完整版,一元一次方程解法

1、小升初数学衔接一一一元一次方程的解法(一)一、学习目标1、了解方程、一元一次方程以及方程的解等根本概念,掌握等式的根本性质；2、会解一元一次方程,了解一元一次方程解法的一般步骤,并经历和体会解方程时运用 的“转化的过程和思想.二、学习重点掌握去分母、去括号、合并、系数化为1的方法的使用及其依据.三、课程精讲1、引入古代诗歌日：“我问开店李三公, 多少客人在店中 一房七客多七客,一房九客一房空.请你仔细算一算,多少房间多少客.2、知识回忆(1)什么是方程我们在小学就学习过方程,所谓方程,就是含有未知数的等式.(2)去括号法那么在本讲中,我们要用到上一讲学习过的去括号法那么,请同学们提前复习一下.

2、例1、化简以下式子(1) (2a 3b) (a 4b)(2) 3(2x y) 2(x 4y)思路导航：回忆去括号法那么,并严格遵循这一法那么.解答：(1)原式 2a 3b a 4b2a a 4b 3ba b(2)原式 6x 3y 2x 8y6x 2x 8y 3y4x 5y点津：去括号是解一元一次方程过程中很容易出现错误的地方,请同学们在做题过程中引起重视,多检查.3、新知探秘知识点一方程的解与解方程使方程左右两边相等的未知数的值,叫做方程的解.例如,当x 3时,在方程3x 2 4x 1中左边二3 3 2 11右边=4 3 1 11所以,左边二右边,故x 3是方程3x 2 4x 1的解.例2、检

3、验以下括号里的数是不是它前面方程的解.(1) 3y 1 2y 1( y 4, y 2)(2) (2 x)(3 x) 0(x 0,x 2)思路导航：回忆方程的解的定义,并运用它解题.解答：(1)当y 4时,左边 3 4 1 11,右边 2 4 1 9所以,左边 右边,y 4不是方程的解.当y 2时,左边 3 2 1 5,右边 2 2 15所以,左边=右边,y 2是方程的解.(2)当x 0时,左边 (2 0)(3 0) 6,右边=0所以,左边 右边,x 0不是方程的解.当x 2时,左边 (2 2)(3 2) 0,右边=0所以,左边=右边,x 2是方程的解.点津：求方程的解的过程,叫做解方程.1我们

4、在小学已经学习过简易万程,比方,3x 4 9, a 5 3(a 1) 3等,像这样2只含有一个未知数,且未知数的次数都是1的方程叫做一元一次方程.知识点二等式的性质既然方程是一种特殊的等式,那么在解方程之前,我们先来研究等式的性质.L . J X、JL 小 J L如上图,从左到右,我们在保持平衡状态的天平两边加上相同的重量, 天平仍保持平衡； 从右到左,我们在保持平衡状态的天平两边减去相同的重量,天平仍保持平衡.等式与天平的平衡类似,于是有：等式的性质1等式的两边加上(或减去)同一个数(或式子),结果仍相等.类似的,在上图中,观察从左到右和从右到左天平两边的变化,可以类比得到等式的又一性质：等

5、式的性质2等式两边乘以同一个数,或除以同一个不为0的数,结果仍相等.例3、填空(1)假设 3 2 x,那么 x ；(2)假设 x y 6 ,那么 x 6 ;3一(3)右x y 2 ,那么 y 2 ; 4(4)假设 3x 24,那么 x .思路导航：利用等式的性质到达使等式变形的目的.解答：(1) 1;V；y (2) 3x ； 4(4) 8.点津：养成言之有据的习惯,即培养自己的理性思维.例4、判断(1)假设 ax ay ,贝 U x y ；(2)假设 x y,那么 x 5 5 y；b(3)假设 ax b 0(a 0),那么 x b ;a(4)假设 5x 2 6x 3,那么 x 1. 思路导航：

6、为题目中给定的变形式找依据. 解答：(1)错,假设a 0,那么不能用等式的性质 2；(2)错,利用等式的性质 1,可得x 5 y 5,而并非题目所给结果；(3)错,利用等式的性质 1,得ax b ,再利用等式的性质 2,得x -；a(4)对,利用等式的性质 1,得3 2 6x 5x,即x 1 0点津：此题与上题在逻辑上正好相反,上题是按依据来变形,此题是为变形找依据,带有逆向思维的成分,属于更高层次的要求.知识点三 解一元一次方程(一)系数化为1mx n (其中m,n为常数,m 0)是比拟简单的一元一次方程.解这类方程时,可以利用等式的性质 2,将未知数的系数化为 1即可.例5、解以下方程(1

