中考数学一轮复习 第17课 等腰三角形导学案-人教版初中九年级全册数学学案

1、第17课 等腰三角形【考点梳理】：（一） 等腰三角形的性质1、 有关定理及其推论 定理：等腰三角形有两边相等；定理：等腰三角形的两个底角相等推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边且垂直于底边，也就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。推论2：等边三角形的各角相等，且每一个角都等于60°.等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形；2、 定理及推论的作用等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等的关系，由两边相等推出两角相等，是今后证明两角相等常用的依据之一。等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线“三线合一”的性质是今后证明两条线段相等

2、，两个角相等以及两条直线相互垂直的重要依据。（二） 等腰三角形的判定1、 有关的定理及其推论 定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边相等 推论1、三个角都相等的三角形是等边三角形。 推论2、有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。推论3、在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。2、 定理及其推论的作用。等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系，它是证明线段相等的重要定理，也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据。3、 等腰三角形中常用的辅助线等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解

3、决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线相互重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时则需要作高或中线，视具体情况而定。思考与收获【思想方法】方程思想，分类讨论【考点一】：等腰三角形的性质与判定【例题赏析】（2015，广西玉林，6，3分）如图，在abc中，ab=ac，debc，则下列结论中不正确的是（）a ad=aebdb=eccade=cdde=bc考点：等腰三角形的判定与性质；平行线的性质专题：计算题分析：由de与bc平行，得到三角形ade与三角形

4、abc相似，由相似得比例，根据ab=ac，得到ad=ae，进而确定出db=ec，再由两直线平行同位角相等，以及等腰三角形的底角相等，等量代换得到ade=c，而de不一定为中位线，即de不一定为bc的一半，即可得到正确选项解答：解：debc，=，ade=b，ab=ac，ad=ae，db=ec，b=c，ade=c，而de不一定等于bc，故选d点评：此题考查了等腰三角形的判定与性质，以及平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解本题的关键思考与收获【考点二】：等边三角形的性质与判定【例题赏析】（1）（2015青海西宁第20题2分）如图，abc是边长为1的等边三角形，bd为ac边上的高，将abc

5、折叠，使点b与点d重合，折痕ef交bd于点d1，再将bef折叠，使点b于点d1重合，折痕gh交bd1于点d2，依次折叠，则bdn=考点：翻折变换（折叠问题）；等边三角形的性质.专题：规律型分析：根据等边三角形的性质依次求出边上的高，找出规律即可得到结果解答：解：abc是边长为1的等边三角形，bd为ac边上的高，bd=，bef是边长为等边三角形，bd1=，bd2=，bdn=，故答案为：点评：本题考查了翻折变换折叠问题，等边三角形的性质，根据已知条件找出规律是解题的关键思考与收获（2）（2015湖北十堰，第14题3分）如图，分别以rtabc的直角边ac及斜边ab为边向外作等边acd、等边abe，e

6、fab，垂足为f，连接df，当=时，四边形adfe是平行四边形考点：平行四边形的判定；等边三角形的性质分析：由三角形abe为等边三角形，ef垂直于ab，利用三线合一得到ef为角平分线，得到aef=30°，进而确定bac=aef，再由一对直角相等，及ae=ab，利用aas即可得证abceaf；由bac与dac度数之和为90°，得到da垂直于ab，而ef垂直于ab，得到ef与ad平行，再由全等得到ef=ac，而ac=ad，可得出一组对边平行且相等，即可得证解答：解：当=时，四边形adfe是平行四边形理由： =，cab=30°，abe为等边三角形，efab，ef为bea

7、的平分线，aeb=60°，ae=ab，fea=30°，又bac=30°，fea=bac，在abc和eaf中，abceaf（aas）；bac=30°，dac=60°，dab=90°，即daab，efab，adef，abceaf，思考与收获ef=ac=ad，四边形adfe是平行四边形故答案为：点评：此题考查了平行四边形的判定、平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及等边三角形的性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键【考点三】：线段垂直平分线的性质与判定【例题赏析】（1）（2015四川遂宁第8题4分）如图，在abc中，ac=4cm，线

