电磁场中带电体运动问题的分类和简化

1、电磁场中带电体运动问题的分类和简化如皋中学吴天明带电粒子在复合场中的运动问题在历年高考中出现频率高， 难度大，纵观十多年来的高考， 磁场这部分每年至少一题， 且以考查洛仑兹力为多见， 因而在复习中必须加强对与该知识点有关联的题目的解题训练， 并掌握解决该类题目的方法，这对在高考中区得优异成绩至关重要。带电粒子在复合场中的运动的命题，情景新颖、数理结合、联系实际是高考命题的特点。集中融合力学、电磁学等知识，其特点构思新颖、 综合性强，突出考查考生对物理过程和运动规律的综合分析能力、运用数学知识解决物理问题的能力及空间想象能力 . 经常通过变换过程情景、翻新陈题面貌、突出动态变化的手法结合社会、生

2、产、科技实际来着重考查综合分析能力、知识迁移和创新应用能力。当然要正确、迅速解答带电粒子在复合场内运动类问题， 首先必须弄清物理情境，即在头脑中再现客观事物的运动全过程， 对问题的情境原型进行具体抽象 . 从而建立起正确、清晰的物理情境 .其二，考生应对物理知识有全面深入的理解 .其三，熟练掌握运用数学知识是考生顺利解决物理问题的有效手段.这里所说的复合场是指重力场、 电场、磁场并存的复合场， 分析方法和力学问题的分析方法基本相同， 不同之处就是多了电场力和磁场力， 其思路、方法与解题步骤相同，因此在利用力学的三大观点（动力学、能量、动量）分析的过程中，还要注意：（1）洛伦兹力永远与速度垂直、

3、不做功，但洛仑兹力的变化与否将间接影响到重力与电场力等力的做功情况。（2）重力、电场力做功与路径无关，只由初末位置决定，当重力、电场力做功不为零时，粒子动能变化 .因而洛伦兹力也随速率的变化而变化，洛伦兹力的变化导致了所受合外力变化，从而引起加速度变化，使粒子做变加速运动.处理这类综合题，应把握以下几点： (1)熟悉电场力、磁场力大小的计算和方向的判别； (2)熟悉带电粒子在匀强电场和匀强磁场里的基本运动，如加速、偏转、匀速圆周运动等； (3)通过详细地分析带电体运动的全部物理过程，找出与此过程相应的受力情况及物理规律， 遇到临界情况或极值情况， 则要全力找出出现此情况的条件； (4)在“力学

4、问题”中，主要应用牛顿运动定律结合运动学公式、动能定理、动量定理和动量守恒定律等规律来处理； (5)对于带电体的复杂运动可通过运动合成的观点将其分解为正交的两个较为简单的运动来处理。带电粒子在电磁场中运动问题可以分为以下几类：（1）带电粒子在复合场中的直线运动：自由的带电粒子（无轨道约束）在匀强电场、匀强磁场和重力场中作直线运动应是匀速直线运动， 除非运动方向沿匀强磁场方向而粒子不受洛仑兹力。 这是因为重力和电场粒都是恒力， 若它们的合力不能与洛仑兹力平衡， 则带电粒子速度的大小和方向将会发生改变， 就不能作直线运动。（2）近代物理的几个实验：速度选择器、磁流体发电机、霍尔效应、磁强计、电磁流

5、量计。最基本的最典型的应是速度选择器。（3）带电粒子在复合场中有轨道约束下的运动：这种在轨道约束下带电粒子的运动，除了受弹力和摩擦力的作用。 还会受到轨道的重力电场力和洛仑兹力外，此时，带电粒子运动中加速度、 速度的变化情形可根据这些力的性质用力学知识加以分析、讨论。（4）带电粒子在复合场中的曲线运动。除非典型的运动外，这类问题变化多端可优先考虑用能量的观点 （动能定理） 动量的观点来分析处理。 具体举例如下：例 1何为速度选择器，其工作原理如何，并列举几个物理模型与速度选择器相似的应用实例。【解析】如图所示，带电粒子垂直射入正交的匀强电场和匀强磁场的复合场空间，所受电场力和洛仑兹力方向相反，

