专题七代数证明

1、专题七代数证明、考纲要求:知识要求：函数、方程、数列、不等式等与代数证明有关的多个知识点。能力要求：会对问题或资料进行观察、比较、分析、综合、抽象与概括；会用类比、归 纳和演绎进行推理；能合乎逻辑地、准确地进行表述。二、考点解读：代数推理问题综合了函数、方程、数列、不等式等多个知识点，需要采用多种数学思想 方法才能解决问题，如函数方程思想、化归思想、分类讨论思想、逻辑推理思想等，是对思 维品质及论述水平的全面性考查；能弥补选择题、填空题、简答题的不足，是提高区分度， 增加选拔功能的重要题型。在适当降低了对立体几何逻辑推理能力考查的力度后，代数推理 问题自然而然地承担了考查考生逻辑推理能力的重任

2、，并且作为压轴题出现在高考试卷中， 因而代数推理问题也就成为现在的高考热点问题。解答代数推理问题有一定的规律可循，其一般思维过程分为三步：首先要领会题意一一弄清题目的条件是什么？结论是什么？如果条件和结论是用文字 表达的，把它翻译成数学语言；其次要明确方向一一在审题的基础上，运用数学思想方法，目的明确地对外来的和内在的信息进行提取、转化、加工和传输，从而明确解题的目标和方向；最后要规范表达一一采用适当的步骤，合乎逻辑地进行推理和运算，并正确的表述。除 此之外，还要注重心理训练，尤其在解题的目标与条件之间跨度较大、较隐蔽时，必须多次 尝试、探索，才能找到并实现解题目标。三、考题预测：预测题 1

3、定义在 R 上的函数f(x)满足f(-x) =-f (x，4)，且f(x)在2,=上为增函数。已知x1x2: 4且(x1-2)(X2- 2)：0,则f(x1) f(x2)的值()A.恒小于 0 B.恒大于 0 C.可能等于 0D. 可正也可负参考答案：不妨设捲- 2：0, x2- 2 0则x1: 2, x22, 2：x2：4 -捲，f (x2) f (4一Xr)，即一f (x2)乜f f (4一Xj)从而一f (x2)抵f f (4一xj = f (x1)f(Xi) f(X2)：0命题意图与思路点拨：本题考查函数的单调性和对称性等有关知识，考查了等价转化思 想和推理论证能力。本题的关键是将和式

4、的符号判断转化为大小比较，再利用单调性达到目 的。预测题 2 定义在 R 上的函数f(x)，对任意实数x，都有f (x 3) 0)的两个极值点，且|XI|+|X2|=2(1)证明:0aw1(2)证明:(3)若函数 h(x)=f (x)-2a(x-xi),证明当 xix2 且 xi0 时,|h(x)|5、已知(2)设直线PQ的斜率为k，求证:k 2；6、集合 A 是由适合以下性质的函数f (x )构成的；对于任意的u,： (-1,1),且u,都有| f(u)-f()3u- |.(1)分别判断函数fi(x) = “ x2及f2(x) =log2(x 1)是否在集合 A 中？并说明理由;(2) 设函

5、数f(x) = ax2bx,且f(x)A，试求2a+b的取值范围；(3)在(2)的条件下，若f(2) =6，且对于满足(2)的每个实数 a,存在最小的实数使得当m,2时,f(x)匡6恒成立，试求用 a 表示 m 的表达式.专题七 代数证明训练反馈参考答案1 解：据题意可设f(X)- X = (x - xj(x - X2)，贝y f (t) =(t - X)(t - X2) tf(t)X1= (t -Xi)(t -x2)t -X1= (t-为)住-x21)因为X2-X11,0 : t : X1所以t -X1: 0,t 1一x2：为1一x2：0,从而有(t -xj(t - x21)0. f (t)

