2017-2018学年高中数学考点11导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例(含2013年

1、C.既有极大值又有极小值D.既无极大值也无极小值【解题指南】 结合题目条件，观察式子的特点，构造函数，利用导数研究极值问题。x x 2(5【解析】选 D.由题意知ffx)二爲-逬凶=e - 2：f (x),x xx令g(x) = ex- 2x2f (x),则g(x)=ex- 2(x2ffx) + 2xf (x)丝二ex(1-).xx由g (x) = 0得x = 2,当x= 2时,222eg(x)min= e - 2创2 = 0即g(x)3 0,则当x 0时，f致)=g(x)? 0,x故f (x)在(0,+ g)上单调递增，既无极大值也无极小值.曜2.(2013 新课标I高考文科-2-X2+2x

2、,xJn(x +1),x a 012)与(2013 新课标I高考理科 11)相同，若| f (x) |_ ax，则a的取值范围是()A.(-：,0B.(：,1C.-2,1D.-2,0【解题指南】先结合函数画出函数 y=|f(x)|的图象，利用| f (x) |在(0,0)处的切线为制定参数的标准.【解析】 选 D.画出函数 y=|f(x)|的图象如图所示，当x乞0时,2g(x) 1 f(x)| = x -2x,考点 11 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例、选择题x22ee1. (2013 辽宁高考理科 12)设函数f(x)满足x f (x) 2xf(x) , f (2).x8则 x

3、0 时,f(x)()A 有极大值，无极小值B.有极小值，无极大值ex- 2x2f (x) - 4xf (x)2g(x) =2x2,g(0)= 2，故a_ -2.1当x 0时，g(x) =| f(x)|=ln(x 1),g (x)=x +1由于g(x)上任意点的切线斜率都要大于a，所以a乞0，综上- 2冬a乞0.33.(2013 新课标全国n高考文科 11)与(2013 新课标全国H高考理科 T10)相同32设已知函数f(x) =x ax bx c，下列结论中错误的是()A.zx R,f (x0) =0B. 函数y = f (x)的图象是中心对称图形C. 若X。是f (x)的极小值点，贝U f

4、(x)在区间(-：,x)单调递减D. 若X0是f (x)的极值点，则f(X0)=0【解析】选 C.结合函数与导数的基础知识进行逐个推导、.A 项，因为函数 f(x)的值域为 R,所以一定存在 X。 R,使 f(x)=0,A 正确.B 项，假设函数 f(x)=x3+ax2+bx+c 的对称中心为(m,n),按向量a=(-m,_n)将函数的图象平移，则所得函数232y=f(x+m)-n 是奇函数，所以 f(x+m)+f(-x+m)-2n=0, 化简得(3m+a)x +m+am+bm+c-n=0.上式对x R 恒成立，故 3m+a=0,得 m=-里,n=m3+amf+bm+c=f-卫 I,所以函数

5、f(x)=x3+ax2+bx+c 的对33yyX 称中心为-a,f -a,故 y=f(x)的图象是中心对称图形,B 正确.C 项，由于I3於3丿丿2 u N卄f *(x)=3x +2ax+b 是二次函数，f(x)有极小值点 x,必定有一个极大值点X1,若 X1x,则 f(x)在区间(-8,x0)上不单调递减,C 错误.D 项,若 X0是极值点，则一定有f (x0) = 0.故选 C.4. (2013 安徽高考文科 10)已知函数f (x)=x3+ax2+bx+c有两个极值点x,x2，若2f(X1)=X1X2，则关于x的方程3(f(x) +2af (x)+b=0的不同实根个数是()A.3 B.4

6、 C. 5 D.6【解题指南】 先求函数的导函数，由极值点的定义及题意，得出 f(x)=x1或 f(x)=x2,再利用数 形结合确定这两个方程实数根的个数.【解析】选 A。因为f (x)= 3x + 2a XF,函数的两个极值点为N，x2,所以f (X1)=0, f (X2)=0,所以X1,X2是方程3x +2ax + b = 0的两根，所以解方程43(f(x) +2af(x)+b = 0得f(x)=Xi或f(x)=X2,由上述可知函数 f(x)在(-m,xi),(x2,+ g)上单调递增，在(xI,x2)上单调递减.又 f(x1)=X1X2,如图,1yy=fMX了f/ A JI A J/T,

7、7/ fM=x0/ V/数形结合可知 f(x)=x1有两个不同实根，f(x)=x2有一个实根，所以不同实根的个数为3.5.( 2013 安徽高考理科T10)若函数f (x)=x3+ax2+bx+c有极值点x1,x2，且f (xi)=xi, 则关于x的方程3(f(x)2+2af(x)+b=0的不同实根个数是()A.3 B.4 C. 5 D.6【解题指南】 先求函数的导函数，由极值点的定义及题意，得出 f(x)=x1或 f(x)=x2,再利用数 形结合确定这两个方程实数根的个数 【解析】选 A。因为f (X )= 3x + 2a xb b函数的两个极值点为xnx2,所以f (xj =0, f(X2

