高数下册知识网络图

1、高等数学（一）教案期末总复习第八章总结向量代数定义定义与运算的几何表达在直角坐标系下的表小向量有大小、有方向.记作a或ABa =axi + ayj + azk = (ax，ay,az) * *ax= prjxa,ay = prjya,az = prjza模向量a的模记作aiJ 2 ,2 ,2a =展+ay迅和差b c =a +bc =a bc = a + b = ax±bx,ay±by,az±bz单位向量八 一aa # 0 ,则 ea = 一 aiieaJa乌色) x2 +ay2 +az2力向余弦设a与x, y, z轴的夹角分别为a, P, 则方向余弦分别为 co

2、sa, cos P, cos /cos£ =ap cosP=E，cosJjaz1al同忖ea =( cosa, cosP, cos?) cos2a+cos2P +cos，=1点乘（数量积）a b = a b cosH , 9为向量a与b的夹 角a b = axbx + avbv + azbz x xy yz z叉乘（向量积）c =a 父bc| =|a b sin6日为向量a与b的夹角 向量c与a , b都垂直a父b =ijkaxayazbxbybz定理与公式垂直a_Lb仁 a b = 0a _L bu axbx+ayby+ azbz = 0平行ab= axb = 0_ _axayaz

3、a / bu-bxbybz交角余弦一 .一 a b两向重夹角余弦cos日I a bax bx * ayby + azbz cos - - J J7ax2 +ay2+az2 4V+bZ + bz?投影向量a在非prjba = a零向量b上的投影1、 a bilcosa'b) = -|bpaxbx + ayby + azbz 孙"i'+bz?平向直线法向量 n = A, B,C点 M0(x0,y0,z0)方向向量 T = m, n, p点 Mo(Xo, y0,4)方程名称方程形式及特征方程名称方程形式及特征一般式Ax +By +Cz +D = 0一般式；A1X+B1y+C

4、1z + D1 = 0Ax + B2y +C2z + D2 = 0点法式A(x-%)+B(y-y0) +C(z-4) =0点向式X X0 _ y - y0 _ z - Zo mnp三点式x-xiy-yi z-zix2 Xi y2 yi z2 -zx3 Xi y3 一 yi Z3 一z二0参数式'x = x0 + m t y = y0 + nt z = z0 + pt截距式xyz .iab c两点式x - x 0N - Voz - z。xi 一 x0yi - y0zi 一 z0卸回垂直Ai4 +BiB2 +CiC2 =0线线垂直mim2 + n1n2 + p1P2 = 0A _ Bi _

5、CIA B2 C2线线平行min1p1m25p2囿囿平行线圆垂直ABC= = m n p线面平行Am + Bn + Cp = 0点面距离M0(x0, y0,z0)Ax +By +Cz+ D = 0向向距离Ax + By + Cz + D1 =0Ax+By + Cz+D2 = 0Ax0 +By0 +Cz0 +D,|Di-D2|(Ja2 +b2 +c2-Ja2+b2+c2Si =mi,n，Pi S2 =m2,n)2, P2ni = Ai, Bi,Ci n2 - A2, B2,C2s=m,n, p n =A,B,Ccos 二一 .2|AiA2 BE2 C1C2 |mim2nin2pi p2cos 二

6、sin ：=A2 B2 CAm，Bn，Cp空 间 曲 线 r：反=中。)， <y3，、z=®(t), (a 4t < B)切向量丁=（虫）3（3）切“线”方程：x-X0=y-y0=z-Z0 邛也)W)-(to)法平“面”方程：中'(t0)(x%)+甲，(t0)(y - y0)+“(t0)(z-V)=0；y =*(x) 2 =中(x)切向量t = (i, %) y (x)切“线”方程：X x0 = y yo = Z Zo1中'(xo) %xo)法平“面”方程：(x -xo) +卬'(xo) (y -yo) +甲'(xo)(z- zo) = 0

