关于高等数学不定积分例题思路和答案超全

1、第4章不定积分内容概要名称主要内容不不疋疋设 f(x)， xI，假设存在函数F(x)，使得对任意x I均有F (x) f (x)积分积分或dF(x) f(x)dx，那么称F(x)为f(x)的一个原函数。的 概f (x)的全部原函数称为f (x)在区间1上的不定积分，记为念注：(1 )假设f (x)连续，那么必可 积；(2)假设F(x),G(x)均为f(x)的原函数，那么F (x) G(x) C。故不定积分的表达式不唯一。性d质性质1: 一f (x)dxf (x)或 d f (x)dxf (x)dx ；dx性质 2： F (x)dx F(x) C 或 dF(x) F(x) C ；性质 3： f

2、(x)g(x)dxf (x)dxg(x)dx，,为非零常数。计算第一换元积分法设f (u)的原函数为F (u) , u(x)可导，那么有换元公式：方(凑微分法)法:第二类设x(t)单调、可导且导数不为零，f (t) (t)有原函数F(t)，换元积分法那么 f(x)dxf( (t) (t)dt F(t) C F( 1(x) C分部积分法有理函数积假设有理函数为假分式，那么先将其变为多项式和真分式的和；对真分式的处理分按情况确定。本章在下一章定积分中由微积分根本公式可知-求定积分的问题，实质上是求被积函数的原函数问题；的地后继课程无论是二重积分、三重积分、曲线积分还是曲面积分，最终的解决都归结为对

3、定积分的求位与解；而求解微分方程更是直接归结为求不定积分。从这种意义上讲，不定积分在整个积分学理论中作用起到了根基的作用，积分的问题会不会求解及求解的快慢程度，几乎完全取决于对这一章掌握的好坏。这一点随着学习的深入，同学们会曼慢体会到！课后习题全解习题4-11.求以下不定积分：知识点：直接积分法的练习求不定积分的根本方法。思路分析:利用不定积分的运算性质和根本积分公式，直接求出不定积分！dxx2 x思路:被积函数x 2，由积分表中的公式2可解。dx解:2厂X x/X5x 2dx3x2 C(3 x 1)dx 、x思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。解：3 x1 1(x3

4、x ' )dx1x3dx1x 2dx-x3 2x< C4分别积分。分别积分。(2x x)dx思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项,2解：(2x x2)dx2xdxx2dx In 2.x(x 3)dx思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项,解： i x (x 3)dx3x2 dx 31x2dx53x" Cc 4 (5) 3x 3x 1(5)2 dxx21423x2-后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。1思路:观察到3x 23x1x21解：c 4 c 2丿3x 3x 1x21dx3x2dxdx x3arcta n x Cx (6)思路

5、:注意到x2x211 x2，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。x解：2dx1 xdxdx xarctanx C.减去一个真分式的形式，再分项积分 (7)( x-l + 3-x x3思路:分项积分。解： (x-1+-3-2 x4有)dxx xxdx1dxxx 3dx44 x dx八忌A)dx*2思路:分项积分。)dx思路:.x x : X ？1x2dx1,=dx一 1 x23arcta n x2 arcs in x C. (10)思路:解：7x'，直接积分。解：dx1p厂dxx (1 x )裂项分项积分。1 dxx (1x2) (11)解： (12)x(e7x8dx158

6、 Tx815C.1)(eex 1思路 :初中数学中有同底数幂的乘法:12)dxxarcta nx C.1)dx(ex 1)dx指数不变，底数相乘。显然x C.3xex(3e)解:九匕急C.2 (13) cot xdx思路:应用三角恒等式“ cot2 x CSC2 X 1。解：cot2xdx(esc2 * x 1)dx cot x x C (14)3x思路:被积函数23 x5 23x(-) ，积分没困难。3(分(25(-)x)dx 2x 53 C.3In 2 In 32 x (15) cos dx2思路:假设被积函数为弦函数的偶次方时，一般地先降幂，再积分。解:cos2 d211 cosx1dx