8、段ab的垂直平分线交ac于点n，bcn的周长是7cm，则bc的长为（）a1cmb2cmc3cmd4cm考点：线段垂直平分线的性质.分析：首先根据mn是线段ab的垂直平分线，可得an=bn，然后根据bcn的周长是7cm，以及an+nc=ac，求出bc的长为多少即可解答：解：mn是线段ab的垂直平分线，an=bn，bcn的周长是7cm，bn+nc+bc=7（cm），an+nc+bc=7（cm），an+nc=ac，ac+bc=7（cm），思考与收获又ac=4cm，bc=74=3（cm）故选：c点评：此题主要考查了线段垂直平分线的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：垂直平分线垂直且平分其所

9、在线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等（2）（2015湖北, 第7题3分）如图，在abc中，b=30°，bc的垂直平分线交ab于点e，垂足为d，ce平分acb若be=2，则ae的长为（） a b 1 c d 2考点： 含30度角的直角三角形；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质分析： 先根据线段垂直平分线的性质得出be=ce=2，故可得出b=dce=30°，再由角平分线定义得出acb=2dce=60°，ace=dce=30°，利用三角形内角和定理求出a=180

10、76;bacb=90°，然后在rtcae中根据30°角所对的直角边等于斜边的一半得出ae=ce=1解答： 解：在abc中，b=30°，bc的垂直平分线交ab于e，be=2，be=ce=2，b=dce=30°，ce平分acb，acb=2dce=60°，ace=dce=30°，a=180°bacb=90°在rtcae中，a=90°，ace=30°，ce=2，ae=ce=1思考与收获故选b点评： 本题考查的是含30度角的直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，角平分线定义，三角形内角

11、和定理，求出a=90°是解答此题的关键【考点四】：坐标系中的等腰三角形 【例题赏析】（2015四川攀枝花第14题4分）如图，在平面直角坐标系中，o为坐标原点，矩形oabc中，a（10，0），c（0，4），d为oa的中点，p为bc边上一点若pod为等腰三角形，则所有满足条件的点p的坐标为（2.5，4），或（3，4），或（2，4），或（8，4） 考点：矩形的性质；坐标与图形性质；等腰三角形的判定；勾股定理专题：分类讨论分析：由矩形的性质得出ocb=90°，oc=4，bc=oa=10，求出od=ad=5，分情况讨论：当po=pd时；当op=od时；当dp=do时；根据线段垂直平分

12、线的性质或勾股定理即可求出点p的坐标解答：解：四边形oabc是矩形，ocb=90°，oc=4，bc=oa=10，d为oa的中点，od=ad=5，当po=pd时，点p在od得垂直平分线上，点p的坐标为：（2.5，4）；当op=od时，如图1所示：则op=od=5，pc=3，点p的坐标为：（3，4）；当dp=do时，作peoa于e，思考与收获则ped=90°，de=3；分两种情况：当e在d的左侧时，如图2所示：oe=53=2，点p的坐标为：（2，4）；当e在d的右侧时，如图3所示：oe=5+3=8，点p的坐标为：（8，4）；综上所述：点p的坐标为：（2.5，4），或（3，4），

13、或（2，4），或（8，4）；故答案为：（2.5，4），或（3，4），或（2，4），或（8，4） 点评：本题考查了矩形的性质、坐标与图形性质、等腰三角形的判定、勾股定理；本题有一定难度，需要进行分类讨论才能得出结果【考点五】：等腰三角形的综合运用【例题赏析】（2015曲靖23题10分）如图，过aob平分线上一点c作cdob交oa于点d，e是线段oc的中点，请过点e画直线分别交射线cd、ob于点m、n，探究线段od、on、dm之间的数量关系，并证明你的结论思考与收获考点：全等三角形的判定与性质；平行线的性质；等腰三角形的判定与性质.分析：首先根据oc是aob的平分线，cdob，判断出doc=dc0