7、) 15x 603m 22(3) 2.5p 1.5(4) 3.仅 0思路导航：将系数化为1其实是利用等式的性质 2.解答:(1)方程两边同时除以即x 4(2)方程两边同时除以rr4即m -3(3) 2.5p 1.5方程两边同时除以 2.5,3即p 35(4)方程两边同时除以15x 6015,得 15153/曰33c一,得一m一2222/曰 2.5p1.5得-2.52.5./曰 3.1x03.1,得3.13.1点津：将系数化为1实际上是将此类方程化为形如 xa的最简单的方程.知识点四 解一元一次方程(二)移项我们来研究方程5x 2 3x 4(1)的解法.如果我们能把这个方程变形为上述简单方程就能

8、很容易求出解.上述简单方程的一边只含有x的项而没有常数项,而另一边只有常数项而没有含x的项.所以,根据等式的性质 1,方程(1)两边同时加上2,即(5x 2) 2 (3x 4) 2于是,得到一个新的方程5x 3x 6(2)这个方程与原方程的解是相同的,称其为原方程的同解方程.再根据等式的性质1,方程(2)两边同时减去3x,即5x 3x (3x 6) 3x于是,得到与原方程同解的方程2x 6(3)将这个方程中未知数的系数化为1,得x 3.将方程(1)与方程(2)作比拟5正一 2 =4 4这个变形可以看作是把方程左边的常数项2改变符号后,移到方程的右边.同样,将方程(2)与方程(3)作比拟r5h|

9、_ *= 6这个变形又可以看作是把方程右边的含x的项3x改变符号后,移到方程的左边.这种变形叫做移项.移项法那么：把方程一边的项改变符号后移到方程的另一边,方程的解不变.求方程(1)的解的过程可以写为解：移项,得5x 3x 4 2合并,得2x 6方程两边同除以2,把x的系数化为1,得x 3.例6、解以下方程(1) x 7 5 x235(2) 6y 3 4y 544x(3) 3x 12(4) 4x 1 4 3x思路导航：在计算的过程中,一定要依据移项的法那么求解.解答：1(1)移项,得7 5 x x21 1合并,得2 x,即一x 22 2系数化为1,得x 45 3(2)移项,付 6y 4y 4

10、4合并,得2y 2系数化为1,得y 11(3)移项,得1 3x -x2“155合并,得1 5x,即5x 122一,r 2系数化为1,得x -5(4)移项,得 4x 3x 4 1合并,得7x 5一 55系数化为1,得x -7点津：移项的本质是利用了等式的性质1.通过移项和合并,我们把较复杂的一元一次方程变形为形如mx n(m 0)的简单方程.这种将复杂问题转化为简单问题的数学思想值得我们加以总结.知识点五 解一元一次方程(三)去括号和去分母如果一元一次方程中含有括号,我们需要利用上一讲学习的去括号法那么,将括号去掉,再将其转化为较简单的形式,利用移项和合并,最终化为最简单的方程,从而求出方程的解

11、.例7、解以下一元一次方程(1) 4x 2 2(x 4)(2) 3(y 7) 29 4(2 y) 22思路导航：当方程中含有括号时,将括号去掉,转化为较为简单的方程.解答：(1)去括号,得4x 2 2x 8移项,得4x 2x 8 2合并,得2x 10系数化为1,得x 5(2)去括号,得 3y 21 29 8 4y 22再去括号,得3y 21 18 16 8y 22移项,得 3y 8y 22 21 18 16合并,得11y 45一 ,一 445系数化为1,得y 4511点津：此例题比上一例题更为复杂,但是通过去括号可以将其转化为类似上一例题中较为简单 的形式,这也是利用了转化的方式.另外,在对形

12、如 4(x 3)的式子进行去括号时,其实还是一个运用分配律的过程.有的方程未知数的系数是分数,而整数的运算比分数的运算简单、不容易出错.因此,我们自然会想,有没有什么方法可以将分数化为整数这个方法就是利用等式的性质 2,在方程的左右两边同时乘以所有分母的公分母.我们以方程24这里有三个分母,为例.其最小公倍数为(一12,在这个方程的左右两边同时乘以12,得1-)12 3(1 誓)12利用乘法分配律,即 3(x 2) 4得二 12 412 2(2 x)2 x1 12 126得到的这个方程就是上述我们能够解的简单方程了,解答过程如下:去括号,得3x 6 4 12 4 2x移项,得 3x 2x 12

13、 4 6 4合并,得x 10例8、解以下(1)二224一次方程5x44 3x ,16思路导航：要清楚去分母的依据和步骤.解答：(1)方程两边同时乘以 4,得2(3 4x) 5x去括号, 移项,得 合并,得得 6 8x 5x系数化为1,5x 8x13x,即 13x 66仔x -13(2)方程两边同时乘以去括号, 移项,得 合并,得得3x 63x 6x9x 2681212,得 3(x 2) 2(4 3x) 126x 126 8269大家一定要22y为例,看看解有分数系10,于是方程变形为系数化为点津：去分母的过程,实际上就是将带分数的方程化为上述整数系数方程的过程. 总结其中的“转化思想.大家熟悉