7、 x221 sin x C.2 (16)1 cos2xdx思路 :应用弦函数的升降幂公式，先升幂再积分。解：dx1 cos2xcos2x(17)dxcosx sin x2cos-dxx2 1 sec xdx tan x C.2思路:不难，关键知道“ cos2xcos2 xsin2 x(cos x sin x)(cos x sin x)"。解： (18)cos2x ,dx(cosxcosx sin xcos2x ,22 dxcos x sin x sin x)dx sinx cosx C.思路:同上题方法，应用“cos2x2 . cos x sinx ，分项积分。解：.2x sin x

8、 , dx ( 19)cos2x ,2厂dx2 cos2 . 2 x sin xdx sin x12 xcos x=2，应用公式(5)即可。1 x2思:注意至寸被积函数J1J11xV1 xV1 xV1x2(1x2解：1x 2 dx 2arcsinx C.思路:注意到被积函数1cos x1 cos x1 2 sec x21-，那么积分易得。21cos2xc22cos x解：12cos x dx cos2x12 secxdx-dx2tan x xC.122 2、设xf (x)dxarccosxC，求 f(x)0知识点： 考查不定积分(原函数)与被积函数的关系。思路分析：直接利用不定积分的性质1:

9、f(x)dx f(x)即可。 dx 3、解 :等式两边对x求导数得：设f (x)的导函数为sinx，求f (x)的原函数全体。知识点： 仍为考查不定积分(原函数)与被积函数的关系。思路分析:连续两次求不定积分即可 。解：由题意可知，f (x) sinxdxCOSX所以f (x)的原函数全体为：(cosxG)dxsin xG xC2。 4、1证明函数一e2x, exshx和exchx都是2xechx-shx的原函数知识点:考查原函数(不定积分)与被积函数的关系。思路分析:只需验证即可。解：Qchx shxe2x，而加鬥 dxexshx加chxe2x2求此曲线的方程。 5、一曲线通过点(e2,3)

10、，且在任意点处的切线的斜率都等于该点的横坐标的倒数,知识点： 属于第12章最简单的一阶线性微分方程的初值问题，实质仍为考查原函数(不定积分)与被积函数的关系。思路分析：求得曲线方程的一般式，然后将点的坐标带入方程确定具体的方程即可。-J解：设曲线方程为y f(x)，由题意可知：f (x)dx1，f (x) ln | x | C ;x22又点(e ,3)在曲线上，适合方程，有 3 ln(e ) C, C1，所以曲线的方程为f(x) In |x|1.2 6、一物体由静止开始运动，经 t秒后的速度是3t2(m/s)，问：(1) 在3秒后物体离开岀发点的距离是多少？(2) 物体走完360米需要多少时间

11、？知识点： 属于最简单的一阶线性微分方程的初值问题，实质仍为考查原函数(不定积分)与被积函数的关系。思路分析：求得物体的位移方程的一般式，然后将条件带入方程即可。解 :设物体的位移方程为：y f (t)，d23那么由速度和位移的关系可得：f (t)3t2f (t) t3 C，dt又因为物体是由静止开始运动的，f(0)0, C 0, f (t) t3。3(1) 3秒后物体离开出发点的距离为：f(3)327米；令t3360 t 3 360 秒。习题4-2 1、填空是以下等式成立。知识点：练习简单的凑微分。思路分析:根据微分运算凑齐系数即可 。111解：(1)dx d(7x 3 );(2)xdx-d

12、(1 x2);(3) x3dxd(3x4 2);72122、求以下不定积分。知识点：(凑微分)第一换元积分法的练习。这在思路分析:审题看看是否需要凑微分。直白的讲，凑微分其实就是看看积分表达式中，有没有成块的形式作为一个整体变量， 这种能够马上观察岀来的功夫来自对微积分根本公式的熟练掌握。此外第二类换元法中的倒代换法对特定的题目也非常有效,课外例题中专门介绍！ (1) e3tdt思路:凑微分。解：e3tdt- e3td(3t) -e3t C333 (2)(3 5x) dx思路 :凑微分。3 1 3 1 4解：(3 5x) dx - (3 5x) d(3 5x)(3 5x) C5201 (3)d

