第二章平稳过程 ppt课件

1、郑州轻工业学院数学系郑州轻工业学院数学系2.3 平稳过程2.3.1 根本概念根本概念2.3.2 平稳过程相关函数的性质平稳过程相关函数的性质2.3.3 平稳正态过程与正交增量过程平稳正态过程与正交增量过程2.3.4 遍历性定理遍历性定理郑州轻工业学院数学系郑州轻工业学院数学系 在随机过程的大家族中，有一类随机过程，它的在随机过程的大家族中，有一类随机过程，它的统计特性或者说统计变化规律与所取的时间点无关。统计特性或者说统计变化规律与所取的时间点无关。或者说，整个随机过程的统计特性不随时间的推移而或者说，整个随机过程的统计特性不随时间的推移而变化。变化。 例如，飞机在某一程度高度例如，飞机在某一

2、程度高度h上飞行，由于遭到气流的影响，上飞行，由于遭到气流的影响，实践飞行高度实践飞行高度H(t)总是在实际设计高度总是在实际设计高度h程度上下随机动摇，此程度上下随机动摇，此时飞机的实践飞行高度时飞机的实践飞行高度H(t)是一个随机过程，显然此过程可看作是一个随机过程，显然此过程可看作不随机推移变化的过程，这个不随机推移变化的过程，这个 随机过程，我们把它看作是平衡的随机过程。随机过程，我们把它看作是平衡的随机过程。郑州轻工业学院数学系郑州轻工业学院数学系 此外当我们知道一个随机过程是平稳过程时，此外当我们知道一个随机过程是平稳过程时，它应不随时间的推移而变幻无常。例如当我们要测它应不随时间

3、的推移而变幻无常。例如当我们要测定一个电阻的热噪声的统计特性，由于它是平稳过定一个电阻的热噪声的统计特性，由于它是平稳过程，因此在任何时间测试都能得到一样的结果。程，因此在任何时间测试都能得到一样的结果。郑州轻工业学院数学系郑州轻工业学院数学系一、严强平稳过程一、严强平稳过程),(2121nnxxxtttF；)(,)(,(2211nnxtXxtXxtXP）)(,)(,(2211nnxhtXxhtXxhtXP）),(2121nnxxxhththtF；那么 称为严强平稳过程。)(tX2.3.1根本概念郑州轻工业学院数学系郑州轻工业学院数学系二、严平稳过程的特点二、严平稳过程的特点二维结合分布 仅与

4、时间差 有关，而与时间起点无关。1212( ,)F t tx x；21tt ()(0)( )F txFxF x；同理有一维概率密度函数也与t无关，即()(0)f txfx；郑州轻工业学院数学系郑州轻工业学院数学系证二维情形对于二维结合分布函数，有证二维情形对于二维结合分布函数，有12(,)Fx x；其中21tt 同理, 二维结合概率密度函数也仅与时间差 有关，而与时间起点无关，即21tt 121212( ,)(,)f t tx xfx x；12121212( ,)(,0,)F t tx xF ttx x；12121212( ,)(,)F t tx xF ttx x；郑州轻工业学院数学系郑州轻工

5、业学院数学系2.假设严平稳过程存在二阶矩，那么证证2相关函数仅是时间差 的函数：记1均值函数为常数：mtXEtm)()(21tt ),()(21ttRB只对延续型的情况dxxtxftXEtm)()()(；mdxxxf)(121212121212( , )( )( )( ,)R t tE X t X tx x f t tx x dx dx ；1 21212(,)( )x x fx x dxdxB 记；郑州轻工业学院数学系郑州轻工业学院数学系三、宽弱平稳过程三、宽弱平稳过程那么称 为宽假设平稳过程，简称平稳过程.)(tX郑州轻工业学院数学系郑州轻工业学院数学系注注1 严平稳过程不一定是宽平稳过程。

6、严平稳过程不一定是宽平稳过程。 由于严平稳过程不一定是二阶矩过程。假设严平稳过程存在二阶矩，那么它一定是宽平稳过程。注注2 宽平稳过程也不一定是严平稳过程。宽平稳过程也不一定是严平稳过程。 由于宽平稳过程只保证一阶矩和二阶矩不随时间推移而改动，这当然不能保证其有穷维分布不随时间而推移。注注3 利用均值函数与协方差函数也可讨论随机过利用均值函数与协方差函数也可讨论随机过程的平稳性。程的平稳性。郑州轻工业学院数学系郑州轻工业学院数学系由于由于, , 均值函数均值函数协方差函数协方差函数 即表示协方差函数仅依赖于即表示协方差函数仅依赖于 ，而与，而与t无关，与无关，与 相关函数一样。相关函数一样。m

7、tm)()(),(cov),(tXtXttK)()()()(tmtXtmtXE2)()()()(mtXmEtXmEtXtXE22(, )( )( )R ttmBmK郑州轻工业学院数学系郑州轻工业学院数学系试讨论随机变量序列 的平稳性。0)(tXE2)(tXD)(tX解解由于0)(tXE注注 在科学和工程中，例在科学和工程中，例1中的过程称为中的过程称为“白噪声，它是白噪声，它是实践中最常用的噪声模型。实践中最常用的噪声模型。20(, )()( )00R ttE X tX t，当，当郑州轻工业学院数学系郑州轻工业学院数学系 是在0, 1上服从均匀分布的随机变量，试讨论随机序列 的平稳性。其中T=