6、大小相等。即 EqBqv所以 vEB凡是符合式的粒子顺利通过场区从 O2 孔出射，凡是不符合式的粒子均不能从 O2 孔出射，即将速度 v E 的粒B子选中。类似的还有质谱仪：如图所示，经速度选择器选中的速度相等、质量不等的粒子经 180°磁场偏转后由于半径的不等而区分开。磁流体发电机：如图所示，等离子喷入磁场区域，磁场区域中有两块金属板 a 和 b，正、负离子在洛仑兹力作用下发生上下偏转而聚集到 a、b 板产生电势差，最大电势差可达 Bdv（ B 为磁感应强度， d 为两板间距， v 为喷射速度）。霍尔效应：如图所示，厚度为 h、宽度为 d 的导体板放在垂直于磁感应强度为 B 的匀强

7、磁场中， 当电流流过导体板时，在导体板上下侧面间会产生电势差，这种IB现象叫霍尔效应 Uk（k 为霍尔系数）。电磁流量计：如图所示，电磁流量计是用来测定导电液体在导管中流动时流量的仪器，设导管直径为 d，用非磁性材料组成，磁感应强度为 B，a、b 间测出电势差为 U，则流量：d 2UdUQSv4Bd4B【点评】上述几个应用实例， 表面形式各不相同， 但本质上均利用了磁场力和电场力平衡的知识来解，物理模型基本类似，应归类总结、复习。例 2如图所示，在相互垂直的水平匀强电场和水平匀强磁场中，有一竖直固定绝缘杆 MN，小球 P 套在杆上，已知 P 的质量为 m，电量为 q,P 与杆间的动摩擦因数为

8、，电场强度为 E，磁感应强度为B，小球由静止起开始下滑，设电场、磁场区域足够大，杆足够长，求：（1）当下滑加速度为最大加速度一半时的速度.（2）当下滑速度为最大下滑速度一半时的加速度.【解析】：因电场力方向与洛伦兹力方向相反，小球先做加速度逐渐增加的加速运动，当加速度达到最大后， 又做加速度逐渐减小的加速运动，当加速度为零时，速度达到最大 .因此，加速度达到最大之前，加速度可能取最大值的一半，加速度达到最大值后， 一定有某一时刻加速度为最大加速度的一半.小球速度（达到最大值前） 始终在增大， 一定只有某一时刻速度为最大速度的一半，要研究这一时刻是在加速度最大之前还是之后.（1）小球刚开始下滑时

9、速度较小，Bqv q 受力分析如图 4 所示，由牛顿第二定律得：mg-（ Eq-Bqv） =ma当 Bqv=Eq 时a 达最大为 amg随 v 的增大， BqvEq，小球受力如图则： mg-（Bqv-Eq）=ma5 所示.将 a 1 ,am 1 g 分别代入式和式2 2解得在 a 达到 am 之前，当 a 1 g 时，速度为212Eqmgv 2Bq当 a 达到 am 后，当1时，速度为v2 2Eqmg ，其中 v1 存在是有agBq2条件的，只有 mg2q时，在 a 增加阶段才有 a 1 g 可能 .（2）在 a 达到 am 后，随着增大，减小，当2时 m，由式可解vaa0v v得mmgEqv

10、 .Bq设在 a 达 am 之前有 v vm ，则由式解得此时加2mgEq速度为 a g，因 mgEq，故 a g，这与题设相矛盾，说明在 aam 之前不可能有 v= vm .2显然 ag，符合题意 .1将 v=vm 代入式解得a= mgEq.22m点评：不能沿正确的路径推理辨析各物理量隐含的制约关系， 据牛顿运动定律列方程 .。例 3如图所示，一平行板电容器间的水平匀强电场中，用丝线在固定O点悬挂一个质量为1g 的带电小球，静止在竖直偏左30°角的 OA 位置，现把小球提到 B 点使线水平伸直，然后放开，让小球绕O 点摆动，求：（1）小球摆到最低点时线上的拉力；（2）小球摆过最低点

11、后还能向右摆动的角度。（g 取10m/s2）【解析】由题可知小球带负电， 由小球静止于 A 点可知小球受向下 mg，向左 Eq，沿丝线拉力 T，由平衡条件可知：Eq mgtan30°3mg3对小球由 B 经 A 到 C 的过程应用动能定理：mglEql 1 mvc2 02对小球在 C 处竖直方向有Tmg m vcl由得：T (32 3 ) mg 1.8 10 2 N3设小球还能向右摆角至D 点，对小球由 B 经 A 、C 到 D 的过程应用动能定理：mglcos Eql（1sin） 0由得cos3 (1 sin)330【点评】本题为典型的重力场和匀强电场组成的复合场问题。 对该非匀速