13、x3 2x思路:凑微分解：一1dx3 2xd(33 2x2x)-l n|3 2x| C.213 5 3xdx思路 :凑微分。1 1 1解：-3 dx3d(5 3x)753x3 引 5 3xx (5) (sinax eb)dx思路:凑微分。x 1解:(sin ax eb )dx sin axd (ax) ba13 (513x) 3d(53x)*5 3x$ Cxxe%百1 cosaxbeCba (6)COS t1思路 :如果你能看到dJ 一 dt,凑出 dC.t 易解。2趴解: (7)cos td (、t)2sin . t C思路 :凑微分解：tan10 xsec2xdxtan10 xd (tan

14、 x) (8)dxxIn xln In xd(ln |ln x|)ln ln xln 11n ln x | C思路 :连续三次应用公式3凑微分即可解：dxd(ln |x|)xln xln ln x ln xln ln x (9) tan .k 叱思路 :此题关键是能够看到xdx是什么，是什么呢？就是d 1 x2这有一定难度!解：tantan .1x2d 1x2In | cos、. 1x2 | C (10)dxsin xcosx思路 :凑微分解：方法倍角公式 sin2x 2sin xcosx。方法二将被积函数凑出tan x的函数和tanx的导数。方法三:三角公式sinx cos2x 1，然后凑微

15、分。 (11)dxx e思路:凑微分:dxxxe eexdxdexdex解：dxexdx2x edex (12)思路:解：xcos(x2)dx凑微分。xcos(x2)dx2x e1(ex)2cosx2dx21(ex)2arcta nex C1 . sin x213xdx2 3x2思路:由xdxdx221 d(2 3x )解：2 3x2xdx2 3x2d(2 3x2)凑微分易解。2 3x211 (213x2) 2d(2 3x2) (14) cos2( t)sin(t)dt思路:凑微分。解:cos2( t)sin( t)dt 1 cos2(t)si n(t)d t - cos2(t )d cos(

16、 t)思路:凑微分解：34343ln |1x4 | C.4(sin x3 dxcos x思路:凑微分。解：sin x3 T cos x13 cos一 d cosx x1 12 cos2 xC.9 ( 17)x2dx20x思路:经过两步凑微分即可。9解：一xdx強x2010 ,220xdx101d10x102x101 arcsi n() C10 . 2 ( 18)dx一 9 4x2思路:分项后分别凑微分即可。解: bdx2dx=dx4x2(19)务思路：裂项分项后分别凑微分即可。解：dx (20)思路:解：_dx2x21( . 2x 1)( . 2x 1)xdx(45x)2分项后分别凑微分即可。

17、xdx(4 5x)21/4 5x 4、5 (45x)2dx、2x 1)dx4(4 5x)2) d(4 5x)x2dx(x 1)100思路 :分项后分别凑微分即可解：2 2x dx (x 1 1) dx100100-(x 1)(x 1)2_(x 1) (x1)100 (22)尝x 1思路:裂项分项后分别凑微分即可。解：xdxxdxx8 1(x4 1)( x4 1)12 x41-)xdx1-)dx21 (23)cos3 xdx思路:凑微分。cosxdx dsinx。解：cos3 xdxcos2 x cosxdxcos2 xdsin x(1sin2 x)d sin x (24) cos2( t )d

18、t思路 :降幂后分项凑微分。解：cos2( t )dt1 cos2(-)dt丄dt2cos2( t)d2( (25) sin 2x cos3xdx思:积化和差后分项凑微分。1-sin xdx2解： sin 2x cos3xdx (sin5x sin x)dx sin 5xd5x2 10 (26) sin 5xs in 7xdx思路 :积化和差后分项凑微分。11 1解： sin5xsin 7xdx (cos2x cos12x)dx cos2xd2x cos12xd(12x) 2424 (27) tan3 x secxdx思路 :凑微分 tan xsecxdx dsecx。3222解： tan x

19、 secxdx tan x tan xsecxdxtan xd secx(sec x 1)d secx28arccos x思路 :凑微分d( arccosx)。arccosx解：10dx (1x2arccosx10 d arccosx10arccosxIn10 C. (29)dx(arcsi nx)2 1x21思路 :凑微分dx71 x2d(arcsin x)。dx解：22(arcsinx)2 . 1 x2d arcsinx(arcsi nx)2Carcs inx (30) arctan = dX 丘(1 x)思路:凑微分arctan x仮(1 x)dx羽似肇呼 d 仮 2arctan Vxd

