2017-2018版高中数学第一章计数原理3组合第2课时组合的应用学案北师大版选修2-

1、第2课时组合的应用学习目标】1.能应用组合知识解决有关组合的简单实际问题.2.能解决有限制条件的组合问题.H知识梳理- 知识点组合应用题的解法1 无限制条件的组合应用题的解法步骤为：一、判断；二、转化；三、求值；四、作答.2 有限制条件的组合应用题的解法常用解法有：直接法、间接法.可将条件视为特殊元素或特殊位置，一般地按从不同位置选取元素的顺序分步，或按从同一位置选取的元素个数的多少分类.题型探究类型一 有限制条件的组合问题例 1 去年 7 月 23 日，某铁路线发生特大交通事故，某医院从10 名医疗专家中抽调 6 名赴事故现场抢救伤员，其中这10 名医疗专家中有 4 名是外科专家.问：(1)

2、 抽调的 6 名专家中恰有 2 名是外科专家的抽调方法有多少种？(2) 至少有 2 名外科专家的抽调方法有多少种？(3) 至多有 2 名外科专家的抽调方法有多少种？反思与感悟(1)解决有约束条件的组合问题与解决有约束条件的排列问题的方法一样，都 是遵循“谁特殊谁优先”的原则，在此前提下，采用分类或分步法或用间接法.(2) 要正确理解题中的关键词，如“至少” “至多”“含”“不含”等的确切含义，正确分 类，合理分步.(3) 要谨防重复或遗漏，当直接法中分类较复杂时，可考虑用间接法处理，即“正难则反” 的策略.跟踪训练 1 男运动员 6 名，女运动员 4 名，其中男女队长各 1 名，选派 5 人外

3、出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？(1) 男运动员 3 名，女运动员 2 名;2(2) 至少有 1 名女运动员；(3) 既要有队长，又要有女运动员.类型二与几何有关的组合应用题例 2 如图，在以AB为直径的半圆周上，有异于A B的六个点C,C2,，C6,线段AB上 有异于A,B的四个点D,D, D3,D4.A a血 S(1) 以这 10 个点中的 3 个点为顶点可作多少个三角形？其中含G点的有多少个?(2) 以图中的 12 个点(包括A, B)中的 4 个点为顶点，可作出多少个四边形？反思与感悟(1)图形多少的问题通常是组合问题，要注意共点、共线、 共面、异面等情形,防止多算常用直接法，

4、也可采用间接法.在处理几何问题中的组合问题时，应将几何问题抽象成组合问题来解决.跟踪训练 2 空间中有 10 个点，其中有 5 个点在同一个平面内，其余点无三点共线，四点 共面，则以这些点为顶点，共可构成四面体的个数为()A. 205 B . 110 C . 204 D . 200类型三分组、分配问题3命题角度 1 不同元素分组、分配问题例 3 有 6 本不同的书，按下列分配方式分配，则共有多少种不同的分配方式?(1) 分成三组，每组分别有 1 本，2 本，3 本；(2) 分给甲、乙、丙三人，其中一个人1 本，一个人 2 本，一个人 3 本；(3) 分成三组，每组都是 2 本；(4) 分给甲、

5、乙、丙三人，每人 2 本.反思与感悟 分组、分配问题的求解策略常见形式处理方法非均匀不编号分组n个不冋兀素分成m组，每组兀素数目均不相冋，且不考虑各组间的顺序，不管是否分尽，分法种数为：A= CmnCmnnvCmn (m+m) .C mn (m+ m+m1)均匀不编号分组将n个不冋兀素分成不编号的m组，假定其中r组兀素个数相等，不A管是否分尽，其分法种数为 A7(其中A为非均匀不编号分组中的分法k数)如果再有k组均匀组应再除以 Ak非均匀编号分组n个不冋兀素分成m组，各组兀素数目均不相等，且考虑各组间的顺 序，其分法种数为A-Am均匀编号分组n个不冋兀素分成m组，其中r组兀素个数相冋且考虑各组

6、间的顺序，A其分法种数为AA A跟踪训练 3 某宾馆安排A、B C D E五人入住 3 个房间，每个房间至少住 1 人，且A,B不能住同一房间，则不同的安排方法的种数为()A. 24 B . 48 C . 96 D . 114命题角度 2 相同元素分配问题例 4 将 6 个相同的小球放入 4 个编号为 1,2,3,4 的盒子, 求下列方法的种数.4(1) 每个盒子都不空；(2) 恰有一个空盒子；(3) 恰有两个空盒子.反思与感悟相同元素分配问题的处理策略(1)隔板法：如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置，便可看作排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板，相邻两块隔板形成一个“盒”.每一种插入隔板的