7、空 间 曲 面工：F(x, y,z) =0法向量4n =( Fx(x0,y0,z0),Fy(x0, yoz), Fz(x0, yoZ)切平“面”方程：Fx(xo,yo,zo)(x xo) + Fx(x°, yo,zo)(y yo) +Fx(xo, yo,zo)(z-zo) =0法”线”方程：x - xoy - yoz - zoFx(xo ,yo, zo)Fy(xo, yo,zo)Fz(xo,yo,z°)z = f (x, y)Jn =( - fx(x0,yO),- fy(x°, y°), 1 )或n = ( fx(x0,y0), fy(x0,y°

8、;), -1)切平“面”方程：fx(xo, yo)(x-xo) + fy(xo, yo)(y -yo) -(z-zo) = O法”线”方程：x -xo _ y- yo _ z-zo fx(x0,yo)fy(xo, yo)-1222222minipim2n2p2_ 2_ 22_ 2_ 2BiCi.AB2C2-3 -高等数学(一)教案期末总复习第十章总结重积分枳加、尖型计算万法典型例题二重积分I =、f(xyd仃 D平面薄片的质量质量=面密度M面积i：，(1)利用直角坐标系b4(x)X一型JJf(x,y)dxdy= Ldx%(x)f(x,y)dyd电(y)Y一型JJ f (x, y)dxdy =

9、dy 加y)f (x, y)dxDP141一例 1、例 3(2)利用极坐标系使用原则(1)积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示(含圆弧，直线段)；(2)被积函数用极坐标变量表示较简单(含(x +y)Q,久为实数)JR a, jo J* * o y久口 f (Pcose, Psin)Pd Pd8DP9(8=ladB卬(6 f (PcosB, Psin)PdP" Rj 尤 I- "0 <6 <2n0 <0 <JT2 <0 <2nP147 例 5(3)利用 当D二I =，1积分区域的对称性与被积函数的奇偶性关于y轴对称时，(关于x轴对称时，有

10、类似结论) r0f (x, y)对于x是T函数，即 f (-x, y)= -f (x,y)2 JJ f (x, y) dxdy f (x, y)对于 x是偶函数, Di即 f (-x, y) = f (x, y)、.Di是D的右半部分P141一例 2应用该性质更方便计算步骤及注意事项.画出积分区域2 .选择坐标系标准：域边界应尽量多为坐标轴，被积函数关于坐标变量易分离3 .确定积分次序 原则：积分区域分块少，累次积分好算为妙1.确定积分限方法：图示法 先积一条线，后扫积分域5.计算要简便注意：充分利用对称性，奇偶性一 投影法(1)利用直角坐标，竹，截面法投影小 f(x,y,z)dV =Qby2

11、(x)z2(x,y)a-S) f(x,y,z)dzP159一例 1P160 例 2二重积分I =用 f (x, y, z)dvQ空间立体物的x = r cosQ2 2)利用柱面坐标 y = r sin日1 lz = z相当于在投影法的基础上直角坐标转换成极坐标适用范围：积分区域表面用柱面坐标表示时方程简单；如旋转体被积函数 用柱面坐标表示时 变量易分离.如f (x2 + y2) f (x2 + z2) bPr2(B17 f (x, y, z)dV = dz f d0 f (PcosQ, Psin 8,z) Pd P3 电af(&P161一例 3质里质量=密度X面积(3)利用球面坐标&l

12、t;C适用范围：积分域 表面用球面坐标表/、被积函数用球面坐标表示A* B八依皿 nI = L 叫d9Q”(Psx = Pcos日=r sin 中 cos日y = Psin 日=r sin s sin 9 z = r cos 中lv =r2sin n drd 甲 d8R时方程简单；如，球体，锥体. .一一.222、寸变量易分离.如，f(x +y +z )而中 cos1, Psin 中 sin9, PcosP) P2sin 中 dPP165 10-(1)(4)利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性第十一章总结曲线积分与曲面积分积分类型计算方法典型例题第一类曲线积分I =( f(xy)ds曲形构件