8、)=0,所以X1,X2是方程3x2+ 2a x+ b= 0的两根，所以解方程3( f (x) +2af (x) +b = 0得f (x x-j或 f(x)=x2，不妨设x1 x2.由题意知函数 f(x)在(-m,X J,(X2,+m)上单调递增，在(X1,X2)上单调递减又 f(X J=X10, f(X2) -2B.1f(X1)：0, f(X2)：X1, X2(X1：X2)，则()61因为x (0,),g (x)0,函数 g(x)单调递增；2a1x (，:：)时，g (x) : 0,函数 g(x)单调递减.2a所以 x=丄是函数 g(x)的极大值点，则 g i :2a即 ln +1-1=-ln

9、(2a)0,2af(x2)=1 nx2+1-2ax2=0.则 f(xi)=xi(lnxi-axi)=xi(2axi-1-ax1)1c.f(xi)WD.1f(xj：0, f(X2) 1【解析】选 D.f(x)=lnx-ax x(-alnx2ax(x0)，令f(x),，由题意 可得ln x =2ax1有两个实数解 xi,x2?函数 g(x)=lnx+1-2ax有且只有两个零点? g(x)在(0,+a)上的唯一的极值不等于 0, g(x)=1-2a=x1 -2ax当 aw0 时，g(x)0,f (x)单调递增,因此 g(x)=f (x)至多有一个零点,不符合题意,应舍去.当a0 时,令g(x)=0,

10、解得 x=丄,2a所以 ln( 2a)0,所以因为所以c10 xi 2af(xi)=lnxi+1-2axi=0,=xi(axi-i)0,02ai,即 0aia丄-1.2a7.(20i3 天津高考文科8) 设函数x2f(x)二 e x-2,g(x) =1 nx x -3.若实数a,bA. g(a)：0 ：f(b)B.f (b) :0 ：g(a)8C. o：g(a)：f(b) D.f(b) :：: g(a)：:0【解题指南】先由 f( a 占 0g=b(确定 a,b 的大小，再结合x2f(x) =eX2 ,g (x ) xlxn3 的单调性进行判断.【解析】选 A.因为 f (x) =ex1 0,

11、所以 f(x) =exx_2 在其定义域内是单调递增的，由12f (a)=0知0 :a：1,又因为x 0，g (x) 2x . 0，故 g(x) =ln x x-3在(0,：)上也是x单调递增的，由 g(b)=0 知1:：:b .2，所以 g(a)：g(b) =0 , 0 = f (a)：f (b)，因此 g(a)： ： ：0：f (b)。8.(2013 浙江高考理科 T8)已知 e 为自然对数的底数，设函数 f(x)=(ex-1)(x-1)k(k=1,2),【解题指南】当 k=1,2 时,分别验证 f(1)=0 是否成立，根据函数的单调性判断是极大值点还 是极小值点【解析】选 C.当 k=1

12、 时,f (x)=ex(x-1)+ex-1,此时 f(1)丰0,故排除 A,B;当 k=2 时,f(x)=ex(x-1)2+(ex-1)(2x-2), 此时 f(1)=0, 在 x=1 附近左侧，f(x)0, 所以 x=1 是 f(x)的极小值点.9.(2013 浙江高考文科 T8)已知函数 y=f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数A.当勺k=1时,f(x)B.当勺k=1时,f(x)C.当勺k=2时,f(x)D.当勺k=2时,f(x)在 x=1 处取到极小值在 x=1 处取到极大值在 x=1 处取到极小值在 x=1 处取到极大值则(9y=f(x)的图象如图所示，则该函数的图象是()【解

13、题指南】根据导数的性质来判断函数的性质【解【解析】 选B.因为f(x)0(x (-1,1),所以f(x)在(-1,1)为增函数,又x (-1,0)时,f(x) 为增函数,x (0,1)时,f(x)为减函数，所以选 B.10.(2013 大纲版全国卷高考文科 10)已知曲线y =x4 ax21在点-1,a 2处切线的斜率为8, a=()A.9B.6C.-9D.-6【解题指南】 先对函数求导，将 x=-1 代入到导函数中即可求出a的值.【解析】选 D.由题意可知，点(_1,a 2)在曲线上，因为y4x3 2ax，则-4(-1)32a (-1) =8，解得a=-6二、填空题211.(2013 广东高

14、考文科 12)若曲线 y=ax-lnx 在点(1,a)处的切线平行于 x 轴，则a=【解题指南】 本题考查导数的几何意义、直线的斜率、直线平行等知识，可先求导.21 【解析】对 y=ax -lnx 求导得y=2ax,而 x 轴的斜率为 0,所以在点(1,a)处切线的斜率x, 1为y%吕=2a -1 =0,解得a=2 .【答案】1.212.(2013 新课标I高考理科 16)若函数f(X)=(1-x2)(x2 ax b)的图像关于直线x= -2对称，则f (x)的最大值为 _ .【解题指南】 首先利用数f(x)的图像关于直线x = -2对称求出a,b的值，然后利用导数判TLJ Z断函数的单调性，

15、这里要采用试根的的方法对导函数进行因式分解10【解析】因为函数f(x)的图像关于直线X=-2对称，所以f(0)= f(-4)，得4b = -60 15a，又f (x)二-4x3-3ax22(1 -b)x a，而f(-2)=0，-4 (-2)3-3a(-2)22(1-b) (-2) a=0.4b = -60+15a得11a4b=28即丿，解得a = 8，b=15.J1a-4b = 28故f(x) = (1 -x2)(x28x 15)，则f (x)二-4x3-24x2-28x 8二-4(x36x27x -2)2-4(x2)(x 4x -1)令f (x) =0,即(x 2)(x24x 1) = 0,