20、 (arcta门仮)。1(x)2解：弩叫xdx7x(1 x)羽似丫呼 d 仮2arcta n Vxd (arcta n 依)1( x)2dx (31) ln tanxcosxsin x思路:被积函数中间变量为tanx,故须在微分中凑出tanx，即被积函数中凑出sec x ,解：Jntandx cosxsin xIn tan x2dxcos xtanxln tan xd tanxIn tanxd (ln tan x)tan x1 In x dx ( 32)2(x In x)思路:d(xl nx) (1 In x)dx解：1 In x2 dx (xIn x)1(xIn x)2d(xIn x) (

21、33)dxx1 e解：方法一:思路:将被积函数的分子分母同时除以ex，那么凑微分易得。方法思路 :分项后凑微分方法三: ( 34)x(x 4)解：方法思路：分项后凑积分。方法二思路:利用第二类换元法的倒代换。那么 dx dt。 t2 ( 35)dxx8(1 x2)解：方法思路：分项后凑积分。方法二思路:利用第二类换元法的倒代换。那么dx(t6t4t21t77-t5511)dt (二)dtt 13 t 丄ln| C2 t 1(t6t42 1t2 1)dt -21 17 x75 x53x3)dt t 11冷Cx1iln|13、求以下不定积分。知识点:思路分析真正的换元，主要是三角换元第二种换元积分

22、法的练习。:题目特征是-被积函数中有二次根式，如何化无理式为有理式？三角函数中，以下二恒等式起到了重要的作用。为保证替换函数的单调性，通常将交的范围加以限制，以确保函数单调。不妨将角的范围统统限制在锐角范围内，得岀新变量的表 达式，再形式化地换回原变量即可。 ( 1) -1dx.1 x2思路:令xsint, t，先进行三角换元，分项后，再用三角函数的升降幂公式。2解：令xsint,t i，那么 dx costdt。t tan -2Carcs in xx 1 x2C.(或arcsinx 1一 x C )万能公式ttan 一2sin t1 cost1 costsin t，又 si nt x 时，c

23、ost . 1 x2 ) ( 2)Jx思路:求出的不定积分，由条件9ddxx思路:令x3sect, t(0,)，2三角换元。解：令x3sect, t(0,)，贝9 dx 3sect tantdt。2(x3secx时,3 . cosx ,sin xx三，tanx三匸x3 ( 3)dxx21)V1 x思路:令x tan t, t-，三角换元。2解：令 x tant, t，贝9 dx sec2 tdt2 ( 4)dx思路:令xata nt, t，三角换兀。2解：令xatant,t i，那么 dx asec2tdt。 ( 5)思路:先令2u x，进行第一次换元；然后令 utant, t，进行第二次换元

24、。2解：Q-* x 1-dx 1x. x412x2 得:x21du，1tan t, t2贝U du sec tdt，与课本后答案不同(6). 5 4x x2dx思路 :三角换元，关键配方要正确。解：Q5 4xx29 (x 2)2x 23sin t, t，贝卩 dx 3costdt。2 4、求一个函数f (x),满足 f (x)f 0 1确定出常数C的值即可。解：Q IdxJd(x1)C.令 f(x) 2.1 x C，又 f(0)可知C 5、设 I ntann xdx,，求证:Intann1x In-2，并求 tan xdx。思路:由目标式子可以看岀应将被积函数tann x分开成tann 2 x

25、tan2 x，进而写成:tann 2x(sec2 x 1) tann2 2xsectann2x，分项积分即可。证明:Intann xdx(tannxsec xtann 2 x)dxtann 2 xsec xdx tann 2 xdx习题4-31、求以下不定积分：知识点:根本的分部积分法的练习。思路分析:严格按照“反、对、幂、三、指'顺序,越靠后的越优先纳入到微分号下凑微分。的原那么进行分部积分的练习。 ( 1) arcs in xdx思路:被积函数的形式看作 x0 arcsinx，按照“反、对、幂、三、指顺序，幂函数x0优先纳入到微分号下，凑微分后仍为dx。解： arcs in xdx

