圆锥曲线的结论

1、1.2.3.4.5.6.7.8.9.有关解析几何的经典结论、椭点P处的切线PT平分 PF1F2在点P处的外角.PT平分PF1F2在点P处的外角,那么焦点在直线除去长轴的两个端点.中位线椭圆的光学性质PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆,以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线 相离.第二定义以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.第二定义x2右P0x0,y.在椭圆 a方程组法2X右P0(x0, y0)在椭圆线方程是X0X-2a2 y b22I 1上,那么过外的椭圆的切线方程是 粤 ba缚 1.求导或用联立 b2aYoY b2那么椭圆的焦点角形的面积为22椭圆三、1 ( a b a b

2、IMF1I a ex0, | MF2I2y /-2r 1外,那么过P0作椭圆的两条切线切点为b0的左右焦点分别为 Fi,F2 ,2,S F1PF2b 匕%0的焦半径公式:a ex0( Fi( c,0),设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P,Q两点,相应于焦点F的椭圆准线于证实:x kyc,.余弦定理F2(c,0),凡8 ,那么切点弦PP2的直点P为椭圆上任意一点+面积公式+半角公式Mxo,y.第二定义F1PF2,A为椭圆长轴上一个顶点,连结 AP和AQ分别交MF NF .2X2a2L 1 b22 ,2. 2a b k2b2cky b2c2a2byPyo.2 2b c2a2b2y.2b2cky22

3、 2)a b kXPXO2 2a c2a2, 2. 2a b k.2. 2,xpb kXo2a2ca2 b2k2 'Ynyp2 a aca xPyM2 a ac易得:yQa XqIjI,mF nF 研nF 0xm c 迎 c ymyn 0,XMc XNb4c2c10.过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点于点M , A2P和AQ交于点N ,那么MF证实：首先证实准线,AiP和PA2公共点,Xq, Yq,不妨设XpXq,kiyPXPk2YqxQkik2得交点ki kik2k2Xp YqXq YpaYp YqXpyQXqYpaYpYq得b22. 22a k x2a2k2cx2 2 22 2a

4、ck a b0,令M2 2. 2 ackXPXQ2,2 a b,Xp2, 22a k cXP yQXQ yP2 22a2b2k再根据上一条性质可得结论.XQ,YpYq2abckNXP yQXQ yPNF .(P,Q,且Ai, A2为椭圆长轴上的顶点, AiP和A2Q交Y2 xa2 yb2 a2k2, N2b2ck.b2 a2k22abkN,YpYq2a2b2k 2a2bkN_22abckN 2ab ck11. AB是椭圆即Kab22x y /b7b2x0-2°a V.1的不平行于对称轴的弦,Mx0,y0为AB的中点,那么koM Kab点差法12.假设B(xo, y0)在椭圆2x2 a

5、2y ,、, 1内,那么被B所平分的中点弦的方程是bx0x-2a2 x0-2 ay02点差法13.假设在椭圆2X2 a2 y_ b21内,2 x那么过P0的弦中点的轨迹方程是ax0x-Ta点差法二、双曲线1.点P处的切线PT平分 PF1F2在点P处的内角.同上2.3.4.5.6.7.8.9.b22 ,aPT平分 PF1F2在点P处的内角,那么焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点.同上以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线 相交.同上以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆 相切.内切：P在右支；外切：P在左支同上2什一x右P0x0,y.在双曲线a2 x 右P

6、0x0,y.在双曲线 a那么切点弦PF2的直线方程是2 x 双曲线-2 aF1PF22 x 双曲线-2 a2y2yb2x°x-2aNd b20,b 0上,那么过P0的双曲线的切线方程是:0,b 0)外1.同上2y' 1 (a 0,b 0)的左右焦点分别为 b,那么双曲线的焦点角形的面积为S2 y , 1 (a b当M X0, y°在右支上时,当MX0, y°在左支上时,F1PF20,b 0的焦半径公式:|MF11 ex0 a , | MF2 |MFi|ex0 a , | MF2设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交 P、Q两点,分别交相应于焦点 F的双曲线准线

