BD 是/ABC 的平分线，CD= 5cm,求 AB 的 长.3.3

14、.如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是 1,每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形：1使三角形的三边长分别为 3、.8、. 5 (在图甲中画一个即可)；2使三角形为钝角三角形且面积为 4 (在图乙中画一个即可).4. 下列四组线段中，可以构成直角三角形的是()A.1 , 2, 3B.2, 3, 4C.3, 4, 5D.4, 5, 65. 在厶 ABC 中 , AB=6 AC=8 BC=1Q 则该三角形为()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形14 / 96.已知 ABC 是边长为 1 的等腰直角三角形，以 Rt ABC 的斜边 AC 为直角边，画第二个等腰 RtACD 再以 Rt ACM 斜边 AD 为直角边，画第三个等腰 Rt ADE，依此类推，第 n 个等腰 直角三角形的斜边长是_ .7. 如图，每个小正方形的边长为 1， ABC 的三边a,b,c的大小关系式：（A） a c b（B） a b c（C） cab（D） c b a8. （本题满分 10 分）问题情境勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法，我国汉代数学家赵爽根据弦图，利用面积法进行证明，著名数学家华罗庚曾提出把“数形关系”（勾股定理）带到其他星球,作为地球