12、圆周运动过程， 机械能守恒不再适用， 动能定理为首选解法。 对其中某一位置的法线方向，可使用动力学向心力公式解答。 如本题所示的复合场仍为匀强场， 也可直接采用合场的办法来求解第（ 2）问。 OA 即为合场方向， B 与 D 对 OA 左右对称，所以 AOD 60°，COD30°。若本题修改后 AOB>90 °，则丝线还会有松弛过程，还需考虑丝线张紧瞬间法向速度的损失问题。例 4如图（ a）为一种获得高能粒子的装置，环形区域内存在垂直纸面向外，大小可调节的匀强磁场，质量为 m，电量为 q 的粒子在环中做半径为 R 的圆周运动。 A 、B 为两块中心开有小孔的

13、极板，原来电势都为零，每当粒子飞经 A 板时， A 板电势升高为 U，B 板电势仍保持为零，粒子在两板之间电场中得到加速，每当粒子离开 B 板时， A 板电势又降为零，粒子在电场一次次加速下动能不断增大，而绕行半径不变。（1）设 t0 时粒子静止在 A 板小孔处，在电场作用下加速， 并绕行第一圈，求粒子绕行 n 圈回到 A 板时获得的总动能 En。（2）为使粒子始终保持在半径为R 的圆轨道上运动， 磁场必须周期性递增，求粒子绕行第 n 圈时的磁感应强度 Bn。（3）求粒子绕行 n 圈所需的总时间 tn。（设极板间距远小于 R）（4）在（ b）图中画出 A 极板电势 u 与时间 t 的关系（从

14、t0 起画到粒子第四次离开 B 板时即可）。（5）在粒子绕行的整个过程中， A 板电势是否可始终保持为 U？为什么？【解析】（1）Em nqU（2） nqU1mvn2vn2nqU2mmvn2qvn BnRm 2nqU12nmUBnmRqqR（3）绕行第 n 圈需时 2 R2 Rm1vn2qUn则 t n 2 Rm(111 1 )2qU23n（4）如图所示。（5）不可以。因为这样粒子在 A 、B 之间飞行时电场力对其做功 qU 使之加速，在 A 、B 之外飞行时电场又对其做功 qU 使之减速，粒子绕行一周，电场对其做的总功为零， 能量不会增大。【点评】在（ 4）中由于绕第 n 圈时的周期 Tn2

15、 m ，由 Bn 越来越大，因而qBnT也越来越小，这样在图中 t 、t、t的相互间距要越来越小。粒子每次通过 ABn123板间的时间也要随粒子不断加速而越来越短，因此图中等幅脉冲要越来越窄。在（5）中若粒子穿过 AB 板间后 A 板电势不消失， 正离子继续从 B 向 A 做圆周运动时，是从低电势向高电势运动，电场力做负功，从 B 到 A ，做功为qU，这样粒子绕行一周，电场对其做的功为零，能量也就不会变大。习题巩固：1一带电液滴在如图所示的正交的匀强电场和匀强磁场中运动。已知电场强度为E，竖直向下，磁感应强度为B，垂直纸面向内。此液滴在垂直于磁场的竖直平面内做匀速圆周运动，轨道半径为R。问：

16、（1）液滴运动速率多大？方向如何？（2）若液滴运动到最低点A 时分裂成完全相同的两个液滴，其中一个在原运行方向上做匀速圆周运动，半径变为3R，圆周最低点也是A，则另一液滴将如何运动？【答案】（ 1） vBRg ，顺时针方向；（2）做顺时针方向的匀速圆周运动，EA 点为其轨道的最高点，轨道半径为R。2如图所示，半径为 R 的光滑绝缘竖直环上，套有一电量为 q 的带正电的小球， 在水平正交的匀强电场和匀强磁场中。已知小球所受电场力与重力大小相等， 磁场的磁感应强度为 B。（1）在环顶端处无初速度释放小球，小球运动过程中所受的最大磁场力；（2）若要小球能在竖直圆环上做完整的圆周运动，在顶端释放时的初

