导数双变量恒成立问题_第1页
导数双变量恒成立问题_第2页
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文档简介

1、已知函数 f (x) = x3 - ax2 bx a2 ( a、b R ) 1.若函数f(x)在x=1处有极值为10,求b的值 2.若对任意a -4,+ g),f(x)在x 0,2上单调递增，求b的最小值得 f '(x) = 3x2 2ax b解：(1 )由 f (x) = x3 ax2 bx a2,由函数y =f(x)在点x=1处有极值10可得以下3条信息(第3条作为验证用)1：函数在x=1处的导数为0，故32ab=0 ；2：函数在x =1处的函数值为0,故1 a b a10 ,由以上两式整理可得a 3 a -4 =0J b - 3 - 2a解得a3, 或a=4b=3|b-111 a

2、 = 322若，贝V f'(x)=3x -6x，3=3x-1在R恒大于等于0,J b = 3可见 y = f (x)在r上为单调递增函数，尽管在x二1处导数为0,但x = 1并不是极值点)【这就是第3条信息：可以解释成3：方程f '(x) = 3x2 2ax b = 0必须有两个不相等的根，这两个根，才分别都是极值点。如果两个根相等，则(都)不是极值点。】_Ca = 4所以只有符合要求， = -11即 b 一11(2)对于任意的a 1-4,:，函数f (x)在I。，2 1上单调递增二f '(x) =3x2 2ax b 一 0 在 a 1-4,:、x 0, 2 1 时恒成

3、立二b】：3x2-2ax 在 a'；-4, ' : > x 0, 2 】时恒成立= b 孑： -3x2 -2ax ( a'4, - : . x 0, 2 1)的最大值 (&)2记-3x -2ax = g(x),则 g(x) - -3x2 -2ax即g(x)的图像是开口向上的抛物线，且对称轴为,而 x：=0, 2 1所以若，(对称轴在0,2内),则在对称轴x33-1处g(x)取得最大值a 03：:0，则g(x)在0,2上单调递减，在x=0处g(x)取得最大值0于是，视a为定值、为变量(x 0, 2 )时，g(x)的最大值为 G =0, a a 0再视a为变量(a 1-4,亠- i)，易知G

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