中考数学一轮复习 第6课 一元二次方程导学案-人教版初中九年级全册数学学案

1、第6课 一元二次方程【考点梳理】：1. 一元二次方程的一般形式: a0时，ax2+bx+c=0叫一元二次方程的一般形式，研究一元二次方程的有关问题时，多数习题要先化为一般形式，目的是确定一般形式中的a、 b、 c； 其中a 、 b,、c可能是具体数，也可能是含待定字母或特定式子的代数式.2. 一元二次方程的解法: 一元二次方程的四种解法要求灵活运用， 其中直接开平方法虽然简单，但是适用范围较小；公式法虽然适用范围大，但计算较繁，易发生计算错误；因式分解法适用范围较大，且计算简便，是首选方法；配方法使用较少.3. 一元二次方程根的判别式: 当ax2+bx+c=0 (a0)时，=b2-4ac 叫一

2、元二次方程根的判别式.请注意以下等价命题：0 有两个不等的实根； =0 有两个相等的实根；0 无实根； 0 有两个实根（等或不等）.4. 一元二次方程的根系关系： 当ax2+bx+c=0 (a0) 时，如0，有下列公式： 5当ax2+bx+c=0 (a0) 时，有以下等价命题：(以下等价关系要求会用公式 ；=b2-4ac 分析，不要求背记)（1）两根互为相反数 = 0且0 b = 0且0；（2）两根互为倒数 =1且0 a = c且0；（3）只有一个零根 = 0且0 c = 0且b0；（4）有两个零根 = 0且= 0 c = 0且b=0；（5）至少有一个零根 =0 c=0；（6）两根异号 0 a

3、、c异号；（7）两根异号，正根绝对值大于负根绝对值 0且0 a、c异号且a、b异号；（8）两根异号，负根绝对值大于正根绝对值 0且0 a、c异号且a、b同号；思考与收获（9）有两个正根 0，0且0 a、c同号， a、b异号且0；（10）有两个负根 0，0且0 a、c同号， a、b同号且0.6求根法因式分解二次三项式公式：注意：当 0时，二次三项式在实数范围内不能分解.ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2) 或 ax2+bx+c=.7求一元二次方程的公式： x2 -（x1+x2）x + x1x2 = 0. 注意：所求出方程的系数应化为整数.8平均增长率问题-应用题的类型题之一 （设增长率为

4、x）： (1) 第一年为 a , 第二年为a(1+x) , 第三年为a(1+x)2.（2）常利用以下相等关系列方程： 第一年+第二年+第三年=总和.【思想方法】1. 常用解题方法换元法2. 常用思想方法转化思想，从特殊到一般的思想，分类讨论的思想【考点一】：一 元二次方程的解【例题赏析】（2014湖南张家界，第15题，3分）已知关于x的方程x2+2x+k=0的一个根是1，则k= 考点：一元二次方程的解分析：将x=1代入已知方程，列出关于k的新方程，通过解新方程即可求得k的值解答：根据题意，得（1）2+2（1）+k=0，解得k=1；故答案是：1点评：本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义一

5、元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值即用这个数代替未知数所得式子仍然成立【考点二】：一元二次方程的解法【例题赏析】思考与收获（1）（2015，广西钦州，7，3分）用配方法解方程，配方后可得（）a b c d考点：解一元二次方程-配方法专题：计算题分析：方程移项，利用完全平方公式化简得到结果即可解答：解：方程x2+10x+9=0，整理得：x2+10x=9，配方得：x2+10x+25=16，即（x+5）2=16，故选a点评：此题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键（2）（2015重庆a8，4分）一元二次方程的根是（ ）a. b. c.