26、 xarcs in xxTdx 1 x21 xarcsin x 21 丄x2d° "I( 2)ln(1 x2)dx思路:同上题。解：2ln(1 x )dx xln(1x_12x2dx xln(1 x )2x22dx1 xarcta nxdx思路:同上题。解：arctan xdx xarctan xdx (4)e2xsindx2思路:严格按照“反、对、幂、三、指解：Q e 2x sin xdx sin d (2 2x1 x2xarcta nx 2顺序凑微分即可。1 2x、12x . Xe ) e sin2 2 2d(11x2)x2e 2x1 cos - dx2 2 ( 5)x

27、2 arcta nxdx思路:严格按照“反、对、幂、三、指顺序凑微分即可。解：x2 arctan xdxarctan xd arcta nx33 (6)xcosdx2思路:严格按照“反、对、幂、三、指顺序凑微分即可。解：xcosdx22 xdsin?22xsin x 2 sin -dx22xsin -2xta n2xdx思路:严格按照“反、对、幂、三、指顺序凑微分即可。解：xta n2xdx22x(sec x 1)dx (xsecx)dxxse£ xdxxdx8In 2xdx思路:严格按照“反、对、幂、三、指顺序凑微分即可。解：2 2In xdx xIn xx 2ln12x -dx

28、xln x xIn xdx x In2 x2x In x1x dxx ( 9)xln(x 1)dx思路:严格按照“反、对、幂、三、指顺序凑微分即可。解：x In (x 1)dxln(x 1沁丄 x2ln(x2 21)2x . -dx 1 (10)叭x思路：严格按照“反、对、幂、三、指顺序凑微分即可。解:ln 2xdx In2xxd(丄In2 xx1 -2ln x1dxxAn2 xxIn x dx x (11) cos In xdx思路：严格按照“反、对、幂、三、指顺序凑微分即可。解: Q cos In xdx xcos In xxsin In x dxxxcos Insin In xdx (1

29、2)呼dxx思路 :详见第10小题解答中间，解答略(13) Xnl nxdx (n 1)思路：严格按照“反、对、幂、三、指顺序凑微分即可。解：xn In xdx In xd丄 xn 11n Xn 1(14)x2e xdx思路：严格按照“反、对、幂、三、指顺序凑微分即可。解:x2e xdxx2e xe x2xdxx2e x2xe xe Xdx32 (15) x (In x) dx思路：严格按照“反、对、幂、三、指顺序凑微分即可。解：x3(In x)2dx(In x)2dx4) lx4(In x)244x42In x dxx (16)皿Xx思路将积分表达式In In x dx 写成 In In x

30、d (In x)，将 xIn x看作一个整体变量积分即可。解：In In x dxxIn In xd (In x) In xln In xIn x -In x1dx In xIn In x x1dx x(17)xsin x cosxdx思路：严格按照“反、对、幂、三、指顺序凑微分即可。解： xsin x cos xdx11xsin 2xdx xd(221 cos2x)211x cos 2xcos 2 xdx4422 x (18) x cos dx2思路：先将cos2 -降幂得21一cosx，然后分项积分;第二个积分严格按照“反、对、幂、三、指顺序凑微分即可。2解: x2cos22dx(r21

31、x2 cosx)dx2x2dx ix2 cos xdx(19) (x2 1)si n2xdx思路 :分项后对第一个积分分部积分。解：(x2 1)sin 2xdxx2 sin2xdxsin 2xdxx2d(1 cos2x)21-cos2x2思路 :首先换元，后分部积分。解：令t 3 x，那么 x t3,dx 3t2dt, (21) (arcsin x)2dx思路 :严格按照“反、对、幂、三、指顺序凑微分即可解： (arcsin x)2dx x(arcsinx)22arcsin xdxx2x(arcsinx)22 1 x2 arcsinxx(arcs in x)22 1-2xarcsinxdx21

32、xdxJ1 x2x(arcsi nx)22 12x arcsinx 2x C.(22) ex sin2 xdx思路：严格按照“反、对、幂、指顺序凑微分即可。解：方法 方法二:(23)叱亠 Jx思路 :严格按照“反、对、幂、指顺序凑微分即可。解：ln (1=x)dxln(1 x)d(2 Jx)=2.xl n(1 x) ®dxJx1 x令tJx,那么 dx 2tdt,所以原积分ln(1厂x)dx 2仮|n(1 x) 4lx 4arctan 仮 C。xx (24)叫dxe思路：严格按照“反、对、幂、三、指顺序凑微分即可。解： ln(1 xe )dx ln(1 ex)d( e x) e xl

