空间向量知识点归纳总结

1、空间向量与立体几何知识点归纳总结知识要点。1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。 （2）向量具有平移不变性2. 空间向量的运算。定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）CuuinOBuuu uuu rOA AB a0a*加法交换律：a运算律：加法结合律：（a b） c数乘分配律：（a b）v uuu b ；bBAuuuOAuuuOBr r uuua b； OPa(R)(b bc)运算法则：三角形法则、平行四边形法则、3. 共线向量。（1）如果表示空间向量的有向线段所在的

2、直线平行或重合,平行六面体法则那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a平行于b，记作a / b。（2）共线向量定理：空间任意两个向量（3）三点共线：A、B、C三点共线<=>AB（b工0 ），a/ b存在实数入，使a八b。AC<=>OCxOA yOE(其中< y 1)（4）与a共线的单位向量为4. 共面向量（1）定义：一般地，能平移到同 说明：空间任意的两向量都是共面的。（2） 共面向量定理：如果两个向量a,b不共线,平面的向量叫做共面向量。P与向量a, b共面的条件是存在实数x, y使p xa yb。（3）四点共面：若A、B、C、P四点共面<=>APx

3、AB yAC<=>OP xOA yOBzOC(其中 x y z 1)的有序实数组x, y, z,使p xa yb zc。rrrr r r若三向量a,b,c不共面，我们把a,b,c叫做空间的一个基底，a,b,c叫做基向量，空间任意 三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。推论：设o,代b,c是不共面的四点，则对空间任一点 p，都存在唯一的三个有序实数 x, y, z， uuuuur uuu umr使 OPxOA yOB zOC 06.空间向量的直角坐标系：(1)空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系O xyz中，对空间任一点A，存在唯一的有序实数组(X, y, z),使上OA x

4、i yi zk，有序实数组(x,y,z)叫作向量 A在空间直角坐标系 O xyz中的坐标，记作 A(x, y, z)， x叫横坐标，y叫纵坐标，z叫竖坐标。注：点A (x,y,z )关于x轴的的对称点为(x,-y,-z), 关于xoy平面的对称点为(x,y,-z).即点关于什么轴/平面对称，什么坐标不变，其余的分坐标均相反。在y轴上的点设为(0,y,0),在平面yOz中的点设为(0,y,z)rrr(2)若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1,这个基底叫单位正交基底，用 i,j,k 表示。空间中任一向量a xi y j zk =(3)空间向量的直角坐标运算律：rr(ai ,a2 , a3

5、) , b (b1,b2 ,b3)，则x,y,z32(aib2,a3 b3),3a2aaib1a2b2a3b3 ,2/ba1b!,22b2, a3r rb3(R)，1 12 bqE 透b2 a3b30。uum若 A(x1,y1,z1)，BEyzZ)，则 AB(X2X1, y2y1, Z2z1)一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。定比分点公式：若A(xi, yi,zi)， B(x2, y2,Z2)， ap pb，则点p坐标为X2%y2iZiZ2)1推导：设 P ( x,y,z ) 贝U(x如y y1,z乙)(x2 X,y2 y,z2 Z),显然，当P

6、为AB中点时,X1x2% y2 乙 Z22, 2 ABC中，A （x,y1,z1）,B（X2,y2Z）,C（X3,3卫），三角形重心p坐标为P(XX23X3出 y2 y3 乙Z2Z3、2,2厶ABC的五心:心p：切圆的圆心，角平分线的交点。外心p：外接圆的圆心，中垂线的交点APP.(ABAC)（单位向量）垂心P：高的交点：PA PB PA PC PB重心P：中线的交点，三等分点（中位线比） APPC1 (AB AC)3（移项，积为0,则垂直）中心：正三角形的所有心的合一。（4）模长公式：若 a 1883） , b （E，b2，d）,则|a| a a 'a1222 rrra2a3 , |