13、的质量质量=线密度父弧长参数法(转化为定积分) Bt(1) L:y =%x)I = f(9(t),中为班'2。)+W2(t)dt(2)L：fx(t) (a<t<P)ly = Wt)I =b f(x,y(x)j1 + y'2(x)dx amr nx = r(e)cosH(3) r =r(a <0 <L) L:«八、y = r (9)sin eP1.I = jf (r()cos9,r(9)sin9)r2(日)+ r'2 (9)d9P189-例 1P190- 3(1)参数活(转化为定枳分)LX=*(t) (t单调地从口到p)=帽)P Pdx

14、+Qdy = P5(t)N (t)怦'(t) +QW (t)W W '(t)dt'L0(P196-例 1、例2、例3、例4(2)利用格林公式(转化为二重积分)条件：L封闭，分段光滑，有向(左手法则围成平面区域D)d)P, Q具有一阶连续偏导数平面第二类曲线积分结论：£|_cQ P .Pdx+Qdy= f(一一一)dxdylD ex cy满足条件直接应用P205-例 4 P214-5(1)(4 )应用：4有瑕点，挖洞I = L Pdx +Qdy个是封闭曲线，添加辅 助线(3)利用路径无关定理(特殊路径法)等价条件: 过=土：Pdx+Qdy=0excyPdx +Q

15、dy与路径无关，与起点、终点有关P211-伊| 5、 例6、例7变力沿曲线所做的功 Pdx + Qdy 具O!数 u(x, y) (特殊路径法，偏积分法，凑微分法)(4)两类曲线积分的联系I=( Pdx+Qdy= (Pcost +QcosP)ds(1)参，效法(转化为定积分)空间第二类曲线积分,LPdx +Qdy +Rdz= RP*(t)W(t),o(t)p'(t) +Q邛(t)严(t),c白甘'(t)+ R%t)W(t)声(t)»(t)dtIPdx+Qdy+Rdz变力沿曲线所做的功(2)利用斯托克斯公式(转化第二类曲面积分) 条件：L封闭，分段光滑，有向P, Q R

16、具有一阶连续偏导数结论:P240-例 1( Pdx +Qdy + Rdz= ff(ScRQcPgR上方Q印)dydz+()dzdx + ()dxdycytzzz.exexcy应用：滴足条件直接应用不是封闭曲线，添加辅 助线第一类曲面积分I =fjf(x, y,z)dv 曲面薄片的质量质量-向密度父面积投影法Z ： z 二=z(x, y)投影至|J xoy面P217-例 1、 例2一一J.2.2I = " f(x,y,z)dv= 口 f(x, y, z(x,淞1 +4 +zydxdyZDxy类似的还用投影到 yoz面和zox面的公式-5 -高等数学（一）教案期末总复习第二类曲面积分I

17、= fjPdydzQdzd汁 Rdx（y流体流向曲面一侧的流量(1)投影法® HPdydz = ±Hp(x(y,z),y,z)dydzXDyzZ ： z=z(x, y), ¥为工的法向量与x轴的夹角 前侧取 “ +”，cos¥0;后侧取“ "，cosY <0 ffQdzdx=± p(x, y(x, z),z)dzdxXDyzZ ： y = y(x, z) , P为Z的法向量与y轴的夹角 右侧取“+"，cosP >0;左侧取"_"，cosP <0 JQdxdy=±Q(x, y,

18、z(x, y)dxdyXDyzZ： x = x(y, z),支为£的法向量与x轴的夹角 上侧取"+",cos a >0;下侧取"一"，cosot < 0P226-例 2（2）高斯公式右手法则取定工的侧条件：工封闭，分片光滑，是所围空间闭区域建的外侧P, Q R具有一阶连续偏导数.cP cQ cR结论：到 Pdydz + Qdzdz+ Rdxdy = fff （一 +）三q ex cy cz川田满足条件直接应用应用：不是封闭曲面，添加辅 助面P231-例 1、 例2(3)两方曲面积分之间的联系TPdyd才 QdzdWRdxcy =1(Pcov +Qcos +Rcos)dSZZ转换投影法：dyd