6、 -0，即f(t) x1。2、证明：因为h（x）是二次函数，且定义域为 R,所以如果满足条件的点存在,必异号，于是，把形的问题转化成数的问题。22由已知f (m)二am bm c，g(n) - -an bn c,则23 a22a2=(am bm c m ) (_anbn c n )2 22a n : 02a 2a 2一一m +bm + c ii -n+ bn +c 1 2八 2)h(m)h( n)=则h(m)与h(n)3am23、解：（1）不妨设a _b _c，那么由题意知b e a,a b c=1得a a - a (b c)-1 所以 a：1，从而推知211、b，c。故命题成立。22(2)f

7、、nb +c=bn+cnbn+c2bn，b cni + +Cn!Cn2ncn=bn11II? 2因为n _ 2,则1112丿1 1,所以bn+cncj、2丿(3)不妨设a He，则由（2）可知器bn+cncb十卫，同理得乐an+cn2又由（1）知a：,b：,则a b是1 Janbnnbncn-ncnan22nn：224、解：(1) f (x)=ax2+bx-a2xi,X2是方程 f (x)=0 的两个实数根因为|u|：.i u2,| |：-i2,|u|u | | |.|xi|+|x2|=| xi-x2|=.b：4aV ab2=4a2-4a30- 0a i(2)由(i)知 b2w4a2-4a3(

8、 0a i )的最大值 二！627(3)f (x)=a(x-xi)(x-x2)h(x)= a(x-xi)(x-x2-2)335、解析：(i)由题意易知a = -i，所以f (x)二x -x b，而由于函数f (x)二xx为奇函数，其图象关于原点成中心对称，所以经过平移可知0,b成中心对称图形;(2)由题意可知k =yi_y2=Xi2XiX2X；-i由于xilx Li,i1,故可得Xi- X2-i - X2xix2x|2，则有k 2；(3)由题意并结合第(2)小题可知* -y2|:2为-x2=-2(捲一x2)又yi y?|兰2 f(xj f (0) +| f (i) f(X2) c2Xi 0 +

9、 2X2 i = 2(Xi X2)+ 2由+得yiy2| i6、解:(I)fi(x) A; f2(x) A证明：任取u,： (-i,i)，且u，则bxi+X2=-一 xiX2= -a0a=2|h(x)|wa(X_Xr+ X_X2_2)2=2ag - Xi2)=4a43f(X)=X -x b的图象关于点| fi(u) - fi()円i u2-：i2|u2二2|_| li u2J2|4、解：(1) f (x)=ax2+bx-a2xi,X2是方程 f (x)=0 的两个实数根因为|u|：.i u2,| |：-i2,|u|u | | |.|u | |u - |、i u2、i2|所以|u+uZ|U7|1

10、所以，2彳2Q，| J u、1|所以，I fju) -仏：)|：|u -：|：3|u -：I，也即：fx) A;对于f2(x) =log2(x 1)，只需取u = -12- -12J,则| u -|：1,而| fu) - f,：) |=4 .3|u：|，所以，f2(x)，A.(II)因为f(x) = ax2bx属于集合 A，所以，任取u,： (-1,1),且u，则3 | u -| | f (u) - f ( ) |=| (u - )(au a b) |也即：| au a：亠b匡3.设t = u亠，则上式化为：|at b |_ 3.因为u,：三(-1,1),所以-2：t : 2.式对任意的u,：(-1,1),恒成立，即式对t (-2,2)恒成立，可以证明|2a | |b 3.所以，|2a b3，即2a b 3,3.(III )由f(2)= 6可知：2a3.3又由(Il)可知：一3一2a -b-3，所以，0_a，.2i)当a= 0时，f(x) =3x为单调递增函数，令f (x)二-6得x = -2所以m = -2.ii)当a 0时，f (x)二ax2(3 - 2a)x = a(x一一)2-(一2a)-2a此时，_乞2 = _2 0，且当x R时，f (x)的最小值为2a2a(3 2a)2g 6 J23若-J -6，即- 岂a空一时，m为