【精品提分练习】高三数学二轮专题八第3讲分类讨论、转化与化归思想

1、审定部编版试题第3讲 分类讨论、转化与化归思想数学思想解读 1.分类讨论思想是当问题的对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象按某个标准进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结论， 最终综合各类结果得到整个问题的解答.实质上分类讨论就是化整为零，各个击 破，再集零为整”的数学思想.2.转化与化归思想方法用在研究、 解决数学问题时， 思维受阻或寻求简单方法或从一种状况转化到另一种情形，也就是转化到另一种 情境使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是获取成功的思 维方式.然点聚焦1分类突破I,研感点一析应用：:热点一分类讨论思想的应用应用1由概念、法则、公式、性质引起的分类讨

2、论【例1】(1)若函数f(x)=ax(a>0, awl在 1, 2上的最大值为4,最小值为m,且函数g(x) = (1 4m)4X在0, + 00比是增函数，则a= 39-(2)在等比数列an中，已知a3=2，S3 = 2，则a=.解析 若a>1,有a2 = 4, a 1 = m.1解得 a = 2, m：.此时g(x)=以为减函数，不合题意.若 0<a<1,有 a 1 = 4, a2=m,一 11故a = 4，m=16，检验知符合题息.当q=1时,3 c9口、a = a2 = a3=2，S3=3a1 = 2，显然成乂.当q w 1时，由 a1q2 = 2,3a3 =

3、2S3=2,欢迎您下载!产(1 + q + q2)由/日1+q十q2 由石，得一q=3,即 2q2 q1=0,6= 32 a-q,1 .、 一 ,1 ,所以q= 2或q= 1(舍去).当q= - 2时，ai3综上可知，a1 = 2或a1 = 6.一、 13 .答案(1)4 (2)3或6探究提高1.指数函数、对数函数的单调性取决于底数a,因此，当底数a的大小不确定时，应分0<a<1, a>1两种情况讨论.2.利用等比数列的前n项和公式时，若公比q的大小不确定，应分q= 1和qwl 两种情况进行讨论，这是由等比数列的前n项和公式决定的.【训练1】(1)(2018长沙一中质检)已知

4、Sn为数列an的前n项和且Sn=2an2, 则%一S4的值为()A.8B.10C.16D.32sin ( tx2) , 1<x<0,(2)函数f(x)=；x.1 x>0若f(1)+f(a)=2,则a的所有可能取值的集合是.解析 (1)当 n=1 时，a1 = S1 = 2a1 2,解得 a1 = 2.因为 Sn=2an2,当 n2 时，Sn-1 = 2an-1-2,两式相减得，an= 2an2an1,即 an=2an1,则数列an为首项为2,公比为2的等比数列，则S4= % = 25= 32.(2)f(1) = e0=1,即 f(1) = 1.由 f(1) + f(a) =

5、2,得 f(a) = 1.当 a>0 时，f(a)= 1 = ea 1,所以 a= 1.当1<a<0 时，f(a) = sin( a2) = 1,所以 向2=2k什2(底Z).所以a2=2k+1(kCZ), k只能取0,止匕时a2 =2, 2因为一1<a<0,所以a=一 0 .则实数a取值的集合为笔1 :.答案（1）D （21一乎，1，应用2由图形位置或形状引起的分类讨论x> 0,【例2】（1）已知变量x, y满足的不等式组（ y>2x,表示的是一个直角三角、kx-y+ 1 >0形围成的平面区域，则实数k=（）1_1_1一A. -2B，2C.0D

6、. -5或 0（2）设圆锥曲线C的两个焦点分别为F1, F2,若曲线C上存在点P满足|PF"： IF1F2I ： |PF2| = 4 ： 3 ： 2,则曲线C的离心率等于.fx>0,解析（1）不等式组y y>2x,表示的可行域如图（阴影部分）所示.kx y+ 1 >0x> 0,由图可知，若要使不等式组y>2x,表平面区域是直角三角形，只有当直线、kx y+ 1 >0kx- y+ 1 = 0与直线y轴或y= 2x垂直时才满足.结合图形可知斜率k的值为0或12 .（2）不妨设 |PF1|=4t, |F1F2| = 3t, |PF2|=2t,其中 30.