14、，所以od=cd=dm+cm；然后根据e是线段oc的中点，cdob，推得cm=on，即可判断出od=dm+on，据此解答即可解答：解：线段od、on、dm之间的数量关系是：od=dm+on证明：oc是aob的平分线，doc=c0b，又cdob，dco=c0b，doc=dc0，od=cd=dm+cm，e是线段oc的中点，ce=oe，cdob，cm=on，又od=dm+cm，od=dm+on点评：（1）此题主要考查了平行线的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等简单说成：两直线平行，同位角相等定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补简

15、单说成：两直线平行，同旁内角互补定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等简单说成：两直线平行，内错角相等思考与收获（2）此题还考查了等腰三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：等腰三角形的两腰相等等腰三角形的两个底角相等等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合【真题专练】1. （2015丹东，第6题3分）如图，在abc中，ab=ac，a=30°，e为bc延长线上一点，abc与ace的平分线相交于点d，则d的度数为（） a 15° b 17.5° c 20° d 22.5°2. （2015，广西玉林，1

16、7，3分）如图，等腰直角abc中，ac=bc，acb=90°，点o分斜边ab为bo：oa=1：，将boc绕c点顺时针方向旋转到aqc的位置，则aqc=3. （2015河北,第20题3分）如图，boc=9°，点a在ob上，且oa=1，按下列要求画图：以a为圆心，1为半径向右画弧交oc于点a1，得第1条线段aa1；再以a1为圆心，1为半径向右画弧交ob于点a2，得第2条线段a1a2；思考与收获再以a2为圆心，1为半径向右画弧交oc于点a3，得第3条线段a2a3；这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n= 5. （2015湖北, 第7题3分）如图，在a

17、bc中，b=30°，bc的垂直平分线交ab于点e，垂足为d，ce平分acb若be=2，则ae的长为（） a b 1 c d 26. (2015年陕西省,6,3分)如图，在abc中，a=36°，ab=ac，bd是abc的角平分线若在边ab上截取be=bc，连接de，则图中等腰三角形共有（）a2个 b3个 c4个 d5个思考与收获7. （2015湖南湘西州，第16题，4分）如图，等腰三角形abc中，ab=ac，bd平分abc，a=36°，则1的度数为（）a36°b60°c72°d108°8. （2015昆明第14题，3分）如图，

18、abc是等边三角形，高ad、be相交于点h，bc=4，在be上截取bg=2，以ge为边作等边三角形gef，则abh与gef重叠（阴影）部分的面积为9. （2015宜昌，第18题7分）如图，一块余料abcd，adbc，现进行如下操作：以点b为圆心，适当长为半径画弧，分别交ba，bc于点g，h；再分别以点g，h为圆心，大于gh的长为半径画弧，两弧在abc内部相交于点o，画射线bo，交ad于点e（1）求证：ab=ae；（2）若a=100°，求ebc的度数思考与收获10. （2015山东莱芜,第21题9分）如图，abc是等腰直角三角形，acb=90°，分别以ab，ac为直角边向外作

19、等腰直角abd和等腰直角ace，g为bd的中点，连接cg，be，cd，be与cd交于点f（1）判断四边形acgd的形状，并说明理由（2）求证：be=cd，becd【真题演练参考答案】1. （2015丹东，第6题3分）如图，在abc中，ab=ac，a=30°，e为bc延长线上一点，abc与ace的平分线相交于点d，则d的度数为（） a 15° b 17.5° c 20° d 22.5°考点： 等腰三角形的性质分析： 先根据角平分线的定义得到1=2，3=4，再根据三角形外角性质得1+2=3+4+a，1=3+d，则21=23+a，利用等式的性质得到d