17、速度必须满足什么条件？【答案】（ 1） f mBq 2Rg(12 ) ；（2） v02( 2 1)Rg3如图所示，一平行板电容器的两极板 MN 通过变阻器 R 与电源 E 相连，在距 N 极较远处，有一磁感应强度B 为 0.1T 的匀强磁场，方向垂直纸面向外，磁场边界 P 与 N 平行，不考虑重力场。（1）当极板间的电压为 4.5V时，一质量为 1.0× 1012 8kg、电量为 1.0×10 C 的点电荷 q，从 M 板由静止开始加速，并从 N 板上的小孔 C 射出，经金属屏蔽管 G 进入磁场。若要 q 经磁场后从 N 板上的小孔 D 射回电容器内，则 C、D 间的距离应

18、是多少？当 q 回到 M 板时的速度是多少？（2）若磁场区域内放置另一带负电的点电荷 Q，调节极板间的电压，再使 q 从 M 板出发经 C 孔和 G 管进入磁场后，在磁场区域内仍沿（ 1）小题中运动轨迹运动，则：点电荷 Q 应放在哪里？变阻器 R 的滑键应向哪边移动？为什么？【答案】（ 1）0.6m，0；（2）G 管右端下方 0.3m 处，右移（提供的向心力变大，必须使速度变大）4如图所示， PQ 为一块长为 L ，水平放置的绝缘平板，整个空间存在着水平向左的匀强电场， 板的右半部分还存在着垂直纸面向里的有界匀强磁场， 一质量为 m，带电量为 q 的物体，从板的左端 P 由静止开始做匀加速运动

19、，进入磁场后恰能做匀速运动，碰到右端带控制开关 K 的挡板后被弹回，且电场立即被撤销，物体在磁场中仍做匀速运动， 离开磁场后又做运减速运动， 最后停在 C 点，已知 PCL/4 ，物体与板之间的动摩擦因数为，求：（1）物体带何种电荷？（2）物体与板碰撞前后的速度v1 和 v2 分别是多大？（3）电场强度 E 和磁感应强度 B 多大？【答案】（ 1）负电；（ 2） v12gL ， v2 12 gL ；（ 3） E3 mg ，2qm 2 gLBqL5如图所示，在地面附近，坐标系xOy 在竖直平面内，空间有沿水平方向垂直纸面向里的匀强磁场， 磁感应强度大小为 B，在 x<0 的空间内还有沿 x

20、 轴负方向的匀强电场，场强大小为 E，一个带正电的油滴经图中 x 轴上的 M 点，沿着与水平方向成 30°角的斜向下直线运动， 进入 x>0 的区域，要使油滴进入 x>0 的区域后能在竖直平面内做匀速圆周运动，需在 x>0 区域加一个匀强电场。若带电油滴做圆周运动通过 x 轴上的 N 点，且 MO ON，求：（1）油滴运动的速率大小；（2）在 x>0 内所加电场的电场强度的大小及方向；（3）油滴从 x 轴上的 M 点开始到达 x 轴上的 N点所用的时间。【答案】（ 1）2E；（）E'3E，方向竖直v2B向上；（3） t ( 32 )3E3Bg6如图所示

21、，在位于竖直平面内的直角坐标系中，第2 象限区域内有一沿 y 方向的匀强电场，场强 E150N/C，还有一个与 x 轴相切于 Q 点的圆形有界匀强磁场，磁感应强度 B1500T，方向垂直于纸面向里。在 x 轴的下方区域内有垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度B2 2.5T，还有一个电场线位于坐标平面内的匀强电场，方向如图所示，今有一个质量 m1.0×105 kg，电量 q1 2.0×10 6C 的带电小球 1，从 y 轴上的 P点以初速度 v0 40m/s 斜射入第 2 象限，经过圆形有界磁场时偏转了 60°角，恰与 x 轴上静止于 Q 点的另一个质量仍为 m 的

22、带电小球2 相碰，小球 2 的带电量 q2 6×106C，两球相碰后粘合在一起，问：（1）在第 2 象限内圆形磁场区的最小半径多大？（2）欲使碰后小球沿直线运动， x 轴下方匀强电场的场强 E2 的大小应为多少？【答案】（ 1） 0.346m（2） 50N/C7如图所示，质量为 M 3.0kg 的小车静止在光滑的水平面上，小车的上表面 AD 部分是粗糙的水平面， DC 部分是光滑的 1/4 圆弧面，整个小车由绝缘材料做成，并处于足够大的磁感应强度 B1.0T 的垂直纸面向里的匀强磁场中， 今有一个可视为质点、质量 m 1.0kg 的金属块，带电量 q 2.0×103C，它以v0 8m/s 的速度冲上小