16、则x= _2或x =_2 - 5或-2 - 5 .当x变化时，f (x),f (x)的变化情况如下表：(7-2 - 75)-2-+J(-2-./S-2)7W W 十十 r/5)-2 + /5”2 + 祈祈,+,+0)广正*负 Q负*单调递噌*极大值 Q单调遥减极小值单调递增门极大值丿单调递丽f(-2-.5)=1 -(-2-、5)2(-2 - -5)28(-2-,5)15( , 5 -8)(8-4 . 5) =16f (-25)=1-(-2、5)2(-2.5)28(-2 5)15(4 .5 -8)(8 4 5) =16故f (x)的最大值为16.【答案】16三、解答题13.(2013大纲版全国卷

17、高考文科21)已知函数f x =x33ax23x1.(I)求a = - 2时，讨论f x的单调性；(Il)若2,时，f x -0,求a的取值范围.11【解析】(I)当a - - 2时，f (x) = x3-3.2x23x 1,f (x) =3x2-6、-2x 3.令f (x) = 0,得x1 2 -1,x2 21.当x(仝,2 -1)时，f (x)0,f (x)在(-：，-.2 -1)是增函数；当x 0-2 -1,、21)时，f(x)：0,f (x)在(-,2 -1八21)是减函数；12当x =( 2 1：)时，f (x) 0,f (x)在(.2 T,；)是增函数.5(Il )由 f_0得a.

18、45当a一 -,x (2：)时，4225 1f(X)=3(x22ax 1) _ 3(x2x 1) -3(x)(x - 2) . 0,所以f (x)在(2,：)是增函数，于是当x (2,：)时，f(x) _ f(2) _0.5综上，a的取值范围是-二七).4I14. (2013 江苏高考数学科T20)设函数f(x)=l nx-ax,g(x)=exQax，其中a为 实数。(1 )若f (x)在(1, ：)上是单调减函数，且g(x)在(1厂：)上有最小值，求a的取值范围；40,进而解)上是单调减函数.同理,f(x)在(0,a-1)上是单调增函数.由于 f(x)在(1,+g)上是单调减函数，故(1,+

19、g)? (a-1,+g),从而 a-1w1,即 a 1.令 g(x)=ex-a=0,得x=lna.当 xlna 时，g (x)lna 时，g (x)0.又 g(x)在(1,+g)上有最小值，所以 Ina1,即 ae.综上,有 a (e,+g).当 aw0 时,g(x)必为单调增函数；当 a0 时，令g (x)=ex-a0,解得 alna,因为 g(x)在(-1,+g)上是单调增函数，类似(1)有 lnaw-1,即 00,得 f(x)存在唯一的零点范围，再利用 g(x)在(1,+间的相互转化g)上有最小值求出 a 的范围，两者取交集.(2)注意函数方程不等式1【解析】(1)令f (x)=x得 x

20、a-1,即 f(x)在(a-1，+g13x(ii)当 a0 时，由于 f(ea)=a-aea=a(1-ea)0, 且函数 f(x)在ea,1上的图象不间断 所以f(x)在(ea,1)上存在零点.144另外,当 x0 时,f (x) = - - a 0,故 f(x)在x(0,+ s)上是单调增函数,所以 f(x)只有一个零点.(iii)当 0awe-1时，令 f(x)=i-a=0,解得 x=a-1.当 0 x0,当 xa-1时，f (x)0,即 0ae-1时,f(x)有两个零点.实际上，对于 0ae-1,由于 f(e-1)=-1-ae-10,且函数 f(x)在e-1,a-1上的图象连续，所以 f

21、(x)在(e-1,a-1)上存在零点.另外，当1x (0,a-1)时,f(x)=a0,故 f(x)在(0,a-1)上是单调增函数，所以 f(x)在(0,a-1)上只有x一个零点.1a丄2a-1下面考虑 f(x)在(a-，+s)上的情况，先证 f(ea)=a(a-ea)e 时,exx2.设 h(x)=ex-x2,则h (x)=ex-2x,再设l(x)= h (x)=ex-2x,则I (x)=ex-2.当 x1 时，I (x)=ex-2e-20,所以l(x)二h(x)在(1,+s)上是单调增函数.故当 x2时，h(x)=ex-2xh (2)=e2-40,从而 h(x)在(2,+s)上是单调增函数，

22、进而当 xe 时,h(x)=ex_x2h(e)=ee-e20.即当 xe 时,exx2.丄。丄当 0ae 时，f(e)=a(a-2-ea)0,且函数 f(x)在a-1,ea上的图象连续，所以 f(x)在(a-1,ea)上存在零点.又11当 xa 时,f(x)=a0,x故 f(x)在(a-1，+s)上是单调减函数，所以 f(x)在(a-1,+s)上只有一个零点.综合(i),(ii),(iii)可知，当 a 0 或 a=e-1时,f(x)的零点个数为 1,当 0ae-1时,f(x)的零点个数为 2.15(1)记 f(x)在区间0,4上的最大值为 g(a),求 g(a)的表达式.是否存在 a,使函数

