2018年高考数学二轮复习专题17算法、复数、推理与证明讲学案理

1、专题 17 算法、复数、推理与证明1. 以客观题形式考查算法的基本逻辑结构，会与函数、数列、不等式、统计、概率等知识结合命题.2. 以客观题形式考查复数的运算、 复数的相等、 共轭复数和复数及其代数运算的几何意义， 与其他 知识较少结合，应注意和三角函数结合的练习.重点知识梳理一、算法框图与复数1. 算法框图(1) 程序框图是由一些图框和带箭头的流程线组成的，其中图框表示各种操作的类型，图框中的文字和符号表示操作的内容，带箭头的流程线表示操作的先后次序.图框有输入、输出框、处理框、判断框、起止框四种.(2) 三种基本的算法结构1依次进行多个处理的结构称为顺序结构.2先根据条件作出判断，再决定执

2、行哪一种操作的结构称为选择结构.3需要重复执行同一操作的结构称为循环结构.2. 复数(1) 复数的相关概念及分类1定义：形如a+bi(a、bR)的数叫复数，其中a为实部，b为虚部；i 是虚数单位，且满足 i2= 1.2分类：设复数z=a+bi(a、bR)a= 0z R?b= 0;z为虚数？0,z为纯虚数2 .b03共轭复数：复数a+bi 的共轭复数为abi.4复数的模：复数z=a+bi 的模 Iz| =, a2+b2.(2) 复数相等的充要条件a+bi =c+di ?a=c且b=d(a、b、c、d R).特别地，a+bi = 0?a= 0 且b= 0(a、b R).(3) 运算法则1加减法：(

3、a+bi) 土(c+di) = (ac) + (bd)i.2乘法：(a+bi)(c+di) = (acbd) + (ad+bc)i.ac+bd+bcadi272c+d(4)复数加减法的几何意义加法：若复数zi、Z2对应的向量OZ、OZ不共线，则复数zi+Z2是以OZ、OZ为邻边的平行四边形的 对角线所对应的复数.f ff减法：复数ZiZ2是连接向量OZ、OZ的终点，并指向OZ的终点的向量对应的复数.二、推理与证明1.合情推理(1) 归纳推理根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这样性质的推理，叫做归 纳推理，归纳是由特殊到一般的推理.归纳推理的思维过程：实验观察f概括

4、、推广f猜测一般性结论.(2) 类比推理根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性，推测其中一类事物具有与另一类事物类似(或相同)的性质的推理叫做类比推理，类比推理是由特殊到特殊的推理.类比推理的思维过程：观察、比较f联想、类推f猜测新的结论.2演绎推理根据一般性的真命题(或逻辑规则)导出特殊性命题为真的推理叫做演绎推理演绎推理是由一般性 命题到特殊性命题的推理.(1) 演绎推理的特点当前提为真时，结论必然为真.(2) 演绎推理的一般模式一一“三段论”1大前提- 已知的一般原理；2小前提一一所研究的特殊情况；3结论一一根据一般原理，对特殊情况做出的判断.3.直接证明从命题的条件或结论出发，根

5、据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性的证明称为直接 证明.综合法除法:(a+bi) +(c+di)=和分析法是直接证明中最基本的两种方法，也是解决数学问题时常用的思维方法.(1)综合法从已知条件和某些数学定义、公理、定理等出发，经过逐步的推理论证，最后达到待证的结论，这 种证明方法叫综合法也叫顺推证法或由因导果法.(2)分析法从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知的条件、定理、定义、公理等)为止这种证明方法叫分析法也叫逆推证法或执果索因法.4间接证明(1) 反证法的定义一般地，由证明p?q转向证明：？q?r?t,t与

6、假设矛盾，或与某个真命题矛盾.从而判断？q为假，推出q为真的方法，叫做反证法.(2) 反证法的特点先假设原命题不成立，再在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、公式或已被证明了的结论，或与公认的简单事实等矛盾.5.数学归纳法(理)一个与自然数相关的命题， 如果(1)当n取第一值no时命题成立；(2)在假设当n=k(k Nk,且kn。)时命题成立的前提下，推出当n=k+1 时题命题也成立，那么可以断定，这个命题对n取第一个值后面的所有正整数成立.高频考点突破考点一、程序框图例 1. 2017 山东，文 6】执行右侧的程序框图，当输入的x值为 4