20、=a，然后把a的度数代入计算即可解答： 解：abc的平分线与ace的平分线交于点d，1=2，3=4，ace=a+abc，即1+2=3+4+a，21=23+a，1=3+d，d=a=×30°=15°故选a点评： 本题考查了三角形内角和定理，关键是根据三角形内角和是180°和三角形外角性质进行分析2. （2015，广西玉林，17，3分）如图，等腰直角abc中，ac=bc，acb=90°，点o分斜边ab为bo：oa=1：，将boc绕c点顺时针方向旋转到aqc的位置，则aqc=105°考点：旋转的性质；等腰直角三角形专题：计算题分析：连接oq，

21、由旋转的性质可知：aqcboc，从而推出oaq=90°，ocq=90°，再根据特殊直角三角形边的关系，分别求出aqo与oqc的值，可求出结果解答：解：连接oq，ac=bc，acb=90°，bac=a=45°，由旋转的性质可知：aqcboc，aq=bo，cq=co，qac=b=45°，acq=bco，oaq=bac+caq=90°，ocq=oca+acq=oca+bco=90°，oqc=45°，bo：oa=1：，设bo=1，oa=，aq=，aqo=60°，agc=105°点评：本题主要考查了图形旋

22、转的性质，特殊角直角三角形的边角关系，掌握图形旋转的性质，熟记特殊直角三角形的边角关系是解决问题的关键3. （2015河北,第20题3分）如图，boc=9°，点a在ob上，且oa=1，按下列要求画图：以a为圆心，1为半径向右画弧交oc于点a1，得第1条线段aa1；再以a1为圆心，1为半径向右画弧交ob于点a2，得第2条线段a1a2；再以a2为圆心，1为半径向右画弧交oc于点a3，得第3条线段a2a3；这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n=9考点： 等腰三角形的性质分析： 根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质依次可得a1ab的度数，a2a1c的度数，a

23、3a2b的度数，a4a3c的度数，依此得到规律，再根据三角形外角小于90°即可求解解答： 解：由题意可知：ao=a1a，a1a=a2a1，则aoa1=oa1a，a1oa2=a1a2a，boc=9°，a1ab=18°，a2a1c=27°，a3a2b=36°的度数，a4a3c=45，9°n90°，解得n10故答案为：9点评： 考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等；三角形外角的性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和4（2015衡阳, 第7题3分）已知等腰三角形的两边长分别为5和6，则这个等腰三角形的周长为（

24、） a 11 b 16 c 17 d 16或17考点： 等腰三角形的性质；三角形三边关系专题： 分类讨论分析： 分6是腰长和底边两种情况，利用三角形的三边关系判断，然后根据三角形的周长的定义列式计算即可得解解答： 解：6是腰长时，三角形的三边分别为6、6、5，能组成三角形，周长=6+6+5=17；6是底边时，三角形的三边分别为6、5、5，能组成三角形，周长=6+5+5=16综上所述，三角形的周长为16或17故选d点评： 本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，难点在于分情况讨论5. （2015湖北, 第7题3分）如图，在abc中，b=30°，bc的垂直平分线交ab于点e，垂足为

25、d，ce平分acb若be=2，则ae的长为（） a b 1 c d 2考点： 含30度角的直角三角形；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质分析： 先根据线段垂直平分线的性质得出be=ce=2，故可得出b=dce=30°，再由角平分线定义得出acb=2dce=60°，ace=dce=30°，利用三角形内角和定理求出a=180°bacb=90°，然后在rtcae中根据30°角所对的直角边等于斜边的一半得出ae=ce=1解答： 解：在abc中，b=30°，bc的垂直平分线交ab于e，be=2，be=ce=2，b=dce=30

26、76;，ce平分acb，acb=2dce=60°，ace=dce=30°，a=180°bacb=90°在rtcae中，a=90°，ace=30°，ce=2，ae=ce=1故选b点评： 本题考查的是含30度角的直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，角平分线定义，三角形内角和定理，求出a=90°是解答此题的关键6. (2015年陕西省,6,3分)如图，在abc中，a=36°，ab=ac，bd是abc的角平分线若在边ab上截取be=bc，连接de，则图中等腰三角形共有（）a2个 b3个 c4个 d5个