23、 y=f(x)在区间(0,4)内的图象上存在两点，在该两点处的切线相互垂15.(2013 湖南高考理科22)已知a 0，函数f(X)工16直?若存在，求 a 的取值范围；若不存在，请说明理由.【解题指南】(1)首先是去掉绝对值符号，然后利用导数求出函数的单调区间，再求出 f(x)在区间0,4上的最大值为 g(a).(2)首先要根据函数的单调性讨论出a 取什么范围时可能存在两点，在该两点处的切线相互3a故(*)成立等价于集合 A=x|2ax3a与集合 B=x|x : 1的交集非空垂直,然后利用两互相垂直的直线斜率之积等于-1 去讨论求解.【解析】(1)当Ox乞a时，f(x)二ax；x+2a因此，

24、当(0,a)时，f(x)：0,当x . a时，f(x)=上-x+2af (x)在(0,a)上单调递减;当x(a, ：)时，f (x)二一竺0,f (x)在(a：)上单调递增.(x +2a)2a_4,则f (x)在(0,4)上单调递减，g(a) = f(0)=.若0：a： ：f (x)在(0,a)上单调递减，在(a,4)上单调递增，所以g(a)=maxf(0),f(4).14_a a_,而f(0)-f=,故当0：a_1时24+2a a + 2g(a) = f(4)4 a4 2a4-aac4时，g(a) = f(0)= .综上所述，g(a)= (1a：22，a 1.由(1)知，当a一4时，f (x

25、)在(0,4)上单调递减，故不满足要求：a：4 时，f (x)在(0,a)上单调递减，%,X2(0,4)(%：X2)，使曲线y二f (x)在(洛,f(xj),(X2, f (x?)两点处的切线互相垂(2)在(a,4)上单调直，则(Q a), X2(a,4)，且f (xj f(X2) = -1,即 埜(X12a)3a3a2- -1，亦即X12a，由，x (0,a), x (a,4)得(x22a)x22axi+2a (2a,3a),3ax22a-,1 ).4 2a17I4+2a J3a1因为3a，所以当且仅当 02a1,即 0a0，区间I=x|f(x)0。(I)求I的长度(注：区间(a,3)的长度

26、定义为3-a)；(n)给定常数 k ( 0, 1),当 1-kwaw1+k 时，求I长度的最小值。【解题指南】(1)求出方程f(x)=O的两个根；(2)禾 U 用导数求函数的最小值。.-22a【解析】(1)因为方程 ax-(1+a )x =0(a0)有两个实根x)0,x2二2，1 + a故 f(x)0 的解集为x|x1xX2，因此区间| =(0,岂)，区间长度为 毛。1+a1+a(2)设d (a)= =鲁鲁， 则d (a)二笛二笛， 令d (a)7得a=1，由于0 k 0,当1-k a：1 时,d(a) O,d(a)单调递增；当1 心辽 1 很时,d(a)：O,d(a)单调递减。因此当1 kk

27、 时 d a的最小值必定在a = 1 -或a= 1处取得。而综上，函数 f由(2)得A(aa27，2)B( 2.-aa 1 -aa 1-aa 1a2，-a a 111x-a2a 11-a2a1).a2(1_a)1 a(a3_2a2_2a 2)2，S(a)=-aa 12(d a 1)21 11方法一：因为a “,一，有a2a：1，所以S(a)二一a(a?- 2a2- 2a 2)(-a2a 1)222二-a(a“心；1)(1；aa)0，则s(a)在区间丄丄上单调递增,2, 2八2(-aa 1)1 1故S(a)在区间丄,丄上的最小值为111，最大值为S(-).33220方法二：令g(a) =a3_2

28、a2_2a +2，贝y g (a) =3a24a 2 = 3(a 2-西)因为a，(0,1),g(a)：0，所以g(a)在区31 115-,上的最小(-a2a1)21-a22即 x+y-2=0.222a a cos a二0 且 a2a sin a cos a二b,1- k23d(1- k) _ 1 + (1- k)_ 2 - k - k 12312- k +k，故d(1- k) 0),x所以 f(1)=1,f(1)=-1,所以 y=f(x)在点 A(1,f(1)处的切线方程为 y-1=-(x-1),23a x a由 f (x)=1,x0 可知：x x1当 a0,函数 f(x)为(0,+ g)上

29、的增函数，函数 f(x)无极值;2当 a0 时，由f(x)=0,解得 x=a;因为 x (0,a)时,f(x)0,所以 f(x)在 x=a 处取得极小值，且极小值为 f(a)=a-alna,无极大值.综上：当 a0 时，函数 f(x)在 x=a 处取得极小值 a-aln a,无极大值.21. (2013 福建高考理科 T20)已知函数f (x) =sin(wxJ(w . 0,0 )的周期为n,图象的一个对称中心为,0，将函数 f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍(纵坐标W丿不变),再将得到的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象.2(1)求函数 f(x)与 g(x)的解析式.