6、 d. 考点：解一元二次方程- 因式分解法 分析：先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可 解答：解：， x （x 2 ）=0 ， x=0 ，x 2=0 ， x1 =0 ，x2 =2 ， 故选d 点评：本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能把一元二次方程转化成一元一 次方程，难度适中 【考点三】：根的判别式及其应用【例题赏析】（2015宁德 第7题 4分）一元二次方程2x2+3x+1=0的根的情况是（）a有两个不相等的实数根b有两个相等的实数根c没有实数根d无法确定考点：根的判别式思考与收获分析：先求出的值，再判断出其符号即可解答：解：=32421=10，方程有两个不相

7、等的实数根故选b点评：本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根与的关系是解答此题的关键【考点四】：列一元二次方程解应用题【例题赏析】（1）（2015黑龙江哈尔滨，第8题3分）（2015哈尔滨）今年我市计划扩大城区绿地面积，现有一块长方形绿地，它的短边长为60m，若将短边增大到与长边相等（长边不变），使扩大后的绿地的形状是正方形，则扩大后的绿地面积比原来增加1600m2设扩大后的正方形绿地边长为x m，下面所列方程正确的是（）a x（x60）=1600 b x（x+60）=1600 c 60（x+60）=1600 d 60（x60）=1600考点： 由实际问题抽象

8、出一元二次方程专题： 几何图形问题分析： 设扩大后的正方形绿地边长为xm，根据“扩大后的绿地面积比原来增加1600m2”建立方程即可解答： 解：设扩大后的正方形绿地边长为xm，根据题意得x260x=1600，即x（x60）=1600故选a点评： 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是弄清题意，并找到等量关系（2）（2015内蒙古呼伦贝尔兴安盟，第10题3分）学校要组织足球比赛赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x个球队参赛根据题意，下面所列方程正确的是（）ax2=21bx（x1）=21cx2=21dx（x1）=21考点：由实际问题抽

9、象出一元二次方程思考与收获分析：赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），x个球队比赛总场数=即可列方程解答：解：设有x个队，每个队都要赛（x1）场，但两队之间只有一场比赛，由题意得：x（x1）=21，故选：b点评：本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是读懂题意，得到总场数的等量关系（3）（2015辽宁铁岭）（第9题，3分）某商品经过连续两次降价，销售单价由原来200元降到162元设平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程为（）a200（1x）2=162 b200（1+x）2=162c162（1+x）2=200d162（1x）2=200考点：由实际问题抽象出一元二次方程.专题

10、：增长率问题分析：此题利用基本数量关系：商品原价（1平均每次降价的百分率）=现在的价格，列方程即可解答：解：由题意可列方程是：200（1x）2=168故选a点评：此题考查一元二次方程的应用最基本数量关系：商品原价（1平均每次降价的百分率）=现在的价格【考点五】：根与系数的关系【例题赏析】（2015贵州省黔东南州,第5题4分）设x1，x2是一元二次方程x22x3=0的两根，则x12+x22=（）a 6b8c10d12考点：根与系数的关系分析：根据根与系数的关系得到x1+x2=2，x1x2=3，再变形x12+x22得到（x1+x2）22x1x2，然后利用代入计算即可解答：解：一元二次方程x22x3

11、=0的两根是x1、x2，x1+x2=2，x1x2=3，思考与收获x12+x22=（x1+x2）22x1x2=222（3）=10故选c点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=，x1x2=【真题专练】1. （2015丹东，第15题3分）若x=1是一元二次方程x2+2x+a=0的一个根，那么a= 2. （2015齐齐哈尔,第14题3分）abc的两边长分别为2和3，第三边的长是方程x28x+15=0的根，则abc的周长是 3. （2015广东东莞8，3分）若关于x的方程x2+xa+=0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（

12、）a a2 b a2 c a2 d a24（2015湖南张家界，第6题3分）若关于x的一元二次方程kx24x+3=0有实数根，则k的非负整数值是（）a 1 b 0，1 c 1，2 d 1，2，35. （2015山西,第5题3分）我们解一元二次方程3x26x=0时，可以运用因式分解法，将此方程化为3x（x2）=0，从而得到两个一元一次方程：3x=0或x2=0，进而得到原方程的解为x1=0，x2=2这种解法体现的数学思想是（）思考与收获a转化思想b函数思想c数形结合思想d公理化思想6.（2015黔西南州）（第7题）某校准备修建一个面积为180平方米的矩形活动场地，它的长比宽多11米，设场地的宽为x