7、于M、N两点,那么过F0作双曲线的两条切线切点为 n,F2,F,F2,点b2cot-.2Fi( c,0)ex0 a.|ex0 aP为双曲线上任意一点:同上F2(c,0)同上A为双曲线长轴上一个顶点, 连结AP和AQ那么MF NF .(同上)10.过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点 P、Q ,且A, 4为双曲线实轴上的顶点,AP和11.12.A2Q交于点M ,AB是双曲线Kom K abA2P和AQ交于点N ,那么MF NF .同上2Xa b2X0 a%2 y b2假设Poxo, y0在双曲线1 a>0,b>0的不平行于对称轴的弦,MX0, y0为AB的中点,那么即K abb2

8、X0a2y0.同上22xy7-2ab1 ( a 0,b0)内,那么被Po所平分的中点弦的方程是:22X0Xy0 yX0y0FFK(同上)abab22x y13.右 P0(X0,y0)在双曲线 2 2a b1 ( a 0, b0)内,那么过P°的弦中点的轨迹方程是:警警.同上a b椭圆与双曲线的对偶性质会推导的经典结论1.椭圆2 X 2 a2I 1 a b 0的两个顶点为 b2A(a,0 , A2a,0,与y轴平行的直线交椭圆于证实:P13时,A1P1与A2 P2交点的轨迹方程是2 y b21.交点P X0,y0y1X1ay2X2 a,得 y02a2y122X1a2 y1 b21,2

9、v b22 X2. 过椭圆2a24 1ab b2上任一点AX0, y任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点,那么直线BC有定向且kBCb2X02a V.证实:x y一% = #(工一占)& r + ；5 cr b-(b2 +aJAJ)x2 4 2aJA(y0-Ax0)x4-(ya -Ax0)2 -a'b: =0a2k2x 2</.仔/b2乂二 A3 fH九二h2 +t/;Z2同理小=山匚半曰工8=b +a «Ar=,:*=不一K,=b +.# b +*kb-yQ-(rk2y2h:xQkb- +uk-Ar人)223.假设P为椭圆2T与1a ba b 0上异于

10、长轴端点的任一点,Fi、F2是焦点,PF1F2PF2F1tan cot 一 .22证法1 代数超 "、 -1 sin p iintfsin(a +/?) sin +$inp sin« +sin /?- siiXct + /7)sinzz+ sin/7+si(#+#)c_ 5ina + 3M*5in(a + Q) _ 2§孤丁)8乂亍)一25冲丁)式一)a,=urn Ifln - T-证法二(几何),为内切®I帝,为半周K,aB r rIan *tan =,r =22 p-n p - mmm为焦点：角形的其余两条边(/j-/n)(/j-n)(/j-2c)a

11、 Brp -tan -*tan - =22(一疝 1p 一而 p224.设椭圆二二 1 a b的两个焦点为Fi、F2, P 异于长轴端点为椭圆上任意一点,在 PF1F2中,记F1PF2PF1F2F1F2P,那么有一也一sin sin上条已证5.2L 1 b2的左、右焦点分别为 Fi、F2,左准线为l ,那么当01时,可在椭圆上求一点P,使得PFi是P到对应准线距离 d与PF2的比例中项.6.22P为椭圆二与a2b2a b 0上任一点,F1、F2是焦点,A为椭圆内一定点,7.8.2a |AF2 11PA|椭圆(x x)2椭圆2 a2 2B2b22xa(1)(2)(3)证实(y| PFi | 2a

12、 | AFi |,当且仅当A,F2,P三点共线时,等号成立y0)2b2(AX02L 1b2 11By.1与直线Ax By C 0有公共点的充要条件是C)2.0 , O为坐标原点,P、Q为椭圆上两动点,且 OP OQ ._22|OP| |OQ|OP|2+|OQ|2的最大值为S OPQ的最小值是a2b1声2 24a2b2 .-27-2 ;a b2设 on V = kx&_ +匕= /b1.方(1+5)同理"Irk2 +口=1 I7 + oiy- OQ-_+必 >(1 + g _ 11+,卜) a2(OP1 + OQ-)(-OP2(l + lr ng -OCr > OQ