33、n(1 ex) e x e xdxe1 e注：该题中- dx的其他计算方法可参照习题 4-2，2(33)。1 ex1 x(25) x ln dx1 x思路 :将被积表达式dxsin 2xcosx写成dx2sin xcos2 xsec xdx2sin xd tan x2sin x然后分部积分即可dxdx解：2sin 2xcosx 2sin xcos xsec xdx2sin xd tan x2sin x思路 :严格按照“反、对、幂、三、指顺序凑微分即可解：1 x1x12121x121 x 1 x 1 xx IndxIn -d(x )xInx2 dx1 x1x1x1 x (1 x)2注:该题也可以

34、化为1 xlnxdxxl n(1x)ln(1x) dx再利用分部积分法计算。1x ( 26)dxsin 2x cosx2、用列表法求以下不定积分。知识点：仍是分部积分法的练习 思路分析:审题看看是否需要分项，是否需要分部积分，是否需要凑微分。按照各种方法完成。我们仍然用一般方法解岀, 不用列表法。 (呢？这里涉及到三角函数中 1的变形应用，初等数学中有过专门的介绍，这里 1可变为sin2 x cos2 x o) xe3xdx思路：严格按照“反、对、幂、三、指顺序凑微分即可。解：3x1 3x1xe dx xd( e )- x333x 13x ,13x:ee dx - xe3313x , _e d

35、3x913(x1)貴c (2)(x 1)exdx思路:严格按照“反、对、幂、三、指顺序凑微分即可。解：(x 1)exdx(x 1)dex(x 1)exexdx xexC。 2)x2 cosxdx思路:严格按照“反、对、幂、三、指顺序凑微分即可。解：x2 cosxdxx2d sinx2x sinx 2 xsin xdx2x sinx 2xd cosx (4)(x21)e xdx思路:分项后分部积分即可。解：(x2 1)e xdxx2e xdxe xdxx2d( e x)e xdx思路 :严格按照“反、对、幂、三、指顺序凑微分即可解： xln(x 1)dxIn(x 1)d(*x2) 1 x21n(

36、x1)-12dxx 1x e 又Q f(x)=-xf(x) = F e xxf 5、设 |ndx /，(nsin x2)；证明：Incosx.n 1sin xn 2?Vn2 o知识点:仍然是分部积分法的练习。思路分析cos x:要证明的目标表达式中出现了ln，- 浮sinn x和In 2提示我们如何在被积函数的表达式1cosx中变岀 n. n 1sin xsin x(6) e e 4、 f(x)二，求 xf (x)dx ox知识点：仍然是分部积分法的练习。思路分析：积分xf (x)dx中出现了 f(X), 应马上知道积分应使用分部积分。解：Q xf (x)dx xd(f (x) xf (x)

37、f (x)dx xf (x) f (x) C. * cosxdx思路：严格按照“反、对、幂、三、指顺序凑微分即可。解：Q e x cosxdx cosxd( e x) e xcosx e x sinxdxsin x 3、 是f (x)的原函数，求 xf (x)dxo x知识点：考察原函数的定义及分部积分法的练习。思路分析：积分 xf (x)dx中出现了 f (x),应马上知道积分应使用分部积分，条件告诉你是f (x)的原函数，xsin x应该知道 f(x)dx C.x解：Q xf (x)dxxd(f (x)=xf (x)f (x)dxsi nxxcosx si nx、 xcosx sin x又

38、Q f (x)dxC, f (x)2, xf (x);xxx1和n 2sin xIndxnsin x2cos x .dx sin x2 2sin x cos xdxnsin x2cos x .dxsin x.2sin x .dxxsin2cos x .dxsin xsinInIncosx ,. n dsinx sin xIn2cosx . n sinx sin xcosxn-1sin xcosxn 1sin x单调连续函数，求:sinxnsinx sin x nsin2n sin x2 xcosxdxInIn2cosx2cos x _ n dx sin xnIn nIn 2n 1 sin xn