13、米，则可列方程为（）a x（x11）=180 b 2x+2（x11）=180 c x（x+11）=180 d 2x+2（x+11）=1807. （2015辽宁省盘锦,第12题3分）方程（x+2）（x3）=x+2的解是 8. （2015甘南州第15题 6分）白溪镇2012年有绿地面积57.5公顷，该镇近几年不断增加绿地面积，2014年达到82.8公顷（1）求该镇2012至2014年绿地面积的年平均增长率；（2）若年增长率保持不变，2015年该镇绿地面积能否达到100公顷？9. （2015黑龙江省大庆,第21题5分）已知实数a，b是方程x2x1=0的两根，求+的值思考与收获10. （2015湖北十

14、堰，第21题7分）已知关于x的一元二次方程x2（2m+3）x+m2+2=0（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；（2）若方程两实数根分别为x1、x2，且满足x12+x22=31+|x1x2|，求实数m的值11. （2015长沙，第23题9分）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高度发展，据调查，长沙市某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同（1）求该快递公司投递总件数的月平均增长率；（2）如果平均每人每月最多可投递0.6万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年6

15、月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？【真题演练参考答案】1. （2015丹东，第15题3分）若x=1是一元二次方程x2+2x+a=0的一个根，那么a=3考点： 一元二次方程的解分析： 根据方程的根的定义将x=1代入方程得到关于a的方程，然后解得a的值即可解答： 解：将x=1代入得：1+2+a=0，解得：a=3故答案为：3点评： 本题主要考查的是方程的解（根）的定义和一元一次方程的解法，将方程的解代入方程是解题的关键2. （2015齐齐哈尔,第14题3分）abc的两边长分别为2和3，第三边的长是方程x28x+15=0的根，则abc的周长是8考点： 解一元二次方程-因式分解法

16、；三角形三边关系分析： 先求得方程的根，再根据三角形三边关系判断出第三边的长，可求得三角形的周长解答： 解：解方程x28x+15=0可得x=3或x=5，abc的第三边为3或5，但当第三边为5时，2+3=5，不满足三角形三边关系，abc的第三边长为3，abc的周长为2+3+3=8，故答案为：8点评： 本题主要考查三角形三边关系和一元二次方程的解法，利用三角形三边关系进行验证是解题的关键3. （2015广东东莞8，3分）若关于x的方程x2+xa+=0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（）a a2 b a2 c a2 d a2考点： 根的判别式分析： 根据判别式的意义得到=124（a+）0，

17、然后解一元一次不等式即可解答： 解：根据题意得=124（a+）0，解得a2故选c点评： 本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根与=b24ac有如下关系：当0时，方程有两个不相等的两个实数根；当=0时，方程有两个相等的两个实数根；当0时，方程无实数根4（2015湖南张家界，第6题3分）若关于x的一元二次方程kx24x+3=0有实数根，则k的非负整数值是（）a 1 b 0，1 c 1，2 d 1，2，3考点： 根的判别式；一元二次方程的定义分析： 根据方程有实数根，得到根的判别式的值大于等于0列出关于k的不等式，求出不等式的解集得到k的范围，即可确定出k的非负整数值解答

18、： 解：根据题意得：=1612k0，且k0，解得：k，则k的非负整数值为1故选：a点评： 本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a0，a，b，c为常数）的根的判别式=b24ac当0，方程有两个不相等的实数根；当=0，方程有两个相等的实数根；当0，方程没有实数根5. （2015山西,第5题3分）我们解一元二次方程3x26x=0时，可以运用因式分解法，将此方程化为3x（x2）=0，从而得到两个一元一次方程：3x=0或x2=0，进而得到原方程的解为x1=0，x2=2这种解法体现的数学思想是（）a转化思想b函数思想c数形结合思想d公理化思想考点：解一元二次方程-因式分解法专题：计算题分析：上述解