7、若该曲线为椭圆，则有|PF1|十|PF2|=6t=2a, c 2c 3t 1|F1F2|=3t = 2c，e=a = 2a=6t=2；若该曲线为双曲线，则有|PF1|PF2|=2t=2a,c 2c 3t 3|F1F2|=3t = 2c, e=才、1, 3答案 (1)D (2)2或2探究提高1.圆锥曲线形状不确定时，常按椭圆、双曲线来分类讨论，求圆锥曲 线的方程时，常按焦点的位置不同来分类讨论.2.相关计算中，涉及图形问题时，也常按图形的位置不同、大小差异等来分类讨论.【训练2】设Fi, F2为椭圆卷+!=1的两个焦点，P为椭圆上一点.已知P, Fi, 9 4F2是一个直角三角形的三个顶点，且|

8、PFi|>|PF2|,则禺的值为.解析 若/PF2Fi = 90°.则|PFi|2=|PF2|2+|FiF2|2,又因为51|+52| = 6, |FiF2|=2/5,- i4 4 一|PFi| 7解得|PFi|=，|PF2|=4,所以鬲=7. 33|PF2| 2若 / FiPF2= 90°, WJ |FiF2|2= |PFi|2+ |PF2|2,所以 |PFi|2 + (6一|PFi|)2=20,所以 |PFi|=4, |PF2|=2,所以隅=2.综上知，若胃=7或2.|Pr2| 2答案2或2应用3由变量或参数引起的分类讨论【例3】 已知f(x) = x aex(a

9、e R, e为自然对数的底数).讨论函数f(x)的单调性；若f(x)< e2x对x R恒成立，求实数a的取值范围.解(i)f'x)=i aex,当a00时，f'x)>0,函数f(x)是(一oo, +00比的单调递增函数；当 a>0 时，由 f' x) = 0 得 x= ln a,若 x C ( 00, in a),则 f x)>0；当 x C ( In a, + 0),则 f x)<0.所以函数f(x)在(一oo, in a)上的单调递增，在(一ln a, + 0上的单调递减.(2)f(x)<e2xa>ex-ex,、rx x I

10、. . i e x设 g(x) = 1 e ,则 g x)=/.ee当 x<0 时，i ex>0, g' x)>0,；g(x)在(一00, 0)上单调递增.当 x>o 时，ie2x<o, g ' x)<o,g(x)在(0, + 00止单调递减.所以 g(x)max=g(0)= 1 ,所以 a> 1.故a的取值范围是1, + °°).探究提高 1.(1)参数的变化取值导致不同的结果，需对参数进行讨论，如含参数的方程、不等式、函数等.解析几何中直线点斜式、斜截式方程要考虑斜率k存在或不存在，涉及直线与圆锥曲线位置关系要进

11、行讨论.2.分类讨论要标准明确、统一，层次分明，分类要做到不重不漏”.【训练3】 已知函数f(x) = 4x3+3tx2 6t2x+1-1, xCR,其中tCR.当30时, 求f(x)的单调区间.解 f'x)=12x2 + 6tx 6t2令 f' x) = 0,解得 x= 1或乂= 2.因为twQ所以分两种情况讨论：若t<0,则2< t.当x变化时，f'x), f(x)的变化情况如下表：x1tt、OO -<'2 J10 r(t, + °°)f'x)十一十f(x)/所以，f(x)的单调递增区间是(一8, 2(t, +8

12、)f(x)的单调递减区间是J2, T若t>0,则一t<2.当x变化时，f'x), f(x)的变化情况如下表:x(OO, - t)iA，IS2 +0°，f'x)十一十f(x)d、所以，f(x)的单调递增区间是(8, -t),+8)；可刈的单调递减区间是(一t, 2)热点二转化与化归思想应用1特殊与一般的转化【例4】(1)过抛物线y=ax2(a>0)的焦点F,作一直线交抛物线于P, Q两点.1 1,若线段PF与FQ的长度分别为p, q,则p+1等于()14A.2aB0C.4aD.£(2)(2017浙江卷)已知向量a, b满足冏=1, |b|=2

13、,则|a+b|+|ab|的最小值是,最大值是.解析(1)抛物线y=ax2(a>0)的标准方程为x2=1y(a>0),焦点F0,右)1过焦点F作直线垂直于y轴，则|PF|=|QF| = ;1,2a .1+1=4a.p q(2)由题意，不妨设 b=(2, 0), a=(cos 9, sin 0),则 a+b=(2+cos 0, sin 0), ab= (cos 0 2, sin ().令 y=|a+b|+|ab|=(2 +cos 8) 2+ sin2 9+(cos 9-2) 2+sin2 0=7 5+ 4cos 8 + 5 4cos 9,令 y=乖+ 4cos 9+ 54cos 0,贝