13、2补充性质,过.做P0垂线,垂足为,为定值21()OQ=PO-()H = OH2= “a +/rPOOHT J ?>_±La2 +h29.过椭圆勺 a2与1 a b b2p,那么叵!| MN |0的右焦点F作直线交该椭圆右支于M , N两点,弦MN的垂直平分线交x轴于2证实ecosa 1 +ecosaCON"cosrzVN = MFF =ecosa=;-4-t/cosa I -e' cos' u2 X10.椭圆-2aP(xo,0),那么b22 ab20 , A,B是椭圆上的两点,线段AB的垂直平分线与x轴相交于点2,2a b11.设P点是椭圆2 X2

14、a2 L b2上异于长轴端点的任一点,F1、F2是焦点,记F1PF2,那么(1) |PFi|PF2|3.(2)1 cosPF1F2b2 tan-.222PAB12.设A, B是椭圆勺 _y21ab 0的长轴两端点,P是椭圆上的一点, a bPBA , BPA , c,e分别是椭圆的半焦距离心率,那么有： 2 .,八2ab | cos | |PA| -2-Aa c cos(2) tan tan 1 e2.2, 2c2ab.(3) S pab _22 cot .b a22X V 13 .椭圆2 方 i a b 0的右准线l与x轴相交于点E,过椭圆右焦点F的直线与椭圆相 a b交于A,B两点,点C在

15、右准线l上,且BC x轴,那么直线 AC经过线段EF的中点.设 = 8由相似得一四epsii】." 1 -ecosffyf HE 1 DE14 .过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线,与以长轴为直径的圆相交,那么相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15 .过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点,那么该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直证设尸马必x =?&笄+*1 n 5耍忙一也c a %c yP cyp 2t2PFOF cxr -c + - = 0cce 离心率./. PFL QF16 .椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数注：在椭圆焦三角形

16、中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.角分线定理+合比公式17 .椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.角分线定理18 .椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中央的比例中项.角分线定理双曲线221 .双曲线x2 1 a 0,b 0的两个顶点为 Ai a,0, A2a,0,与y轴平行的直线交双曲 a b22x y线于P,F2时,A1P1与4P2交点的轨迹方程是 一741.a bx2 y22.过双曲线二 七 1 a 0,b 0上任一点 Ax0,y°任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线 a b于B,C两点,那么直线BC有定向且kBC之常数.a Vo223

17、.假设P为双曲线与 4 1a 0,b 0 右或左支上除顶点外的任一点,F1、F2是焦点,a bc a- c a ,、PF1F2,PF2F1,贝U tan cot 或 tancot.c a 22 c a 22224 .设双曲线与 4 1 a 0,b 0的两个焦点为 E、F2, P 异于长轴端点为双曲线上任a2 b2意一点,在 PF1F2 中,记 F1PF2, PF1F2, F1F2P,那么有:sinc e.(sin sin ) a225 .假设双曲线勺 4 1 (a 0,b 0)的左、右焦点分别为Fi、F2,左准线为l ,那么当1 e 及 1 a b时,可在双曲线上求一点 P,使得PFi是P到对

18、应准线距离d与PF2的比例中项22x V6.P为双曲线 F 1 (a 0,b 0)上任一点,Fi、F2是焦点,A为双曲线内一定点,那么a b| AF2 | 2a | PA| | PFi |,当且仅当A,F2, P三点共线且P和A, F2在y轴同侧时,等号成立x2V2.7 .双曲线=三 1 (a 0,b 0)与直线Ax By a bA2a2 B2b2 C2 .228 .双曲线 勺、1 (b>a >0), O为坐标原点, a bC 0有公共点的充要条件是P、Q为双曲线上两动点,且OPOQ .(1)(2)1111|OP |2 |OQ |2 a2 b2 ;224a2b2OP OQ的最小值为

19、-一2； b a(3)S OPQ的最小值是2, 2a b722b a229.过双曲线与二1( aa b0,b 0)的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M ,N两点,弦MN10.的垂直平分线交X轴于P ,那么LPF£ . | MN | 222X V双曲线=三 1 (a 0,b 0) , A,B是双曲线上的两点,线段 a bAB的垂直平分线与x轴11.相交于点P(X0,0),那么X022设P点是双曲线xy yT a b2. 22. 2a b j a b或 x0.aa1 (a 0,b 0 )上异于实轴端点的任一点FF2是焦点,记F1PF2,贝U：2b2 |PFJ|PF2| -1 cos12.