8、1，2，)(tX解解的密度函数为1,01( )0,xf x其它所以10( )sin 20E X ttx dx1010(, )sin 2 ()sin 2200R tttxtx dx，当，当注注例2中的过程是宽平稳的，但不是严平稳的.郑州轻工业学院数学系郑州轻工业学院数学系性质性质1第二节 平稳过程相关函数的性质一、自相关函数的性质一、自相关函数的性质证证性质性质2证证由许瓦兹不等式得0)0(B2(0)( , )( ) 0BR t tE X t)0(| )(|BB22|( )|()( )|BE X tX t)()(22tXEtXE2()() ( )( ) (0)E X tX tE X t X tB

9、郑州轻工业学院数学系郑州轻工业学院数学系证证证证( )()( )BE X tX t()()()E XtX tB0)(11jijininjaaB1111() ( ) ( )nnnnijijijijijijBaaE XXaa1111( )()( ) )( ()nnnnijijiijjijijEXXaaEXaXa0)(21niiiaXE郑州轻工业学院数学系郑州轻工业学院数学系第三节 平稳正态过程与正交增量过程一、平稳正态过程mtXE)()()()(),(2121BtXtXEttR21tt 那么称 为平稳正态过程。)(tX郑州轻工业学院数学系郑州轻工业学院数学系证 由于正态过程 的n维特征函数为由过程

10、的平稳性得)(tX所以对任一 ，有),(2121nnttt；1111exp(, )2nnnkklklkklimK tt )()(),(mtXmtXEttKlklk22( , )( )klklR t tmBmtt),(2121nnttt；),(2121nnttt；注注平稳正态过程一定是严平稳过程。郑州轻工业学院数学系郑州轻工业学院数学系即特征函数不因时间推移而改动。由特征函数与分布函数的独一确定性，必有这阐明的一切有限维分布也不随时间推移而改动，即 是一个严平稳过程。)(tX),(2121nnxxxtttF；),(2121nnxxxtttF；阐明阐明 对正态过程，宽平稳过程一定是严平稳过程；严平

11、对正态过程，宽平稳过程一定是严平稳过程；严平稳过程也一定是宽平稳过程。稳过程也一定是宽平稳过程。郑州轻工业学院数学系郑州轻工业学院数学系那么 称为正交增量过程。二、正交增量过程二、正交增量过程)(tX0)()()()(3412tXtXtXtXE),min(),(tsDtsR郑州轻工业学院数学系郑州轻工业学院数学系证证 取其中ts 那么有0)()()(sXtXsXE即)()()(2sXEtXsXE所以，)()()()(),(2sDsXEtXsXEtsR同样，假设 ，可得)(),(tDtsR故),min(),(tsDtsRst 郑州轻工业学院数学系郑州轻工业学院数学系 2.3.4 遍历性定理 引见

12、从一次实验所获得的一个样本函数来决议随机过程的均值和协方差函数，从而就可以得到该过程的全部信息，即遍历性问题。一、根本概念一、根本概念称为 沿整个时间数轴上的时间均值；称为 沿整个时间数轴上的时间相关函数)(tX)(tX,)(21limTTTdttXTX,)()()(21lim)(TTTdttXtXT郑州轻工业学院数学系郑州轻工业学院数学系那么称 的均值具有遍历性；假设那么称 的协方差函数具有遍历性； 假设 均值、协方差函数都具有遍历性，那么称 具有遍历性，或者说 是遍历的。)(tX)(tX)(tX)(tX)(tX)(tXEX)()()()()(tXtXE郑州轻工业学院数学系郑州轻工业学院数学

13、系解解( ) cos()E X tE atU201cos()02atxdx)()(tXtXE20221)cos()(cosdxxtxtacos22a郑州轻工业学院数学系郑州轻工业学院数学系故有0cossinl.i.mTaUTTcos22a)(tXEX )()()(tXtXE即此过程是遍历的。TTTdtUtaTX)cos(21limTTTdtUtUtaTt)cos()(cos21lim)(2郑州轻工业学院数学系郑州轻工业学院数学系例例2 研讨随机过程研讨随机过程 的遍历性的遍历性,其中Y为随机变量，且( )()X tYt ( )0,( )D YD Y解解由于Y为随机变量，且存在有限的二阶矩， 所

14、以( )( )E X tE Y常数)()(2YEtXtXE2)()(YEYD由此知 是平稳过程，)(tX由于YYdtXTTTT21l.i.m不是常数,故)(tXEX ,即 不是遍历的.)(tX郑州轻工业学院数学系郑州轻工业学院数学系二、遍历性定理二、遍历性定理定理定理2.3.1 均值遍历性定理均值遍历性定理设设X=X(t),-t+是平稳过程，其协方差函数为是平稳过程，其协方差函数为)(那么那么X的均值具有遍历性的充要条件是的均值具有遍历性的充要条件是0)()21 (1lim20dTTT郑州轻工业学院数学系郑州轻工业学院数学系定理定理2.3.1 协方差函数遍历性定理协方差函数遍历性定理设设X=X

15、(t),-t+是平稳过程，其均值函数为零，那么是平稳过程，其均值函数为零，那么协方差函数具有遍历性的充要条件是协方差函数具有遍历性的充要条件是0)()()(21 (1lim201211dBTTT其中其中)()()()()(111tXtXtXtXEB郑州轻工业学院数学系郑州轻工业学院数学系三、均值函数与自相关函数的估计式三、均值函数与自相关函数的估计式求相关函数常用的两种方法：2. 未知 的表达方式时，用统计实验的数据求相关函数的近似值。)(tX 在实践运用中， 的表达方式经常不能给出，因此下面引见第二种方法。)(tX 假设实验只在时间0，T上给出了 的一个样本函数，那么 均值和相关函数有以下近似估计式：)(tX郑州轻工业学院数学系郑州轻工业