7、方法对应着小球放入盒子的一种方法，此法称之为隔板法隔板法专门解决相同元素的分配问题.将n个相同的元素分给m个不同的对象(nn),有 C1种方法.可描述为n 1 个空中插 入n 1块板.跟踪训练 4 有 10 个运动员名额，分给班号分别为1,2,3 的 3 个班.(1) 每班至少有 1 个名额，有多少种分配方案？(2) 每班至少有 2 个名额，有多少种分配方案？(3) 每班的名额不能少于其班号数，有多少种分配方案？(4) 可以允许某些班级没有名额，有多少种分配方案？当堂训练1 从 5 名男医生，4 名女医生中选 3 名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都 有，则不同的组队方案共有（）A.

8、 70 种B. 80 种C. 100 种D. 140 种52某食堂每天中午准备 4 种不同的荤菜，7 种不同的蔬菜，用餐者可以按下述方法之一搭 配午餐：（1）任选两种荤菜、两种蔬菜和白米饭；（2）任选一种荤菜、两种蔬菜和蛋炒饭则 每天不同午餐的搭配方法共有（ ）A. 210 种B. 420 种C. 56 种D. 22 种3甲、乙、丙三位同学选修课程，从4 门课程中，甲选修 2 门，乙、丙各选修 3 门，则不同的选修方案共有（）A. 36 种B. 48 种C. 96 种D. 192 种4.直角坐标平面xOy上，平行直线x=n（n= 0,1,2，5）与平行直线y=n（n= 0,1,2 ,，5）组成

9、的图形中，矩形共有（）A. 25 个B. 36 个C. 100 个D. 225 个5要从 12 人中选出 5 人参加一次活动，其中A,B, C三人至多两人入选，则有 _种不同选法.规律与方法 -11 无限制条件的组合应用题的解题步骤（1）判断.（2）转化.（3）求值.（4）作答.2有限制条件的组合应用题的分类（1）“含”与“不含”问题：这类问题的解题思路是将限制条件视为特殊元素和特殊位置， 一般来讲，特殊要先满足，其余则“一视同仁”.若正面入手不易，则从反面入手，寻找问 题的突破口，即采用排除法.解题时要注意分清“有且仅有”“至多” “至少”“全 是”“都不是”“不都是”等词语的确切含义，准确

10、把握分类标准.几何中的计算问题：在处理几何问题中的组合应用问题时，应先明确几何中的点、线、 面及构型，明确平面图形和立体图形中的点、线、面之间的关系，将几何问题抽象成组合问题来解决.（3）分组、分配问题：分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同，是不可区分的，而后者即使两组元素个数相同，但因元素不同，仍然是可区分的.答案精析题型探究例 1 解（1）分两步：首先从 4 名外科专家中任选 2 名，有 C4种选法，再从除外科专家的 6 人中选取 4人，有C种选法，所以共有 C4C4= 90（种）抽调方法.（2）“至少”的含义是不低于，有两种解答方法，6方法一 （直接法 ）：按选取

11、的外科专家的人数分类：1选 2 名外科专家，共有 C4C4种选法；2选 3 名外科专家，共有 C4C3种选法；3选 4 名外科专家，共有 C4C2种选法.根据分类加法计数原理，共有C4C4+ C4C3+C4C6=185（种）抽调方法.方法二（间接法）：不考虑是否有外科专家，共有C：0种选法，若选取 1 名外科专家参加，有 dC 种选法；没有外科专家参加，有C6 种选法，所以共有戊dC6C6=185（种）抽调方法.（3）“至多 2 名”包括“没有”、“有 1 名”和“有 2 名”三种情况，分类解答.1没有外科专家参加，有 C6种选法；2有 1 名外科专家参加，有 de!种选法；3有 2 名外科专