7、时，输出的y的值为 2,则空白判断框中的条件可能为2A.x 3B.x 4C.x空4D.x空5【答案】B【解析】由题意得X= 4 时判断框中的条件应为不满足，所以选 B.【变式探究】【2016 高考新课标 1 卷】执行右面的程序框图,如果输入的x=0,y=1,ny的值满足（A）y =2x（B）y =3x（C）y = 4x（D）y =5X输入 x,y,nn-1n=n+1x=x+，y=ny结束【答案】C【解析】当x =0,y =1,n =1时,1-1 x=0,y=1 1-1，不满足x2 y2-36；X,二1,则输出C.乙、丁可以知道对方的成绩D.乙、丁可以知道自己的成绩I3 1J = 35% = -

8、+- = -. = 2x3=6,満足工+少丄 236 注俞出兀二厅蛊召Ey 4英,故选 c.【变式探究】(2015 四川，3)执行如图所示的程序框图，输出i=Jt+l【答案】D【解析】每次循环的结果依次为:k= 2,k= 3,k= 4,k= 54,5n14 S= sin =.选 D.6 2考点二复数的概念例 2 .【2017 课标 1,文 3】下列各式的运算结果为纯虚数的是Ai(1+i)2B.i2(1-i)C(1+i)2【答案】C【解析】由(1 i)2i为纯虚数知选C.4i【变式探究】【2016 高考新课标 3 文数】若1 2i，则一zz1(A)1(B) -1(C)i(D)【答案】Cfj =

9、2,JC=02-1 12=则输出的兀 y 的值满足S的值为(AC._J212B.D . i(1+i)二( )-iS=Kiin67A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】例 3.【2017 山东，文 2】已知 i 是虚数单位，若复数 z 满足zi =1 i,则z2=【解析】由zi =1 i得(zi)(1 i)2,即-z2= 2i,所以z2= -2i,故选 A.【2016 高考天津文数】已知a,bR ,i是虚数单位，若(1+i)(1bi) = a，则-的值为_ .b【答案】21 + b= aa=2a【解析】由(1 i)(bi) -1 b (1 -b)i =a，可得，所以，-=2，故

10、答案为 2.J - b = 0= 1 b【变式探究】(2015 北京，1)复数 i(2 i)=()A. 1 + 2iB. 1 2iC. - 1 + 2iD . - 1-2i【解析】i(2 i) = 2i i2= 1 + 2i.【答案】A考点四、类比推理例 4、【2017 课标 II，文 9】甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩，老师说，你们四人中有 2 位优秀，2 位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩，看4i【解析】d4izz -1(1 2i)(1 -2i) -1=i，故选C.【变式探究】(2015 安徽，1)设 i是虚数单位，则复数各在复平面内所对

11、应的点位于()【解2i (1 +i)l-i(1-i) (1 + i)21尹L二其对考点三复数的四则运算A.-2iB.2i【答案】AC.-2D.2C.乙、丁可以知道对方的成绩D.乙、丁可以知道自己的成绩后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则A.乙可以知道两人的成绩B.丁可能知道两人的成绩【答案】D【解析】四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，甲不知自己的成绩一乙丙必有一优一息宙为两优，甲会知道自己的成绩;若是两良;甲也会知道自己的成绩）-乙看到了丙的成绩，知自己的成绩T 丁看到甲、丁也为 T 尤一良，丁繩自己的成绩， 故选：D.1 1 1【变式探究】 在 RtABC中,CAL

12、 CB斜边AB上的高为hi,则斥=办+况； 类比此性质， 如图， 在 四面体PABC中，若PA PB PC两两垂直，底面ABC上的高为h,则得到的正确结论为 _.1111【答案】看+西+PC【解析】本题考查了合情推理的能力.连接CO并延长交AB于点D,连接PD由已知可得PCLPD在直角三角形PDC中,DC- h=PD- PC贝U . PD+PC-h=PD- PC1PD+PC11所以PDC=PC+PD.容易知道ABL平面PDC所以ABL PD在直角三角形APB中，AB- PD= PA- PB9所以PA+PB2PD= PA- PBiPA+PB11,1111左pDTPAPB=PA+PB，故h2=PA