30、是否存在忌亡， ，使得 f(x0),g(x0),4丿f(xo)g(xo)按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定 xo的个数，若不存在，说明理由.(3)求实数 a 与正整数 n,使得 F(x)=f(x)+ag(x) 在0,n二内恰有 2 013 个零点.【解题指南】 第(3)问要求考生化整体到局部，先研究函数在一个周期内图象的性质，再从特殊到一般地解决问题【解析】由函数 f(x)=sin(3x+)的周期为n,30,得3=2,又曲线 y=f(x)的一个对称中心为匚,0), : (0,n),4故f (一)= sin(2 -) =0,得 =,所以 f(x)=cos 2x.442将函数 f(x)图象上所

31、有点的横坐标伸长到原来的2 倍(纵坐标不变)后可得 y=cos x 的图象,兀再将 y=cosx 的图象向右平移 一个单位长度后得到函数g(x)=sin x.2二 二1 , 2 1当 x (，一)时，sinx,0cos2xcos2xsinxcos2x.JI兀问题转化为方程 2cos 2x=sin x+sin xcos 2x 在(一,一)内是否有解，25设 G(x)=sin x+sinxcos 2x-2cos 2x,x , 6 4贝 U G (x)=cos x+cos xcos 2x+2sin 2x(2-sin x).因为 x (二厶)，所以 G (x)0,G(x)在(二厶)内单调递增6 46

32、4又G(=) = -1：0,G(丄)二一20.6442且函数 G(x)的图象连续不断，故可知函数 G(x)在(二二)内存在唯一零点 xo,6 4即存在唯一的x0：=(,)满足题意.06 4依题意,F(x)=asin x+cos 2x, 令 F(x)=asin x+cos 2x=0,当 sin x=0,即 x=kn(k Z)时,cos 2x=1,从而 x=kn(k Z)不是方程 F(x)=0 的解，所以方程当 x 变化时,h(x)和 h (x)变化情况如下表x31(00 且 x 趋近于 0 时,h(x)趋向于-a,当 xn且 x 趋近于n时,h(x)趋向于+a,当 x1 时，直线 y=a 与曲线

33、 y=h(x)在(0,n)内无交点，在(n,2n)内有 2 个交点；当 a-1 时，直F(x)=0 等价于关于 x 的方程a = -5空,x 工 kn(k Z),sin x现研究 x (0,n)U(n,2n)时方程解的情况，cos2x令h( x),x (0,sin x则问题转化为研究直线n)U(n,2n),y=a 与曲线y=h(x)在 x 2 -、cosx(2sin x+1) h (x)二.2sin x,令 h (x)=0,(0,n)U(n,2n)的交点情况，26线 y=a 与曲线 y=h(x)在(0,n)内有 2 个交点，在(n,2n)内无交点；当-1a1 时，直线 y=a 与曲线 y=h(

34、x)在(0,n)内有 2 个交点，在(n,2n)内有 2 个交点，由函数 h(x)的周期性,可知当 a 工土 1 时,直线 y=a 与曲线 y=h(x)在(0,nn)内总有偶数个交 点，从而不存在正整数 n,使得直线 y=a 与曲线 y=h(x)在(0,nn)内恰有 2013 个交点；当 a= 1 时，直线 y=a 与曲线 y=h(x)在(0,n)U(n,2n)内有 3 个交点，由周期性,2 013=3X671, 所以 n=671X2=1 342.综上，当 a= 1,n=1 342 时，函数 F(x)=f(x)+ag(x) 在(0,nn)内恰有 2 013 个零点.a22. (2013 福建高

35、考文科 22)已知函数f (xx-V (a R,e为自然对数的底e数).(I)若曲线y = f(x)在点(1,f(1)处的切线平行于x轴，求a的值；(II )求函数f (x)的极值;(III )当a=1时，若直线丨：y二kx-1与曲线y = f (x)没有公共点，求k的最大值.【解题指南】 对函数求导，根据导数即切线斜率， 知切线斜率为 0,欲求极值，先求单调性, 要注意对参数 a 进行讨论。aa【解析】方法一：(I)由f X = X -1x，得X = 1x.ee又因为曲线y二f x在点1,f 1处的切线平行于x轴，得1 =0,即1 - =0，解得a二e.ea(n)f xJ-二,e1当a乞0时

36、，f x 0,f x为 R 上的增函数，所以函数fx无极值.2当a 0时，令f x = 0,得ex= a,x = ln a.：；.Q,lna,f x:0；x In a,f x 0.所以f x在：,lna上单调递减，在In a,二 上单调递增，故f x在x=l na处取得极小值，且极小值为f In a=l na，无极大值.综上，当a_0时，函数f x无极小值；27当a 0,f x在x=ln a处取得极小值ln a，无极大值.28（川）当a=1时，f x；=x1丄e1令g x i=f x；-kx 1 ：1 k xx,e则直线I:y =kx -1与曲线y =f x没有公共点,等价于方程gX=0在R上

37、没有实数解.29g(x)0+g(x)1_en1当X =-1时，g xmin，同时当x趋于；时，g X趋于；，e假设k 1，此时g 0=10,1 1g芦八1：ek又函数g x的图象连续不断，由零点存在定理， 程g x=0在R上没有实数解”矛盾，故k乞1.可知g x =0在R上至少有一解,1又k=1时，g xx0，知方程gx;=0在R上没有实数解.e所以k的最大值为1.方法二：A .(I) (n)同解法一.1(川)当a=1时，f x =x -1 匚.e直线I:y二kx-1与曲线y二f x没有公共点，ZxTrS1等价于关于x的方程kx-1 =x-1x在R上没有实数解，即关于eLA在R上没有实数解.1