14、U ¥2=10 + 2425 16cos2 函16, 20.由此可得(|a+b|+|ab|)max = V20= 2相(|a+b|+|a-b|)min = V16=4,即|a+b| + |ab|的最小值是4,最大值是25.答案(1)C (2)4 2 5探究提高1.一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单.特殊问题一般化，可 以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的效果.2.对于某些选择题、填空题，如果结论唯一或题目提供的信息暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的量用特殊值代替，即可得到答案 .【训练4】 如果ai, a2,，a8为各项都大于零的等差数列，公差

15、 d 那 么()A.aia8>a4a5B.aia8<a4a5C.ai + a8>a4+ a5D.aia8= 04 a5(2)在AABC中，角A, B, C所对的边分别为a, b, c,若a, b, c成等差数列，cos A+cos C :i + cos Acos C解析(i)取特殊数列an,其中an=n(nC N*).显然 ai a8 = 8<a4 a5=20.一 i(2)令a=b = c,则4ABC为等边二角形，且 cos A=cos C=5，代入所求式子,i i =1+ 2芍5-/口 cos A+cos Ch(4)=ln 4 3=lni1W <ln1 = 1,

16、又函数 h(x)在1, + 比为减函数， e e j e满足条件的最大整数m的值为3.探究提高1.函数与方程、不等式联系密切，解决方程、不等式的问题需要函数帮助.2.解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助于函数与方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等关系转化为最值(值域)问题，从而求出参变量的范围.【训练5】 在平面直角坐标系xOy中，A(12, 0), B(0, 6),点P在圆O: x2+=50上.若承附020,则点P的横坐标的取值范围是 .解析 设点 P(x, y),且 A(12, 0), B(0, 6).则PA PB=(12 x, -y) (-x, 6 y)=

17、x(12 + x)+y(y -第，/ 氏cl / (5 Tp-56)&20，又 x2+y2= 50,2x-y+5<0,则点P在直线2x y+ 5=0上方的圆弧上(含交点)，即点p在MCN上，、=2x+5, 联立加5 0,解得x= - 5或x= 1,结合图形知，52<x< 1.故点P横坐标的取值范围是5/，1.答案5蛆，1应用3正与反、主与次的转化【例 6】(1)设 y=(log2x)2+(t 2)log2x 1+1,若 t在2, 2上变化时,y包取 正值，则x的取值范围是.(2)若对于任意tC1, 2,函数g(x) = x3+m+2x一2x在区间(t, 3)上总不为单

18、 调函数，则实数m的取值范围是.解析 (1)设 y=f(t) = (log2x 1)t+ (log2x)2 2log2x+ 1,则f是一次函数，当te 2, 2时，f(t)>0何成立，则 f ( 2) >0,即；(log2X)2 4log2X+ 3>0,大 f (2) >0,、(log2X)2-1>0,1,斛得 10g2X< 1 或 10g2X>3 ,即 0<X<2或 x>8,故实数x的取值范围是Jo, 2 !；U (8, +oo.(2)g'xl= 3x2+(m+4)x-2,若g(x)在区间(t, 3)上总为单调函数,则g&#

19、39;x)>0在(t, 3)上恒成立,或g'x)W0在(t, 3)上恒成立.由得 3x2+ (m+4)x2>0,即 m+4>2 3x. x, 2 ,一，、当xC(t, 3)时恒成立， m+4,3t包成立，则 m+4> 1,即 m>5;由得 m+ 4<2- 3x,当 xC(t, 3)时恒成立，则 m+4<2-9,即 m< -7. x33使函数g(x)在区间(t, 3)上总不为单调函数的m的取值范围是37, -5.答案 , 2)"8, i) (2)( 37 5)探究提高1.第(1)题是把关于x的函数转化为在0,4内关于t的一次函数大于0包成立的问题.在处理多变元的数学问题时，我们可以选取其中的参数，将其看 作是 主元”，而把其它变元看作是参数.2.第(2)题是正与反的转化，由于不为单调函数有多种情况，先求出其反面，体现 正难则反”的原则.【训练6】 已知函数f(x) = x3 + 3ax 1, g(x)=f'x) ax 5,其中f'x)是f(x)的导 函数.对满足一1&a&1的一切a的值，都有g(x)<0,则实数x的取值范围为解析由题意，知g(x)=3x2ax+ 3a-5,令 Ma)=(3