39、In1f (x)为其反函数,1f (x)dx。InIncosxn 1sin xcosxnsin1xIn2nIn(nf(x)dxF(x).2sin x i ,n dx In sin x2)In 2 6、设 f( x)为知识点：此题考察了一对互为反函数的函数间的关系，还有就是分部积分法的练习。 思路分析 :要明白x f (f 1(x)这一恒等式，在分部积分过程中适时替换。解：Q f-1(x)dx=xf-1(x)- xd(f -1(x)又Q x f (f 1(x)又Q f (x)dx F (x) C习题4-41、求以下不定积分知识点：有理函数积分法的练习 思路分析：被积函数为有理函数的形式时，要区分

40、被积函数为有理真分式还是有理假分式，假设是假分式，通常将被积函数分 解为一个整式加上一个真分式的形式，然后再具体问题具体分析。3x(1)dxx 3思路 :被积函数为假分式，先将被积函数分解为一个整式加上一个真分式的形式，然后分项积分解：3xQ x 3x327 27x 32x 3x 927x 3dx54x x3x x解：54x x 83x x(x5x3)(x4x2)(x3x)x2x 82x2x 83x x 1x xx x而 x3x x(x 1)(x 1),人 x2 x 8 A B 令-X厂，等式右边通分后比拟两边分子x 1x的同次项的系数得:A B C 1A 8C B 1 解此方程组得：B4A

41、8C33 (3)3 dxx 1思路 :将被积函数裂项后分项积分。解：Q x3 1 (x 1)(x2x 1)x31Bx Cx2 x 1等式右边通分后比拟两边分子x的同次项的系数得:A+B=OB+C-A=O解此方程组得:A+C=3 (4)丄丄抄(x 1)思路 :将被积函数裂项后分项积分解：令(x(x1)2(x1)3，等式右边通分后比拟两边分子x的同次项的系数得:A 0,2A1, A解此方程组得:0, B1, C3x (5)23dxx(x 1)思路 :将被积函数裂项后分项积分。解:Q；ti儿x(x 1)3 'C(x 1)2D(x 1)3等式右边通分后比拟两边分子 x的同次项的系数得:ABOA

42、 23A 2B C 0B2解此方程组得：3A B C D 0C2A 2D2 (6)(x 2)(x 3)2思路 :将被积函数裂项后分项积分解：x(x 2)(x 3)2x 22(x 2)(x 3)2x 2(x 2)( x 3)22(x 2)(x 3)21(x 3)222 ；令22(x 2)( x 3)2(x 2)(x 3)2A B Cx 2 x 3 (x 3)2等式右边通分后比拟两边分子 x的A B0A26A 5BC0解此方程组得：B29A 6B2C2C2同次项的系数得:22(x 2)( x 3) (7)2 2 22x 2 x 3 (x 3)3xx思路 :将被积函数裂项后分项积分3x 3(x 1)

43、 333解：Q飞32厂x 1 x 1 x x 1 x 1x 1 x1 xx1AB 0A1AB C0解此方程组得B1AC 3C2而x2而2x x 1j(2x1)3(2x1)31(2x1)32222222 xx12x x12 xx 12x x12x x 1A Bx C令飞2，等式右边通分后比拟两边分子x的同次项的系数得: (8)1 x2 xdx1)2思路 :将被积函数裂项后分项积分解：21 x xQ r(x2 1)21x2x21 (x21)2 (x21)2又由分部积分法可知:dxi 22(x 1)xx21xdx(x 1)(x2)( x 3)解：(X 1)(X2)( x3)x 3 3(x 1)(x

44、2)(x 3)(x 1)(x 2)(x 1)(x2)(x 3)(x 1)(x2)(x 3)ABCx 1 x 2 x 33ABC0A25A4B3C0解之得：B36A3B2C3C32等式右边通分后比拟两边分子x的同次项的系数得:33 _J_(x 1)(x 2)(x 3) x 11(x 1)(x 2) (10)x2 1(x 1)2(x 1)dx思路 :将被积函数裂项后分项积分解：x21Q(x 1)2(x1)x212(x 1)2(x 1)1 2x 1 (x 1)2(x 1)令一(x21)2(x1)2 ，(x 1)等式右边通分后比拟两边分子x的同次项的系数得:0,2AC 0,解之得：A 丄，B2 (11)2 dx x(x 1)思路 :将被积函数裂项后分项积