38、k-1 xxex的方程:(*)1当k =1时，方程(*2当k =1时，方程(*1可化为x=0,在R上没有实数解.e化为一1 = xex.k一一1令g x二xex，则有g x = 1 x ex.令g x =0,得x1,x-1(T,畑)r“方当x变化时，g x的变化情况如下表:30从而g x的取值范围为-丄，.-e所以当二；-i亠，-丄时，方程(*)无实数解，k-1I e丿解得k的取值范围是1-e,1.综上，得k的最大值为1.23. (2013 广东高考理科 21)设函数f (x) =(x-1)ex-kx2(k R).(2) 当k=1时，求函数f (x)的单调区间；1(3) 当k(一,1时，求函数

39、f(x)在0, k上的最大值M.2【解题指南】 本题含有参数，考查导数在单调性及最值等方面的应用解题过程中，应用好分类讨论思想.【解析】(1)当k=1时，f (x) = (x-1)ex-X2，求导可得f(X)= xex- 2x = x(ex- 2), 令f (x) =0可得x =0, x = In 2，则当x：0时，f (x)0；当0：x：ln2时，f (x)： ：0；当xln2时，f(x)0；所以函数f (x)的单调递增区间是(-：,0),(ln 2,=)，单调递减 区间是(0,ln2)；(2)对f (x) =(X- 1)6 - kx求导可得f (x) =ex(x -1)ex-2kx = x

40、(ex-2k)，因为1k(一，1,所以2k (1,2，令f (x) =0可得x =0,x二ln(2k),显然0：(ln 2k)乞ln 2而2ln 21.则当0 x ln(2k)时，f (x) : 0； 当x ln(2 k)时，f (x)0；所以函数f (x)的单调递增区间是(ln 2k), ：)，单调递减区间是(0,(ln 2k).11 -k令g(k ) = 1 n(2k )k,则 g(k )=1 =-0,又当 k=1 时，gk)= 0,kk331所以g k在1,1上递增，ra所以g k -1n 2 -1 = In 2 In e：0,从而In 2k : k,所以In 2k f 0, k 所以当

41、x三i：0,In 2k时，f x：0；当In 2k ,：时，f x . 0；所以M = max :f 0 , f k max 7-1, k -1 ek-kl令h kmk-1 ek-k31,则h k二k ek- 3k,令k二ek-3k,则k =ek-3：e-3：0所以k在21上递减,而冷=云|所以存在k0-1,1使得，1-0,且当k：- |1,k0当x,1时，:k：0,所以h k在丄,k0I上单调递增，在(k0,1)上单调递减.126 )因为h-12 丿1 _72二80，h12所以h k _0在1,1上恒成立，当且仅当k =1时取得22,k 0,综上，函数f x在10, k 1上的最大值M二k

42、-1 ek- k3.24. (2013 广东高考文科y(1)当k=1时,求函数f (x)的单调区间；21)设函数f (x) = x3-kx2 xk R.当k：0时,求函数f(x)在k,-k 1上的最小值m和最大值M.【解题指南】 本题含有参数，考查导数在单调性及最值等方面的应用.解题过程中，应用好分类讨论思想【解析】对函数f(xxkx2x求导得x = 3x2kx 1.(1)当k =1时f x =3x -2x 1，由 i =4 12 - -8：0可知f x 0,f x在R上 单调递增.(2)方法一：当k : 0时，f x =3x2-2kx，1，其图像开口向上，对称轴x=，且33233过点0,(i

43、 )当4疋_12=4 k 3- k- 3)0，即 k :：: 0时，f x _0,f x在k,-k上单调递增，从而当x二k时，f x取得最小值m=f k = k，当x二-k时，f x取得最大值M = fk =-k k k = -2k k.(ii )当：4k21- 2 k4一3-，3即(k：_、3时，令f(x ) = 3x22kx+1 =0解 得x,= k +血_3 x2=k_血_3，注 意到33k x2ex,0,所以f(x)a亍ff k - 2k-k f(x)min二f (k)二k.25.(2013 湖北高考理科 T22)设n是正整数，r为正有理数。(I)求函数f x= =(1 x)r 1-(

44、r 1)x-1(x-1)的最小值；(n)证明：nc1-(n -1)r1r(n 1厂厂 - -nr_ n 1 +(r +1)x .在中，令 x =(这时 x -1 且 x = 0 ),得 (11厂11 Jnn上式两边同乘 n，得(n +1)r+n+ n(r+1)，即, r + r + r(n 1)nn -r +11当 n .1 时，在中令 x 二-(这时 x -1 且 x =0 ),类似可得nrnrJn1)Qnr(+1 r.)且当 n =1 时，也成立.f综合，得nr 1-(n -1)r 1r(n 1)r1nrn :r 1r 14126 631.7 )(川)利用(n)4351(川)在中，令寸n分

45、别取值81, 82, 83,，125，得43Q一(81344-803)44381：?(823-813),4?(8234-81)344382 :- (833-823),43634 434 4(833_823)：383(843_83 彳),44344344-(1253_1243)：3125：3(1263-125 乜).44将以上各式相加，并整理得4444-(I253-803)：S：(1263-813).44代入数据计算，可得3(125 彳-803) 210.2 ,4由 S 的定义，得 S =211 .26.(2013 湖北高考文科 T21)设a 0,b 0，已知函数 f(xa-bx+1(I)当a=

