立体几何中的最值

1、立体几何最值问题姓名立体几何主要研究空间中点、线、面之间的位置关系，与空间图形有关的线段、角、体积等最值问题常常在试题中出现。下面举例说明解决这类问题的常用方法。、运用变量的相对性求最值例1.在正四棱锥S-ABCD中，SO丄平面ABCD于0, S0=2 ,底面边长为. 2 ,点P、Q分别在线段BD、SC上移动，则P、Q两点的最短距离为（）A.B.C. 2D. 1、定性分析法求最值例2.已知平面a平面B, AB和CD是夹在平面a、B之间的两条线段。AB丄CD, AB=3，直线AB与平面a成30。角，则线段CD的长的最小值为 。、展成平面求最值例3.如图3-1，四面体 A-BCD的各面都是锐角三角

2、形，且AB=CD=a ,AC=BD=b , AD=BC=c。平面 a 分别截棱 AB、BC、CD、DA 于点 P、Q、R、S,则四边形PQRS的周长的最小值是（）A. 2aB. 2bD.a+b+cC. 2c图3-1四、利用向量求最值例4.在棱长为1的体ABCD-EFGH中，P是AF上的动点，贝U GP+PB的最小一、线段长度最短或截面周长最小问题例1.正三棱柱ABCA1B1C1中，各棱长均为2, M为AAi中点，N为BC的中点,则在棱柱的表面上从点 M到点N的最短距离是多少？并求之.例2.如图，形ABCD、ABEF的边长都是1,而且平面ABCD、ABEF互相垂直。点M在AC上移动，点N在BF上

3、移动，若CM=BN= a （0 a 、2）. （1 ）求MN的长;（2）当a为何值时，MN的长最小；（3）当MN长最小时，求面MNA与面MNB所成的二面角的大小。例3.如图，边长均为a的形ABCD、ABEF所在的平面所成的角为 （0-） 0点M在AC上，点N在BF上，若AM=FN， 求证:MN/面BCE ; （2）求证:MN AB;求MN的最小值.例4.形ABCD、ABEF的边长都是1,而且平面ABCD、ABEF互相垂直。点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM=x ,BN=y, （0 x,y . 2）.（ 1 ）求MN的长（用x,y表示）；（2）求MN长的最小值，该最小值是否是异面直线 A

4、C，BF之间的距离。例5.如图，在AABC中，/ ACB= 90 ,BC= a,AC= b,D是斜边AB上的点，以CD为棱把它折成直二面角 ACDB后，D在怎样的位置时，AB为最小，最小值是多少例6.正三棱锥A-BCD，底面边长为a，侧棱为2a，过点B作与侧棱AC、AD相 交的截面，在这样的截面三角形中，求(1)周长的最小值；周长为最小时截面积的 值，(3)用这周长最小时的截面截得的小三棱锥的体积与三棱锥体积之比 .、面积最值问题例7.如图1所示，边长AC = 3，BC= 4，AB = 5的三角形简易遮阳棚，其 A、B是地面上南北方向两个定点，正西方向射出的太线与地面成 30。角试问：遮阳棚A

5、BC与地面成多大角度时，才能保证所遮影面 ABD面积最大？面角A例8.在三棱锥ABCD中，AABC 和 ABCD都是边长为a的正三角形,BC D问为何值时，三棱锥的全面积最大。最大截例9、一个圆锥轴截面的顶角为1200，母线为1，过顶点作圆锥的截面中,面面积为。例10、圆柱轴截面的周长L为定值，求圆柱侧面积的最大值。例11、在棱长为1的体ABCDABCD中，若G、E分别是BBi、C1D1的中点，点F是形ADD1A1的中心。则四边形BGEF在体侧面及底面共6个面的射影图形面积的最大值三、体积最值问题例12.如图，过半径为R的球面上一点P作三条两两垂直的弦PA、PB、PC, (1)求证：PA2+P

6、B2+PC2为定值；求三棱锥PABC的体积的最大值.评析：定值问题可用特殊情况先“探求”，如本题(1)若先考虑PAB是大圆，探求得定 值4R2可为(1)的证明指明方向.球面上任一点对球的直径所的角等于 90。，这应记作很重要的性质.四、角度最值问题。例13.在棱长为1的体ABCDAiBiCiDi中，P是AiBi上的一动点，平面 PADi和 平面PBCi与对角面ABCiDi所成的二面角的平面角分别为a、B，试求a + B的最大值 和最小值.“动态”立体几何题初探本文所指的“动态”立体几何题，是指立体几何题中除了固定不变的的线线、线 面、面面关系外，渗透了一些“动态”的点、线、面元素，给静态的立体

