捕捉三角信息巧解代数问题学法指导

1、捕捉三角信息 巧解代数问题三角变换在数学中属于工具性的内容，通过三角代换把代数问题转化为三角问题，不仅可使题中各量之间 的关系变得直接明了、结构特征显现，而且代数中原来繁琐、复杂的运算变成了简单、灵活多变的三角运算， 因此在解代数问题时，要关于捕捉已知条件或结论中体现出的三角函数的各种信息，选取适当的三角代换，从 而将代数问题转化为三角问题。1.捕捉“ x2 y2 < a2 ”的信息 1例1.解不等式. 3 - x - x T 2分析：由于(3 -x)2 (x 1)2 =4，于是令，八2sin x 2co，0,21，则原不等式化为2 si nr - 2 cos ,所以:212 sin v

2、 2 cos .2乞x 1 _31，故原不等式的解集是_ 8由0 ,'可知2cos 丄 0.式(* )两边平方并整理得32cos2 v - 8cos - 1 2 215<0 ,解得 0 岂 cos 二 * 31 1。由 x = 4cos2 r -1 可得，8x|_1 乞 x :：: 1 一 31。例2.给正整数 n和正数m ,对于满足条件a-2a2nm的所有等差数列试求S =anan2a2n 1的最大值。22、由a1 an d 乞 m,可设 a1 =rcosvan d = r sin v, o乞r乞、m , 贝卩 由an i =ai nd,r sin J - r cos- d =

3、S = a n 1 ' an 2 a2n 1n 1(2a1 3nd)2* 3n r sin 日 一 r cos日=(n 1)( r cos)21(3sin r - cos v) 21(n 1) 10r sin( v - ) 21 3其中 sin ® = f= , cos® = j=。V10V10当且仅当sin(v - ;：) =1,且r = m时等式成立。a1 二这时 sin 日=, cosT =,V10V102.捕捉“ |x|1或.1 -X2 ”的信息例 3.设0 ；：刈：1, n _2, nN,求证：(1 x)n (1 x)n : 2n.r=1,可设 X =co

4、s2r, -|0,r JI且-4例4.已知a、b为非负数，且 Ul-b2.1 - a2 = ab,求证 a . 1 - b2b . 1 - a2 =1.分析：-1 - a2、, 1 -b2有意义,暗示 |a|_1, |b|_1,故可设 a 二 sin口 1 -X 1 + X分析：由于0 ：|x| ：1且2 2(1 -x)n(1 x)n= (2si n v)n (2cos2 Rn=2n(sin2 )n(cos2 v)n I : 2n(sin20,-。由已知条件可得,cos 二 cos： =si n-：sin :, 即 cos()-=0，所以-：厂一 一，2a、1-b2 b,1-a2 =sinco

5、s： cos s in： = si n：( ：)=1.3.捕捉“ ；a ”的信息例5.数列an 满足a0 =1, an = J a (n n )，求证an是单调数列。3 V 21 + a分析：由于an=、u与余弦函数的半角公式的结构完全一致,n 2故可设a。=cosT=，日Gb,王1。3'、2)因为an =J(n = N *),所以a11 coscos 二2a2cos,4ean且Or2necos尹 cosnre=cosr ,2ne< < 62e_acos coscost .42JI2，0即 a0 < a1 : a2 :an 訂:an。故数列：an f是单调数列。4.捕

6、捉“ '.x2 _1 ”的信息例6解不等式x22-x 01 x2分析：考虑到关键是去根号,2 2联想到公式1 - tan v - sec二，则原不等式可化为 si nr - cos2r - 0即(2sin=1)(sin -1) ： 0,解得 -1 : sin : 1，所以2-<eit，2原不等式的解为x。5.捕捉“ x_- y ”的信息1 "xy例7.数列 an 冲，a1=3,an1 an 1 - an/(n - 2)，求 an。分析：由an1 - an4联想到rtan：1 tan由此可令a1 = tan，且<aa2 -1a11 tana31 ai1a21 - a

7、2丄i兀 tan亠很1 -t an41ta$ +a<4丿= ta*2 5 I,< 4 丿an 二 tan -1):4证明略。故所求通项公式为an=t a n 1)46.捕捉“ 2x1 _ x22一x ”的信息1 x2例8.解方程组(12 * Xk )Xk 1 =2Xk(k =1, 2，n, n N )且xn d = x1。分析:若把原式变形为Xk 12xk2 ,则可发现它与正切函数的倍角公式结构一致，因此可令1 Xk，则k _1Xk = tai2(k =1, 2，n, n 1)因为 xn1 =x1，所以 tan2nv - tan, 2*二 m二 *m Z), J (m Z).2 1

8、于是原方程组的解为k4m-：(m Z，心，2,n 1).例9.求 f(x)二2341 x-2x x x41 2x x的值域。分析:将f (x)的表达式裂项变形得,x x3-2x2 x4八八+1f (x)1 2x2 x4 1 2x2 x4x21 - x21 x2a fitajix = t a n < < 2 1222)si n " cos2 :2sin :1 Y4>17(：16 (_,二）1 17当 sin ，即 x = 4 二 '、15时，ymax4 161 当 sin > - -1 , 即卩 x - -1 时,ymin2故f(x)的值域是 _丄 H。

9、L 2 ' 167.捕捉“ x y z二xyz ”的信息例10.已知x、y、z- R，求证：xy y -z z-x 二(x-y)(y -z)(z - x)1 xy 1 yz 1 xz 一 (1xy)(1yz)(1 xz)分析：由等式的结构 联想到 ABC 中有t anA - t anB t anC二t anAt anB t anC。由此可设x=tan，y=ta n：，z = ta n ，贝Uy = tan(:£I-'), -_z = tan(,1 xy1 yzz - x1 xz二 tan（ r二）.由于(.：-：!) (：_ )-(讦二)二 0,所以tan - -) t a n (- ) t an ( _ ：)二 t a n：(.') tan (') tan (二)原式成立。8.捕捉“ a2 -b2 =1”的信息221 V例11.已知x - v =4，求二的取值范围。x x分析：由已知条件 x2 - y2 =4联想