46、b 时，讨论函数 f(x)的单调性;(n)当x 0时，称 f (x)为 a、b 关于 x 的加权平均数.,f(b)是否成等比数列，并证明f)乞 f(,b)；aa a(ii ) a、b 的几何平均数记为G称2空为 a、b 的调和平均数，记为H若 Hf(x)MG , a +b求 x 的取值范围.(I)求出函数的定义域，利用导数判断函数的单调性，注意分类讨论。f (x)0,函数f (x)在(-(-1,：)上单调递增;f (x)：0,函数f (x)在(：，上单调递减。34 4-(126 -813) 210.9 .4(i )表示出证明；(ii ),f(b)用等比中项加以证明,a用(I)的结论函数的单调性

47、分类证明。f () 一 f (,)由基本不等式可以【解【解析】(I)f(x)的定义域为(-1,=),f(x)a(x F-Qx b)_42(x 1)2(x 1)【解题指南】a b时,a : b时,故f (1)f (b)a2abI-a b(i )判断 f(1), ff(1),37(h )(i)计算得f(1“竽 e 咒0,fG.aH-ab 0，38f（1）f（一）十（，一）2a a所以f（1）, f（、b）, f（一）成等比数列。 a a因 一八ab,即f（1） _ f （、b），由得f（一）（、b）。2aa . a（ii ）由（i ）知f（一）=H,f（J一）=G，故由H兰f（x）G，得aaf4f

48、(;)当a=b时，f （一）= f （x） = f （,b） = a。aV a这时，x的取值范围是（0, ：）；当a b时，0 詔，从而 *b，由f （x）在（：）上单调递增与式得一x一 ，即x的取值范围是,；a laa aX27. （2013 山东高考理科 21）设函数f（x）二2X C（e = 2.7182811是自然对数的底e数，c. R）.（I）求f （x）的单调区间，最大值；（n）讨论关于 x 的方程|ln x|=f（x）根的个数.【解题指南】（I）先利用导数公式求函数的导数，根据单调性与导数的关系求出函数的单调区间，然后再利用单调性求最值.（n）将求函数根的个数问题转化为求函数零点

49、的个数,由f（x）在（0,：）上单调递bb一兰X兰一，即x的取值范围是aa式得1，从而：；,39利用函数的导数来判断函数的单调性，然后利用单调性判断函数零点40【解析】(I)f x = 2x e-x,1由X =0解得X=丄，21当x 0, 即卩x匸(0, e ),所以c e时，g x有两个零点，故关于 x 的方程|lnx|二f x根的个数是 2.综上所述，/Wy当 虫eh时，关于x的方程|ln x|=f(x)根的个数是0；当c=e时，关于x的方程|In x|=f(x)根的个数是1；当 ceJ 时，关于 x 的方程Inx = f(x)根的个数是 2.221)已知函数f(x)二axbx - Inx

50、(a,b R).(I)设a_0,求f(x)的单调区间;【解题指南】(I)先利用导数公式求函数的导数，根据单调性与导数的关系求出函数的单28.(2013 山东高考文科T(n)设a 0,且对于任意x 0,f (x) - f (1).试比较In a与-2b的大小.42调区间(n)由条件知，f1为函数的最小值，然后构造函数，禾 U 用函数的单调性比较两 数的大小【解析】(I)由f x二ax2 bx -1n x, x三0, ：,bx(1 )当a =0时，f xx若b _ 0，当x 0时，f x：0恒成立,所以函数fx的单调递减区间是0, :1若b 0，当0：x时，x：0,函数f x的单调递减，b1当x时

51、，f x -0，函数f x的单调递增，b所以函数f(x )的单调递减区间是0,丄:，单调递增区间是,垃I b丿2 丿(2)当a 0时，f x0,得2ax2bx -1 =0,显然,x：0,x20当0 x x2时，f x : 0,函数f x的单调递减,当x x2时，x0，函数f x的单调递增,综上所述当a=0,b乞0时，函数fx的单调递减区间是0,=2ax得f x：bx -1x由厶=b28a 0得x1-bvb28a4a-b . b28a4a所以函数单调递增区间是f x的单调递减区间是我我亠亠- b28a4a-b + Jb2+8a4a43当a=0,b0时，函数f (x )的单调递减区间是0, i,单

52、调递增区间是1 ,+ 1I b丿lb丿厂；2飞当a0时，函数f(x )的单调递减区间是0,一小一小b+8a，单调递增区间是4aI丿_b + Jb2+8a-+oC .4a (n)由a. 0,且对于任意x 0,f (x) _ f，则函数f x在x处取得最小值, 由(I)知， b 8a是f x的唯一的极小值点,4a故 p 丄空整理得4a2a b=即b= -2a.令g x = 2 -4x In x,4x则gxx令g x =0,得x=,41, X当0：x:：时，g x 0, g x单调递增；41当x一时，g x : 0, g x单调递减.4因此g(x )兰g上忤1 +ln =1 In 4 0,讨论曲线y