20、(2) S pf f b cot . 1 2222设A,B是双曲线勺 a2 b2PBA , BPA1 (a 0,b 0)的长轴两端点,P是双曲线上的一点, c,e分别是双曲线的半焦距离心率,那么有：PAB |PA|2,.2ab |cos |(2) tan|a2 tanc2co s2 |1 e2.2,2s PABcot2a b222b aX V 13 .双曲线f 1 a 0,b 0的右准线l与x轴相交于点E ,过双曲线右焦点F的直线 a b与双曲线相交于 A, B两点,点C在右准线l上,且BC x轴,那么直线 AC经过线段EF的中点.14 .过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线,与以长轴为直径的圆

21、相交,那么相应交点与相应焦点的连 线必与切线垂直.15 .过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点,那么该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点,那么该点与焦点的连双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e离心率.同上注：在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点 .同上16 .双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e 离心率.注：在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点 .17 .双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外

22、点与非焦顶点连线段分成定比e.18 .双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中央的比例中项2219 .椭圆 三 4 1上一点F0 x0,y0 ,以直线与椭圆交于 M ,N两点,恒有F0MF0N ,那么a b证实直线横过x0v = kx & 二 + 二 = I =>(b' +ti2Ji ).x? +2w Jtm.r +口%/+"上 =0 a' h'日十-2a'km nvb- -a2b:k:2mb'3#="n,与= 'rr?必儿=-rrr 刘 小儿=im干- 方+ 口,卜 -3*+01-L Zr十日嗫,PV -

23、L QM 0 nixi -0=> 区.一 .Q(q - .0)+5. 一 J'Jl+ -凡)三 0+ V)+fhQ口气% -23：)+ * = 0不作关于"的二次方程mMpl加行加,上式出燃成支,所以方程必M 根叫=JL 222X V19.椭圆-y_ 1,不再椭圆上的一点 P ,过P做倾斜角互补的两直线,与椭圆交于a bA, B,C,D四点,那么A,B,C,D四点共圆证实. X v设 H线方程K = s + mcosa.y = /+msina& -= 1 a bcos2 a-a sin%) +br +/-/ =0bv +1-厂 -crh- . .rtrl h a

24、- +ar叫" z :不;1.、,同用!""门=-_；rr-b cos- a +," siir ah' cos- a + a' sin' amm 2=ffl3m44如C£)四点共网其他常用公式:利用方程的根与系数关系来计算弦长,常用的弦1、连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦,2、直线的一般式方程：任何直线均可写成Ax By C 0 A, B不同日为0的形式.3、知直线横截距x0,常设其方程为xmy %它不适用于斜率为 0的直线,与直线l:Ax By C 0垂直的直线可表示为 Bx Ay C1 0.Ci C2,A2

25、 B222AC0,且B0,且D E 4AF0.4、两平行线11: Ax By C1 0, l2: Ax By C2 0间的距离为d5、假设直线li： Ax By Ci 0与直线12： Ax By C2 0平行,那么A1B2 A2B1 0 斜率且B1C2 B2C1 0 在y轴上截距充要条件6、圆的一般方程： x2 y2 Dx Ey F 0 D2 E2 4F 0 ,特别提醒：只有当D2 E2 4F 0时,方程x2 y2 Dx Ey F 0才表示圆心为1 Ey F 0表示圆的充要条件是-VD2 E2 4F 的圆.二元二次方程 Ax2 Bxy Cy2 Dxx a r cos7、圆的参数方程：为参数,其中圆心为 a,b ,半径为r.圆的参数万程的王y b r sin要应用是三角换元：x2y2r2 x r cos, y r sin；x2y2tx r cos ,y r sin0r 4；8、a