从二道高考题解读二面角的求法

1、名师精编欢迎下载AB案例说法-从二道高考题解读二面角的求法空间几何中的三种角-异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角， 在高考立体几何的计算中占据着主角地位。 而二面角的求解因为方法多样、灵活 多变，具有较高的区分度，较能考察学生的空间想象能力、 逻辑思维能力及计算 能力，更受到命题者的青睐。由于学生的空间想象能力、逻辑思维能力较弱，力卩 之教师对教学的无赖，学生往往仅掌握用平面的法向量来求解二面角，此法虽然对学生的空间想象能力、逻辑思维能力要求不高，但对计算的要求较高，学生往 往建系不当、计算出错等原因导致失分，并且如果不分试题背景都用法向量来求 解，也有“小题大作”之嫌，费时费事，出

2、现“隐形”失分。因此，在教学、备 考中适当介绍一些二面角的常用求法， 让学生多几样利器，能避免“杀鸡全部用 牛刀”的尴尬局面。下面通过20XX年全国高考卷中的二道试题，介绍二面角的一些常用求法。例1（20XX年全国大纲卷理16）已知E、F分别在正方形 ABCD_A1B1C1D1棱BB,CG上，且B1F=2EB CF=2FC则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等 于。一、面积射影法一个平面多边形的面积为S,它在另一个平面上的射影多边形的面积为S1，若多边形所在平面与另一个平面构成的二面角为则 cos，1S解：如图1,设AB =3，B193 11,S.AEF2 2(AE =EF = .10,

3、AF =$22)且AEF在平面ABC上的射影为ABCcos-二3或解：如图2把AAEF、厶ABC分别扩充可求得SABCC1FC1F名师精编欢迎下载成菱形AEFG正方形ABCD同样，菱形AEFG在底面上的射影为正方形ABCD同上也可求出正确答案。注：面积射影法对这种“无棱二面角”比较方便。二、三垂线定理法如图3，设锐二面角-1 - 1，过面:-内一点P作PA丄于A,作AB丄l于B,连接PB,由三垂线定理得PB丄I,则/PBA为二面角:-的平面角，故称此法为三垂线法解：如图4,延长CB FE交与G点， 连接AG则平面 AEF 平面 ABC =AG因为：EB _平面 ABC所以：过B点作BM _ A

4、G于M连接EM由三垂线定理可知：EM _ AG。故EMB为面AEF与面ABC所成的二面角的平面角设AB =3,EB/FC,EBFC,2BG =3，在直角等腰三角形ABG中，由BM _ AG知-B 为 CG 中点BM3 一图 4名师精编欢迎下载ABEB1.2tan ZEMB =MB3.232三、垂面法如图5,作平面Y垂直于二面角oI B的棱I，分别交二面角的两个面于射线PA、PBo根据平面角的定义可知， APB就是二面角:-的平面角。这种通过作二面角棱的垂面得平面角的方法就叫做垂面法 解：如图6,延长CB FE交与G点，连接AG则平面 AEF c 平面 ABC =AG易证 AG _平面 ACC1

5、A且平面 ACC1A1与面AEF与面ABC的交线分别为AE AC,所以.FAC就是面AEF与面ABC所成的二面角的平面角。同样，在直角=FAC中，可求得2tan _ FAC 二3四、定义法 此方法的关键是在二面角的棱上找到一点， 过这点分别在两个面内作棱的垂线得 平面角。此法中，点的选取很关键，便于后续计算 例2.(20XX年全国新课标理18)如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形， DAB =60，AB=2AD，PD 底面ABCD(I) 证明：PA BD ；(II)若PD=AD,求二面角A-PB-C的余弦值.图6C名师精编欢迎下载解：(I)因为 DAB =60 , AB =2A

6、D ,由余弦定理得BD f L3AD从而BD2AD2二AB2,故BD AD又PD丄底面ABCD可得BD丄PD所以BD_平面PAD.故PA_BD（U）如图，过A作AE _ PB于E,过E作EF/BC交PC于F,连接AF由（I）知，CB _ 平面 PDB , CB PB, FE _ PB 故/AEF是二面角A-PB-C的平面角。作FG _ DC于G点，连接AG7137+ _ 所以 cos AEF 二4一16一16二c 71224即二面角A-PB-C的余弦值为年 五、求部分法当一个二面角被过棱的一个半平面分 成两个二面角时，可分别求出两个二面 角，再求和。特别地，当其中一个二面 角的大小已知时，问题

7、将更加简便。解：如图，二面角A-PB-C被平面PBD分成二面角A - PB - D和D - PB - C所以，平面 CPB _平面 DPB设PD = AD=1，通过计算可得:AE中 7EFEF4，374277由（I）知：CB _平面 PBDPQDCB名师精编欢迎下载故二面角DPBC是直二面角，其大小为I2下求二面角A PBD的大小因为 AD _平面 PBD，过A作 AQ_ PB 于Q点，连接DQ,由三垂线定理法可知， AQD 为二面角A - PB - D的平面角故二面角A-PB-C的余弦值为同上求得 sin . AQD2.77所以二面角A-PB-C的余弦值为:兀27c o sA( Q D)二-s i nA Q D -27六、平面法向量法(U)如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立 空间直角坐标系D-Xyz，则A(1,0,0)B(0,，3,0) C(-13,0) P(0,0,1 )? ? ?uuv-uiv-uivAB=(1, 3,0), PB =(0, 3,1),BC =(1,0