13、+P?+PC.(也可以由等体积法得到)【变式探究】在平面直角坐标系中，设ABC的顶点分别为A(0 ,a)、B(b,0)、C(c,0)，点P(0 ,p)在线段AO上 (异于端点)，设a、b、c、p均为非零实数，直线BP CP分别交AC AB于点E F, 同学1111、 1 1 已正确算出OE的方程：钻一c)x+ (pa)y=0,贝uOF的方程为：(_)x+y=o.1 1【答案】-I cb【解题分析】观察E,F两点可以发现，E F两点的特征类似，E是BP与AC的交点，F是CP与AB的交点，故直线OE与OF的方程应具有类似的特征，而y的系数相同，故只有x的系数满足某种“对称 性”，据此可作猜测.【解

14、析】方法 1 ；类匕 1 去E 在 OE 的方程为 g% + g 一如=0尸在妙上，它们的区别在于母 C*互换-因而莎的方程应为 e-扣扣=山二括号换填：方法 2:画草團如右，由对称性可猜想埴事实上，由截距式可得直线為打討,直线必半+显然直线AB与CP的交点F满足此方程，又原点O也满足此方程，故为所求直线OF的方程.考点五、直接证明与间接证明例 5、若数列an：a1,a2,a“(n2)满足|a+1ak| = 1(k= 1,2，n 1)，则称an为E数列记S(an) =a1+a2+an.写出一个满足ai=a5= 0,且S(A)0 的E数列A；(2)若ai= 12,n= 2000，证明：E数列an

15、是递增数列的充要条件是an= 2011.【解题分析】解答这类新定义题型，一定要先弄清新定义的含义，由条件知E数列an任意两邻两项相差 1,故可据此任意构造E数列，同时，E数列递增？an+1-an= 1.【解析】罡满足条件的总数列M僭案不唯一丄丄也是一个满足条件的E数列心)(2或要性:因为 E 数列加是递増数列,所以gi-d=l(片121999).所決為是首项为12,公差为1的等差数列.所以( (12flOD= 12+ (2000- 1)x1 = 2DH充分性：由于剜灿-创财 O1如広1、02-応所以OMOD 应0 999，即OJDOOS +1999.又因为6=12,盘倔二2()11,所以coo

16、D=ai +1999.故加一型=10做=12，1999)即4是递増数列.综上，结论得证13 1 + an+1丿.1 + an【变式探究】已知数列&满足：a1=1, -=,anan+10(n1)；数列bn满足:21 an1 an+ 1bn=a2+1a；n(n1).(1) 求数列an、bn的通项公式；(2) 证明：数列bn中的任意三项不可能成等差数列.222【解析】(1)由题意可知，1 an+ 1= 3(1 an).22令Cn= 1 an,贝UCn+ 1= 6.又C1= 1 a1= 3，则数列Cn是首项为C1= 3，公比为|的等比数列，即Cn= 4 f，11故1-厨=老住卜-1与同=1一令

17、用打故$=(1厂吋1一黑卜】2皿=1弓釧-l-證刖(2)用反证法证明.1 假设数列bn中存在三项br、4、站3)按某种顺序成等差数列，由于数列bn是首项为二，2 为 3 的等比数列，于是有btbsbr，则只可能有 2bs=br+bt成立.3.2 -I -丄叫-1+1I -t -14 34 34 3.两边同乘以 3、12_,化简得+厂r=-辺旷s,由于rs1000 和n=n+1B.A1000 和n=n+2C Aw1000 和n=n+1D.A1000, 故埴/垄 1000,又姜求卑为偶数且初始值为 tb 所加册框內填*用+2故选 D.8.【2017 课标 3，文 8】执行下面的程序框图，为使输出S