53、=f (x)与曲线 y 二 mx2(m 0)公共点的个数 设a 0, m 0 时， 曲线y=f (x)与曲线 y=mx(m .0)的公共点个数即方程2f(x) =mx根的个数。x由f(x) =mx2=,令 h(x)xxxe xe (x 2)2 = h (x)xx则 h(x)在(0,2)上单调递减，这时 h(x) (h(2), ：);、 、e2h(x)在(2,：)上单调递增,这时 h(x) (h(2),：). h(2).4h(2)是 y 二 h(x)的极小值且是最小值。所以对曲线y=f (x)与曲线 y =mx2(m 0)公共点的个数，讨论如下:e2e2e2当 m (0,)时，有 0 个公共点；

54、当 m= 时，有 1 个公共点；当 m (, ：-)时有 2444个公共点.f(a) f(b)2f(b) - f(a)b -a(b -a 2) f(a) (b -a -2) f (b)2 (b a)(b -a 2) ea(b -a -2) eb_ (b -a 2) (b - a -2) eb2 (b a)2(ba)令t (x) =x 2 (x -2) ex,x 0,则 t (x) =1(1 x -2) eV (x -1) ex。t (x)的导函数 t (x) = (1 x -1) ex= x ex- 0,所以 t (x)在(0,：)上单调递增且t(0)=0.因此 t (x)0, t(x)在(0

55、,：)上单调递增,而 t(0)=0,所以在(0, =)上 t(x) 0。4647因为当x0时，t (x) = x 2 (x - 2) ex0且a：b,所以(ba 2)(b2M ea02 (b -a)所以当a-b -a30. (2013 新课标全国n高考理科 21)已知函数 f(x)=ex-ln(x+m).(1)设 x=0 是 f(x)的极值点，求 m,并讨论 f(x)的单调性;当 me 2 时，证明 f(x)0.【解题指南】(1)求导，然后将x=0代入导函数，求得m,讨论分析导函数的符号，得单调性.求f x的最小值f x0,证明最小值【解析】(1)因为f x = ex=0是f x的极值点，所以

56、f 0=0,m解得m=1,所以函数f x，=xen x 1,其定义域为-1,r,因为f xg1设g (x ) = ex(x +1 )1,则gQx)Fex(x+1 )+ex0，所以g(x在 1,母)上是增函数,又因为g 0；=0,所以当x 0时，g x0,即f x 0，当-1:x：0时，g x : 0,f x：0,所以f x在-1,0上是减函数，在0,：上是增函数.当m _ 2,x三m,壯时，In x m _ In x 2,故只需证明当m = 2时，f x 0.1当m = 2时，函数f x = ex在-2,=单调递增xIx 2由-1:0, f 00，故f x =0在-2：上有唯一实根 沧，且x,

57、 1,0.当2,x时，f x：0；当心亠时，f x 0,从而当x时，f x取得最小值由f冷i；= 0得482,1(沧+1)故fx_fx0 x0X。+2综上，当m乞2时，f x阳0.31.(2013 新课标全国 n 高考文科 21)已知函数f(x)=x2e公。(1) 求f (x)的极小值和极大值;(2)当曲线y = f(x)的切线I的斜率为负数时，求I在x轴上截距的取值范围。【解题指南】(1)求导函数 x，令X =0求极值点，列表求极值.设切线，表示出切线I的方程，令y = 0得I在x轴上的截距，禾 U 用函数知识求得截距的 取值范围.【解析】(1)x=e-x22x,令x= 0 得x =0或2.

58、列表如下x込0 ) 0(0,2 )2(2,fV)-0+0f减(X)函数极小值增函数极大值减函数函数f x的极小值为f 0 =0，极大值为f 2=弓.e设切点为x0,x2ef，则切线I的斜率为-怡2 2x。此时切线I的方程为y-xe-x02 2x iix0令y =0,得x = x0.x-22xx0-2 3,x()一2Xo249 2由已知和(1)得xO(-：,0) K2:),令ht = t-(t 0)，则当 t (0,+ g)时,h(t)的取值范围为2、2,=);当 t (-g,-2)时,h(t)的取值范围是(-g,-3),所以当 xo (-g,0)U(2,+g)时,x 的取值范围是(-g,0)U

59、2、23：),综上，1在 x 轴上的截距的取值范围是(-g,0)U2 3, ：)32.(2013 辽宁高考文科 21)()证明：当x0,11时，一乞sinxinx；232Y(.11)若不等式ax - x2(x 2)cos x _ 4对x? 0,1恒成立，求实数a的取值范围。2【解题指南】构造函数，利用函数的单调性证明不等式；利用已知的不等式恰当地放缩，将复杂的不等式转化为简单的不等式J2【解析】(i)记F (x) =sin x x，贝U F (x) cosx - 2XX? 2x 0,42cos；0,42F (x)二sin x x在x20,上是增函数，所以F(x)_F(0)=0;-4(JIX J

60、2、2.2,F (x)二cosx0,222.2二,F (x)二si nx x在x ,1上是减函数，2Il4兀J2所以F(x)_F(1)=sin1sin0242故当x 0,1 1时，F (x)一0，即sin x - x；2记H (x) =sin x x，则当x：= 0,1时，H (x) = cosx一1：0所以H(x)二sinx-x在0,1 1上是减函数，则H(x)乞H (0) =050351即H(x)二sinx_x_O,sinx_x综上，当x：.汀0,11时，一x _sinx_x；2由(D可知，s以爭沪芈， 当x 0,1 时,ax x21 x32(x 2)cosx-42(x 2)(12si n