2018高中数学第2章数列2.3等差数列的前n项和学案苏教版必修5

1、等比数列的概念与通项公式III【明确目标有的阀、考点突破知识点课标要求题型说明等差数列的 前n 项和1.掌握等差数列前 n 项和的 公式，并能运用公式解决一些 简单问题；2.体会等差数列前 n 项和公 式与二次函数间的关系选择题填空题等差数列前 n 项和还要 注意两点:公式推导的方 法和函数的思想、重难点提示重点：运用等差数列前n项和的公式解决一些问题。难点：等差数列前n项和公式与二次函数间的关系。Ml舞IHD召np尊甘T-I -1 I- - I-考点一：等差数列前 n 项和公式及推导(1) 等差数列的前 n 项和公式Sn=nan)=nai+2 2(2) 等差数列的前n项和公式的推导:Sn=a

2、i+a2+an,Sn=an+an t + +ai,2Sn=(ai+an) + (a2+an-1)+(an+ai),=n(ai+an),1S=n(ai+an)2这种推导方法称为倒序求和法。【核心突破】(1)由等差数列的前 n 项和公式及通项公式可知，若已知ai、d、n、an、Sn中三个便 可求出其余两个，即 “知三求二”。“知三求二”的实质是方程思想，即建立方程组求解。(2)在运用等差数列的前n项和公式来求和时，一般地，若已知首项ai及末项an用公 式$ =世！ 竝较方便；若已知首项ai及公差d用公式S= nai+ 曲 卫d较好。22(3)在运用公式S=“*an)求和时，要 注意性质“设m n、

3、p、q均为正整数，2若m+n=p+q,贝Uam+an=ap+aq” 的运用。【劇要点朋翹S】2(4)在求和时除了直接用等差数列的前n项和公式求和(即已知数列是等差数列) 夕卜,还要注意 创设运用公式条件 (即将非等差数列问题转化为等差数列问题)，以利于求和。考点二：等差数列前 n 项和的性质03考点三：等差数列前 n 项和的最值解决等差数列前 n 项和的最值的基本思想是利用前n 项和公式与函数的关系解决问题，即：(1)二次函数法： 用求二次函数的最值的方法来求前n 项和的最值， 但要注意的是：n N*。(2)图象法：利用二次函数的对称性来确定n的值，使Sn取最值。(3)通项法： 当a,0,d

4、: 0时，n为使an_ 0成立的最大的自然数时，5最大。这 是因为当an0时，SnSnJL，即递增；当an 0时，Sn：Sn，即递减。类似的，当q : 0, d 0时，则n为使an乞0成立的最大的自然数时，Sn最小。曲典侧脯【翊咖滾】pj_亠_ ,_P例题 1 (等差数列前n项和公式的应用) 在等差数列an中，前n项和为S。(1) 已知S8= 48,Sz= 168，求a1和d;(2) 已知a6= 10,S5= 5，求a8和S8；(3) 已知a3+a15= 40,求$7。思路分析：(1)利用前n项和公式，建立关于a、d的方程组，解方程组求a、d;(2) 根据前n项和公式求a1、d,再求a8和S8

5、；(3) 先根据等差数列的性质求a1+a17，再求 S7。答案：(1)由等差数列的前n项和公式,(2)Ta6=SS，二S= S+ a6=15,x6= 15, 即卩 3 (a1+10)= 15,a6 _a1 a1 5 , d 3,数列an为等差数列，前n项和为 S,则有如下性质:(1)Sn,SzmSn,(2)若项数为偶数(3)若项数为奇数SmSn,，也是等差数列，公差为RTdo奇a2n(n N),则S偶一S奇=nd,=。an出S奇n 1- 。S偶n2n+1 (n N),贝VS奇一S偶=an+i,(4) 若an、bn均为等差数列，前n项和分别为Sn和Tn,贝U屯=邑仝2。bmT2mJ得&1

6、+248,2印+66d =168a1解得丿1d = 4;aa6245+ a8a8a6+2d16,S8=-x844；2(3)根据等差数列的性质，有a3+a15a1+a仃40,05.S7=1717)=10=340。2 2技巧点拨：1.本题第(3)问看似缺少条件，但注意到a3+ai5与ai+ai7的联系，便可以很容易地求出结果，所以应注意各元素之间的某些特殊联系。2.对于两个求和公式S=n(ai an)和sn=nai+n(n-1)d,要根据题目的已知条件灵2 2活选用。例题 2 (等差数列前n项和的最值)已知等差数列an中，ai= 13 且S3=Si，那么n取何值时，S取得最大值？并求出S的最大值。

7、思路分析：先根据前n项和公式求公差d,再求出Sn的表达式，转化成二次函数在N上的最值问题；也可求出公差d后，利用通项公式an的符号解决。答案：方法一 设公差为 d,由S3=Si得 3X13+3汇 Wd= iix13+(11一 d,2 2d2d22d= 2，又ai= 13, .S= n+(ai)n= n+ 14n= (n 7) + 49,2 2当n= 7 时，Sn取得最大值，最大值是S= 49;方法二同方法一得d=- 2,an= 13-2 (n 1)= 15-2n,解得 6.5 0,a70,a8W0,知数列的前 7 项和最大，7疋6S=7X13+x( -2)=49。2技巧点拨：1.本题中方法一利

8、用二次函数的最值确定n值；方法二利用等差数列的通项公式确定n值；方法三利用等差数列的性质，由条件本身的特点确定n值。2.求等差数列前n项和的最值的常见方法：(1)方法一：利用通项公式确定n值1若ai0,dv0,则S有最大值，n可由不等式组0,来确定；佔v 0再兰0,a十兰o.即严一沁，15 _2(n +1) 0,则S有最小值，n可由不等式组丿来确定。(2)方法二：利用二次函数的最值确定n值等差数列的前n项和为$,当dK时，点(n,SO是二次函数y=ax2+bx(a*0)上 的间断点，因此可利用二次函数的最值确定n值。 in1/)谢展升华高分最取】丄_ _0煤吕拓辰一类与等差数列有关的含绝对值的数列的求和【满分训练】 已知数列an为等差数列，an=10-3n，求a1+ a2+.+ an思路分析：所求和中关键是去掉绝对值，故根据an的正负去掉绝对值。先确定各项的正负，再根据正负去掉绝对值，然后求和。答案：由于an有正也有负，当an 0 时，a*=an；当an0 时，n兰3,所以