18、的值小于 91,则输入的正整数N的最小值为（）A.x 3B.x 4C.A=3n-Tf/输出幹/15【答案】DA. 5B. 4C. 3/辅从/2【解析】若N=2,第一次进入循环，1 2成立，S =100,M = -100= -10, = 2 abc2cabc a ai ib bi icece第小问:8AA4=iBar= 6第二小问：=3.6 b b: 3亠心=5：乃=4=口+血+36；输出竝弓汁 6 贝懈出的砒的值满足 y=f故选 C.2.【2016 高考新课标 3 文数】执行下图的程序框图，如果输入的a =4, b=6，那么输出的n=（21L 心/ft a，= oa = t - o*=启 *

19、a=4:o =6:s =6:w=l;第二次循环=6ao = 4,J= 10、n = 2,第三次循环，得 = 2 = 4 = 6 = 16=3;第四次循环，得a = 6,7=4,J=20 I63/z = 4 退出彳 ft 环/ 输出讯=4 .* 古文选3.【2016 年高考四川文数】秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的数书九章中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为 3，2，则输出v的值为(A) 9 (B) 18 ( C) 20 ( D) 35【答案】B【解析】程序运行

20、如T/i = 3Jx = 2-v = l:a=20-v = lx2+2 = 4j = l0-v=4x2 + l=9j = 00-v = 9x2 + 0 =18! = -12 ,结束舌無俞出a值为 1,则输出的k值为（）19一1，否，心，2，否，“2，a =1，此时a =b =1，输出k，则k = 2，选 B.6.【2016 高考山东文数】执行右边的程序框图，若的$=17诜 C.5.【2016 年高考北京文数】执行如图所示的程序框图，若输入的【解析】输入a =1，则k=0，b=1；进入循环体,输入的a,b的值分别为 0 和 9，则输出的i的值为_.25/输入 G & /f1=1K1b=b

21、ij=j+lL丿否/输出/【答案】3【解析】第一次循环：“1 上=切第二次循环；“3 上=6,第三次循环：“6 上二知满足条件, 结束猶环，止忸寸，心 3 一7.【2016 高考天津文数】 阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为（）（A） 2（ B）4（ C） 6（ D） 8bF 苑于I$ = 4卫如【答案】B【解析】依次循环：S =8,n=2;S=2,n=3;S = 4,n =4结束循环，输出S=4，选 B.8.【2016 高考江苏卷】如图是一个算法的流程图，则输出的a的值是 .【答案】126【答案】9【解折】第一；欠循环：a=5.b=7 ,第二次循环：此时 ab 循环结束 =

22、9 ,故答案应 t 自：91.【2016 新课标理】设x(1+i)=1+yi,其中x,y实数，则x + yi=()(A)1(B) 2(C).3(D)2【答案】B【解析】因为x(1 i)=1+yi,所以x xi=1+yi,x=1,y = x =1，X yi | =|1 + i |=、.2故选 B.2.【2016 高考新课标3 文数】若(C)4iz -1 2i，贝U _i=(zz -1i(D)-i(A)1(B) -1【答案】 C【解析】4i4i=i，故选C.zz -1(1 2i)(1 -2i) -13. 【2016 高考新课标 2 文数】已知z =(m 3) ( -1)i在复平面内对应的点在第四象

23、限，贝U实数m的取值范围是()(A)(-3,1)(B)(-1,3)(C)(1,+:)(D)(：，-3)【答案】Am+30【解析】要使复数z对应的点在第四象限应满足：，解得-3：m：1，故选 A.m T v04.【2016 年高考北京文数】设a R，若复数(1 i)(a i)在复平面内对应的点位于实轴上，则27【解析】(1 i)(a i)二a -1 (a 1)i R二a = -1，故填：一 15.【2016 高考山东文数】若复数z满足 2z d=3_2i,其中 i 为虚数单位，则z=（）（A） 1+2i（ B）1 _2i（C） _12i（ D）_1_2i【答案】B【解析】设a bi，贝U 2z