27、考点：等腰三角形的判定与性质分析：根据已知条件分别求出图中三角形的内角度数，再根据等腰三角形的判定即可找出图中的等腰三角形解答：ab=ac，abc是等腰三角形；ab=ac，a=36°，abc=c=72°，bd是abc的角平分线，abd=dbc=abc=36°，a=abd=36°，bd=ad，abd是等腰三角形；在bcd中，bdc=180°dbcc=180°36°72°=72°，c=bdc=72°，bd=bc，bcd是等腰三角形；be=bc，bd=be，bde是等腰三角形；bed=（180

28、6;36°）÷2=72°，ade=beda=72°36°=36°，a=ade，de=ae，ade是等腰三角形；图中的等腰三角形有5个故选d点评：此题考查了等腰三角形的判定，用到的知识点是等腰三角形的判定、三角形内角和定理、三角形外角的性质、三角形的角平分线定义等，解题时要找出所有的等腰三角形，不要遗漏7. （2015湖南湘西州，第16题，4分）如图，等腰三角形abc中，ab=ac，bd平分abc，a=36°，则1的度数为（）a36°b60°c72°d108°考点：等腰三角形的性质.分析

29、：根据a=36°，ab=ac求出abc的度数，根据角平分线的定义求出abd的度数，根据三角形的外角的性质计算得到答案解答：解：a=36°，ab=ac，abc=c=72°，bd平分abc，abd=36°，1=a+abd=72°，故选：c点评：本题考查的是三角形的外角的性质和等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的两个底角相等和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和是解题的关键8. （2015昆明第14题，3分）如图，abc是等边三角形，高ad、be相交于点h，bc=4，在be上截取bg=2，以ge为边作等边三角形gef，则abh与gef重叠（阴影

30、）部分的面积为考点：等边三角形的判定与性质；三角形的重心；三角形中位线定理分析：根据等边三角形的性质，可得ad的长，abg=hbd=30°，根据等边三角形的判定，可得meh的形状，根据直角三角形的判定，可得fin的形状，根据面积的和差，可得答案解答：解：如图所示：，由abc是等边三角形，高ad、be相交于点h，bc=4，得ad=be=bc=6，abg=hbd=30°由直角三角的性质，得bhd=90°hbd=60°由对顶角相等，得mhe=bhd=60°由bg=2，得eg=bebg=62=4由ge为边作等边三角形gef，得fg=eg=4，egf=g

31、ef=60°，mhe是等边三角形；sabc=acbe=ac×eh×3eh=be=×6=2由三角形外角的性质，得bif=fgeibg=60°30°=30°，由ibg=big=30°，得ig=bg=2，由线段的和差，得if=fgig=42=2，由对顶角相等，得fin=big=30°，由fin+f=90°，得fni=90°，由锐角三角函数，得fn=1，in=s五边形nighm=sefgsemhsfin=×42×22××1=，故答案为：点评：本题考查了等

32、边三角形的判定与性质，利用了等边三角形的判定与性质，直角三角形的判定，利用图形的割补法是求面积的关键9. （2015宜昌，第18题7分）如图，一块余料abcd，adbc，现进行如下操作：以点b为圆心，适当长为半径画弧，分别交ba，bc于点g，h；再分别以点g，h为圆心，大于gh的长为半径画弧，两弧在abc内部相交于点o，画射线bo，交ad于点e（1）求证：ab=ae；（2）若a=100°，求ebc的度数考点：作图基本作图；等腰三角形的判定与性质分析：（1）根据角平分线的性质，可得aeb=ebc，根据角平分线的性质，可得ebc=abe，根据等腰三角形的判定，可得答案；（2）根据三角形的内角和定理，可得aeb，根据平行线的性质，可得答案解答：（1）证明：adbc，aeb=ebc由be是