7、b| 一b b（5）夹角公式：coSa b" a baE|a|b| a'、d2 b22 b32a?b233匕322 2 2 2 2 2a2a3b2b3 ABC中AB?AC 0<=>A为锐角AB? AC 0 <=>A为钝角，钝角（6）两点间的距离公式：若 A（Xi,yi,zJ , B（X22,Z2）,uuu则 |AB|或 dA,B,(X2 Xi)2 (y2 yi)2 亿 乙)27.空间向量的数量积（1）空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量a,b，在空间任取一点o,rr r则 aob叫做向量a与b的夹角，记作 a, b ；且规定0r r r rrrra,

8、b b,a ；若 a,b ,则称a与b互相垂直，记作：a b 。2 uuu ruuur（2）向量的模：设OA a，则有向线段OA的长度叫做向量a的长度或模r r rr r（3）向量的数量积：已知向量 a,b，则|a| |b| cos a,b 叫做a,r bra,r uuw ra, OB b,显然有，记作：|a |rrb的数量积，记作a b ,r rr r即a b |a| |b| cos a,b(4)空间向量数量积的性质:20。|a |a a（交换律）。rarara,2.ra,2.rerarerac （分配律）:ra二律算 ro) 卑b 积ra 量 (>量向r间 )空rararcra5(T

9、) 3不满足乘法结合率：（a b）c a（b c）二.空间向量与立体几何i线线平行两线的方向向量平行i- i线面平行线的方向向量与面的法向量垂直1- 2面面平行两面的法向量平行2线线垂直（共面与异面）两线的方向向量垂直2- 1线面垂直线与面的法向量平行2- 2面面垂直两面的法向量垂直3线线夹角 （共面与异面）0°,90°两线的方向向量ni, n2的夹角或夹角的补角，cos cos n1, n2AP与面的法向量n的夹角，若为3- 1线面夹角0°,90°:求线面夹角的步骤：先求线的方向向量锐角角即可，若为钝角，则取其补角；再求其余角，即是线面的夹角.Sin

10、c0S AP, nII3- 2面面夹角（二面角）0°,180°:若两面的法向量一进一出，则二面角等于两法向量 ni,n2的夹角；法向量同进同出，则二面角等于法向量的夹角的补角.cosCOS n1, n2uuu4. 点面距离h :求点P X0,y。到平面 的距离：在平面 上去一点Q x,y，得向量PQ .；计算Ju PQ ? n平面 的法向量n ;. h_n4- 1线面距离（线面平行）：转化为点面距离4- 2面面距离（面面平行）：转化为点面距离【典型例题】1. 基本运算与基本知识（）例U.“已知平行六面体ABCD- A BCD，化简下列向量表达式，标出化简结果的向量 uu U

11、uuuu uuur uuir AB BC ；(2) AB AD AA ；uuu uuu i uuur 1 uuu iuu uuir AB AD CC ；一(AB AD AA)。23例2.对空间任一点uur uuu uuuOP xOA yOBO和不共线的三点 uuurzOC (其中x yA,B,C，冋满足向量式：z 1)的四点P, A,B,C是否共面?0 0 0 0 0例 3 已知空间三点 A (0, 2, 3), B (-2, 1, 6), C (1,- 1, 5)。uuu uuur求以向量AB,AC为一组邻边的平行四边形的面积 S;ruuu uuurr Lr若向量a分别与向量AB, AC垂直

12、，且| a | = . 3，求向量a的坐标2 基底法(如何找，转化为基底运算)3坐标法(如何建立空间直角坐标系，找坐标)4 几何法编号03晚自习测试；17, 18题例 4.如图，在空间四边形 OABC中，OA 8 , AB 6 , AC 4 , BC 5 , OAC 45o, OAB 60o,求OA与BC的夹角的余弦值说明：由图形知向量的夹角易出错，如例5.长方体ABCD ABGD,中，AB 又AF BE，求长方体的高 BB,。OAuuu uuiruu muOA, AC 135o 易错写成 OA, AC 45°，切记！BC 4，E为A6与B1D1的交点，F为BC1与B1C的交点,【模拟试题】1.已知空间四边形ABCD，连结AC,BD，设M ,G分别是BC,CD的中点，化简下列各表达式，并标 mui uh un出化简结果向量：(1)AB BC CD ；uuu 1 uur uuuuuir 1 uuu uuur(2)AB -(BD BC) ；(3)AG -(AB AC)。2. 已知平行四边形ABCD从平面AC外一点0引向量