14、去分母的过程后就不必这样详细书写,只需写“去分母,得即可.知识点六解一元一次方程的一般步骤为更全面地讨论问题,我们以 3 5-y 4 10 4y510数的一元一次方程的步骤.这个方程各分母的最小公倍数为10,方程两边同时乘以3 10 2(5 2y) 4 10 (10 4y) 5(2 y)需要注意的是,方程左右两边的每一项都要乘以10,谨防漏乘；分数线本身具有括号的作用,所以去分母后先把括号添上.我们用以下流程图表示具体解答过程：这个流程图显示了解一元一次方程的一般步骤.解方程就是要求出其中的未知数(比方 x),通过去分母、去括号、移项、合并、系数 化为1等步骤,就可以使一元一次方程逐步向着 x

15、 a的简单形式转化,这个过程主要依据 了等式的性质和运算律等方法.1 2x x 1 2x 1例9、解万程1 634思路导航：依据上述解一元一次方程的步骤即可解决.解答：去分母,得 2(1 2x) 4(x 1) 12 3(2x 1)去括号,得2 4x 4x 4 12 6x 3移项,得 6x 4x 4x 12 3 2 4合并,得6x 3一,r 1系数化为1,得x -2点津：一定要清楚每一步的依据是什么；每一步都是将复杂的方程转化为简单方程的过程. 四、知识提炼导图等式的性质1什么是方程五、目标期望通过本讲的学习,希望同学们了解什么叫方程的解,掌握解一元一次方程的步骤,包括去分母、去括号、合并、系数

16、化为1,不但要会算,而且还要知道为什么可以这样算.另一方面,希望同学们在解一元一次方程的过程中,体会由繁杂到简单的转化思想,这种转化思想将会一直伴随在我们的学习中.【同步练习】(做题时间：45分钟)1、火眼金睛：(1)对于成立的等式来说,以下说法错误的选项是(A.假设 ac b c,那么 a b B.假设 a c bc,那么 a bC.假设 a b ,那么 a bD.假设 ac bc,那么 a bc cx 1(2)方程x 5的解为()2A. 9B. 3C. 3D. 9(3)与方程2x 1 3x 2同解的方程是()A. 2x 3x 1b. 3x 2x 3C. 2x 3 3x 4D. 12x 2

17、3x 1(4)假设3x 1与(5 )的和为0,那么x的值应为()23A. 7B. 2C. 1D. 0(5) 一个个位是4的三位数,如果把这个数4换到最左边,所得的数比原数的 3倍还多98,那么原数是()A. 544B.144C.104D. 4042、对号入座：(1)x 3是方程2x2 3mx 2m 4的解,那么m ；2(2)6x 4 4x 6,那么代数式2x 3x 1的值是；,2x 1(3)当7时,方程2x 5y 6中的y的值为；3(4)当x 时,代数式1(1 2x)与代数式2(3x 1)的值相等；37(5)如果关于x的方程3x m 1与2x 3m 2m 2同解,那么m 3、牛刀小试：(1)解

18、以下方程Dx 14.5x-J 222(x 3)1.5x2x2(x 7)3112一与关于x的方程4x 2(x n)的解相同,求(n 3)22程的解相同. 项方程的解. 项方程.(4) A由题意,得3士 12去括号,得9 3x 6 10 4x(5 2x) 0.去分母,得 3(3 x) 6 2(5 2x) 0； 30；移项,得4x 3x 10 6 9;合并,得x 7.(5) C 方法一是将选项中的数一一 两位数为x,那么依据题意,得400进行验证.方法二是设原数去掉个位数字得到的x 3(10x4)解得X所以原数为10x 4 104.2、对号入座：14(1113代入方程两边,应该相等,即323m 32

19、m于m的方程,得(2 ) 3614.11由6x 42x23x(3)1 214523 5 12x 14x 636.5代入2x23x205y(4)1,一 由题忌,32括号,得 7 14x 18x1 o32314O5,口 1得-(1 2x)6;移项,得10代入方程2x|(3x 1);去分母,得7(17 6 18x 14x;合并,得5y2x) 6(3x1)32x=1 ;系数化为1,的值.【试题答案】1、火眼金睛(1) D A项和B项中变形的依据都是利用了等式性质1; C项中变形的依据是利用了等式性质2,由于C出现在条件的分母上,所以 C 0；而D项中的C可能会等于0,所以不 能两边同时除以Co(2) D 去分母,得2x (x 1) 10；去括号,得2x x 1 10;移项,得 2x x 10 1；合并,得 x 9.(3) B 方法一是将题干和选项中的方程都解出来,看看哪个