24、z =3a bi =2i，故a =1,b = -2，贝U z=1 2i，选 B.6. 2016 高考天津文数】已知a,bw R,i是虚数单位，若（1 + i）（1bi） = a，则-的值为_.b【答案】21 + b = aa=2a【解析】由（1i）（1 -bi） =1 b（1-b）i二a，可得，所以，-=2，故答案为 2.1-b=0b=1 b7. 【2016 高考江苏卷】 复数 z=（1+2i）（3 _i）,其中 i 为虚数单位，则z的实部是【答案】5【解析】z =（1 - 2i）（3 -i5 5i，故z的实部是 51. （2015 重庆，7）执行如图所示的程序框图，输出的结果为（）【答案】B

25、【解析】第一次循环：S= 1 1 = 0,t= 1+ 1= 2;x= 0,y= 2,k= 1;第二次循环：S= 0 2 = 2,t= 0 + 2= 2,x= 2,y= 2,k= 2;第三次循环：S= 2 2 = 4,t= 2+ 2 = 0,x= 4,y= 0,k= 3.输出（4, 0）.A ( 2, 2)B. ( 4, 0)C. ( 4, 4)D. (0， 8)/输出(*)/2. （2015 福建，6）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为（）29ri=lS=0S=S+coa冒是/输出S /sA. 2 B. 1 C. 0D. 1【答案】C【解析】当=1,进入循环体运算时=Sf故

26、选G3.（2015 北京，3）执行如图所示的程序框图，若输出k的值为 8,则判断框内可填入的条件是（）351125As4B s三 6 C g 12Dsw24【答案】C1 1 1 11【解析】由程序框图，k的值依次为 0, 2, 4, 6, 8,因此s= 2 + 4+ 6=12（此时k=6）还必须计算11一次，因此可填s x = 3y 5?z = 8 =x = 5.,y = 8. z = 13 =工=&丁 = 1 戈左=21 =X=13J = 21?Z=34=x = 211 = 34iz = 5550l从而输出 =55；故选 B.【考点定位】程序框图的应用 .22.【2014 高考北京卷

27、文第4 题】当m = 7 ,n =3时，执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A7B. 42Ct ff / 二-7A. 34B. 55C. 78D. 89210D . 840z = x + /k二HKS- I【解析】当输入m=7、n=3,判断框内的条件为k - 5?所以进入循环的k的值依次为 7,6,5，因此执行S=Sk后，则由S=7 6 5=210.故选 C.【考点定位】程序框图23. 2014 高考福建卷第 5 题】阅读右图所示的程序框图，运行相应的程 序，输出的S得值等于（）A.18B.20C.21D.40Q0卫三11n=n-l【答案】B【解析】依题意可得当n=1,SM3,当n三2,

28、s9,当n=3, s20.故选 B.【考点定位】程序框图.24.【2014 高考湖北卷文第 13 题】设a是一个各位数字都不是 0 且没有重复数字的三位数.将组成a的 3 个数字按从小到大排成的三位数记为I a，按从大到小排成的三位数记为D a（例如a =815，则I a 1=158，D ai；=851）.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a，输出的结果b=.45【答案】495【解析】取fll=815,则=851-158 = 693*815,所以码=693：由勺=693,则场=963369 = 59斗工693,所臥y=594j由內二594,贝坊=95斗一459 = 495工5

29、94,所以&斗=495,由=495则妬=954=954一斗59 = 495 =灯“故输出b b= 495【考点定位】程序框图25.【2014 高考湖南卷第 6 题】执行如图 1 所示的程序框图，如果输入的 r-2,2,则输出的S属于（ ）A.-6,-2B.-5,-1C.-4,5D. -3,6c幵殆）/城片/ 7T（他柬）【答案】D【解析】当t 1-2,0时,运行程序如下,t1 1,9 1,S=t-3三2,61,当t 0,21 时，S =t-3一3,-11,则S.2,61U一3,-1 -丨-3,61,故选 D.【答案】5【解析】本题实质上就是求不等式2n20的最小整数解.2n20整数解为n_ 5,因此输出的n=5【考点定位】程序框图.27.【2014 江西高考文第 7 题】阅读如下程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为( )A.7B.9C.10D.11【答案】B【解析】3 题】右图是一个算法流程图，则输出的n的值是【考点定位】 程序框图471131第一次循环：i =1,S =lg ,第二次循环：i =3,S = lg lg =lg ,3355第三次循环：dGd彳7彳i =5,S =lglglg ,第