19、题过程利用了转化的数学思想解答：解：我们解一元二次方程3x26x=0时，可以运用因式分解法，将此方程化为3x（x2）=0，从而得到两个一元一次方程：3x=0或x2=0，进而得到原方程的解为x1=0，x2=2这种解法体现的数学思想是转化思想，故选a点评：此题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键（2015黔西南州）（第7题）某校准备修建一个面积为180平方米的矩形活动场地，它的长比宽多11米，设场地的宽为x米，则可列方程为（）a x（x11）=180 b 2x+2（x11）=180 c x（x+11）=180 d 2x+2（x+11）=180考点： 由实际问题抽象出

20、一元二次方程专题： 增长率问题分析： 根据题意设出未知数，利用矩形的面积公式列出方程即可解答： 解：设宽为x米，则长为（x+11）米，根据题意得：x（x+11）=180，故选c点评： 本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据矩形的面积公式列出方程6. （2015辽宁省盘锦,第12题3分）方程（x+2）（x3）=x+2的解是x1=2，x2=4考点：解一元二次方程-因式分解法分析：先移项，再提取公因式，求出x的值即可解答：解：原式可化为（x+2）（x3）（x+2）=0，提取公因式得，（x+2）（x4）=0，故x+2=0或x4=0，解得x1=2，x2=4故答案为：x1=2，x2=4点评：本题考

21、查的是解一元二次方程，熟知因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解答此题的关键7. （2015甘南州第15题 6分）白溪镇2012年有绿地面积57.5公顷，该镇近几年不断增加绿地面积，2014年达到82.8公顷（1）求该镇2012至2014年绿地面积的年平均增长率；（2）若年增长率保持不变，2015年该镇绿地面积能否达到100公顷？考点：一元二次方程的应用.专题：增长率问题分析：（1）设每绿地面积的年平均增长率为x，就可以表示出2014年的绿地面积，根据2014年的绿地面积达到82.8公顷建立方程求出x的值即可；（2）根据（1）求出的年增长率就可以求出结论解答：解：（1）设绿地面积的年平均增长率

22、为x，根据意，得 57.5（1+x）2=82.8解得：x1=0.2，x2=2.2（不合题意，舍去）答：增长率为20%； （2）由题意，得82.8（1+0.2）=99.36万元答：2015年该镇绿地面积不能达到100公顷点评：本题考查了增长率问题的数量关系的运用，运用增长率的数量关系建立一元二次方程的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时求出平均增长率是关键8. （2015黑龙江省大庆,第21题5分）已知实数a，b是方程x2x1=0的两根，求+的值考点： 根与系数的关系分析： 根据根与系数的关系得到a+b=1，ab=1，再利用完全平方公式变形得到+=，然后利用整体代入的方法进行计算解答： 解：实

23、数a，b是方程x2x1=0的两根，a+b=1，ab=1，+=3点评： 本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的两根时，x1+x2=，x1x2=9. （2015湖北十堰，第21题7分）已知关于x的一元二次方程x2（2m+3）x+m2+2=0（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；（2）若方程两实数根分别为x1、x2，且满足x12+x22=31+|x1x2|，求实数m的值考点：根的判别式；根与系数的关系分析：（1）根据根的判别式的意义得到0，即（2m+3）24（m2+2）0，解不等式即可；（2）根据根与系数的关系得到x1+x2=2m+3，x1x2=m2+

24、2，再变形已知条件得到（x1+x2）24x1x2=31+|x1x2|，代入即可得到结果解答：解：（1）关于x的一元二次方程x2（2m+3）x+m2+2=0有实数根，0，即（2m+3）24（m2+2）0，m；（2）根据题意得x1+x2=2m+3，x1x2=m2+2，x12+x22=31+|x1x2|，（x1+x2）22x1x2=31+|x1x2|，即（2m+3）22（m2+2）=31+m2+2，解得m=2，m=14（舍去），m=2点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根的判别式=b24ac：当0，方程有两个不相等的实数根；当=0，方程有两个相等的实数根；当0，方程没有实数根也考查了一元二次方程根