12、家参加，有GC4种选法.所以共有C6+C4C6+C4C4=115（种）抽调方法.跟踪训练 1 解（1）第一步：选 3 名男运动员，有 C3种选法；第二步：选 2 名女运动员，有C4种选法，故共有 C120（种）选法.（2）方法一 （直接法 ）：“至少有 1 名女运动员”包括以下几种情况， 1 女 4 男， 2 女 3 男，3 女 2 男， 4 女 1 男.由分类加法计数原理知共有d C+ &C+C4C+C4246（种）选法.方法二（间接法）：不考虑条件，从 10 人中任选 5 人，有 Co种选法，其中全是男运动员的 选法有 C5种，故“至少有 1 名女运动员”的选法有 d。 Ce= 246（种

13、）.（3）当有女队长时，其他人选法任意，共有 C4种选法；不选女队长时，必选男队长，共有 C8种选法，其中不含女运动员的选法有C5种，故不选女队长时共有 C8C 种选法.所以既有队长又有女运动员的选法共有 C4+ C4 C4= 191（种）.例 2 解 方法一 可作出三角形 C3+C6C+C6C=116（个）.方法二 可作三角形 G。 04= 116（个）,其中以C为顶点的三角形有 6+ C c4+ 6= 36（个）.7可作出四边形 G+ G C+C6C=360（个）.跟踪训练 2 A例 3 解（1）分三步：先选一本有 c6种选法，再从余下的 5 本中选两本有C5种选法，最后 余下的三本全选有

14、 C 种选法.由分步乘法计数原理知，分配方式共有C6C=60（种）.由于甲、乙、丙是不同的三个人，在（1）问的基础上，还应考虑再分配问题.因此，分配 方式共有C6 C 5 C 3 A 3= 360（种）.（3）先分三组，有C6C4C种分法，但是这里面出现了重复，F,若第一组取了A,B,第二组取了C, D,第三组取了但 cldc；种分法中还有（ABEF, CD, （CD AB EF）,AB CD,共 A3种情况，而这A3种情况只能作为一种分法,C2C2（4）在（3）的基础上再分配即可，共有分配方式一 跟踪训练 3 D例 4 解（1）先把 6 个相同的小球排成一行，在首尾两球外侧放置一块隔板，然后

15、在小球 之间 5 个空隙中任选 3 个空隙各插一块隔板，有 C= 10（种）.（2）恰有一个空盒子，插板分两步进行.先在首尾两球外侧放置一块隔板，并在5 个空隙中任选 2 个空隙各插一块隔板，如|0|000|00| ,有 Cl种插法，然后将剩下的一块隔板与前面任意一块并放形成空盒，如|0|000|00|,有 d 种插法，故共有 ChC=40（种）.（3）恰有两个空盒子，插板分两步进行.先在首尾两球外侧放置一块隔板， 并在5个空隙中任选1个空隙各插一块隔板， 有C种插法, 如|00|0000| ，然后将剩下的两块隔板插入形成空盒.1这两块板与前面三块板形成不相邻的两个盒子，2如|00|0000|

16、 ，有 C3种插法.2将两块板与前面三块板之一并放，如|00|0000| ，有 C 种插法.故共有CL（C2+C3）= 30（种）.跟踪训练 4 解（1）因为 10 个名额没有差别，把它们排成一排，相邻名额之间形成9 个空隙，在 9 个空隙中选 2 个位置插入隔板， 可把名额分成 3 份，对应地分给 3 个班级，每一种 插板方法对应一种分法，共有C = 36（种）分法.下图是其中一种分法，表示 1 班、2 班、3班的名额分别是 2 个、5 个、3 个.ooooeeI班罷班因为要求每班至少 2 个名额，和第（1）小问中的要求不一样，可以先从 10 个名额中拿出 3 个，分别给各班 1 个名额，还

17、剩下 7 个名额，此时题目转化为 7 个名额分给 3 个班级，每 个班级至少 1 个名额，A, B, C,D, E,不妨记六本书为E,F,则该种方法记为（AB CD EF）,(CD EF AE),(EF, CD AE),(EF,故分配方式有八8按照第（1）小问的方法，可得有 d= 15（种）分法.下图是其中的一种分法，表示 1 班、2 班、3 班的名额分别是 3+ 1= 4（个），2 + 1 = 3（个），2+ 1 = 3（个）.ooooeI班z班書班（3）2 班、3 班分别先给 1 个和 2 个名额，此时问题转化为 7 个名额分给 3 个班级，每个班级 至少 1 个名额，按照解第（1）小问的方法，可得有 C= 15（种）分法下图是其