7、几何题赋予 了活力，题意更新颖，同时，由于“动态”的存在，也使立体几何题更趋灵活，加强 了对学生空间想象能力的考查。一、截面问题截面问题是立体几何题中的一类比较常见的题型，由于截面的“动态”性，使截 得的结果也具有一定的可变性。例1、已知正三棱柱AiBiCiABC的底面积为S,高为h,过C点作三棱柱的与底 面ABC成a角的截面厶MNC,(O-),使MN/AB，求截面的面积。、翻折、展开问题图形的翻折和展开必然会引起部分元素位置关系的变化，求解这类问题要注意 对变化前后线线、线面位置关系、所成角及距离等加以比较，一般来说，位于棱的 两侧的同一半平面的元素其相对位置关系和数量关系在翻折前后不发生变

8、化，分别 位于两个半平面的元素其相对关系和数量关系则发生变化。不变量可结全原图型求 解，变化了的量应在折后立体图形中来求证。例2、下图表示一个体的展开图，图中 AB、CD、EF、GH这四条直线在原体中相互异面的有（）D 5对FA 2对B 3对例3、从三棱锥PABC的顶点沿着三条侧棱PA、PB、PC剪开，成平面图形,得到 P1P2P3，且 PlP2=P2P3；P三、最值问题立体几何题中经常会涉及到角度、距离、面积、体积最大值、最小值的计算，很多情况下，我们可以把这类动态问题转化成目标函数，从而利用代数方法求目标函数的最值。例4、(2002年全国高考)如图，形ABCD、ABEF的边长都是1，而且平

9、面ABCD、ABEF互相垂直，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM=BN=a ,(0a、2 ).(I)求MN的长；(U)当a为何值时，MN的长最小;例6圆柱轴截面的周长L为定值，求圆柱侧面积的最大值。四、探索型问题由于立体几何题中“动态”性的存在，使有些问题的结果变得不可确定，探索型 问题正好通过这种“动态性”和不确定性考查学生的发散性思维。例7、已知矩形ABCD, PA丄平面AC于点A, M , N分别是AB、PC的中点，(1)求证MN丄AB; (2) 若平面PDC与平面ABCD所成的二面角为能否确 定使得直线MN是异面直线AB与PC的公垂线？ 若能确定，求出B的值，若不能确定，说明理

10、由。例8、如图， ABC是正三角形，AD和CE都丄平面ABC,且AD=AB=1 ,CE=1/2 ,问：能否在线段BD上找到一点F,使AF丄平面BDE?五、其它类型利用三垂线定理、射影定理、线线、线面垂直的 性质等在动态问题中提炼一些不变的、“静态”的量, 从而达到解题的目的。例 9、在三棱柱 ABCA1B1C1 中，AAi=AB=AC ,AB丄AC, M是CG的中点，Q是BC的中点，点P在AiBi上，则直线PQ与直线AM所成的角等于（）A 300B 450C 600D 90例10、体ABCDAiBiCiDi中，点P在侧面BCCBi及其边界运动，并且总保持AP丄BDi，则动点P的轨迹是。例11、

11、在棱长为1的体ABCDABCD中，若G、E分别是BBi、C1D1的中点，点F是形ADD1A1的中心。则四Ai边形BGEF在体侧面及底面共6个面的射影图形面积的最大值是 0A“动态”立体几何题面面观本文所指的“动态”立体几何题，是指立体几何题中除了固定不变的的线线、线 面、面面关系外，渗透了一些“动态”的点、线、面元素，给静态的立体几何题赋予 了活力，题意更新颖，同时，由于“动态”的存在，也使立体几何题更趋灵活，加强 了对学生空间想象能力的考查。一定值问题例1 如图在棱长为a的体ABCD ABQP中，EF是棱AB上一条线段，且EF= b va,若Q是AQ上的定点，P在CP上滑动，则四面体PQEF

12、的体积（）.（A）是变量且有最大值（B ）是变量且有最小值（C）是变量无最大最小值（D）是常量分析：此题的解决需要我们仔细分析图形的特点. 这个图形有很多不确定因素, 线段EF的位置不定，点P在滑动，但在这一系列的变化中是否可以发现其中的稳 定因素？求四面体的体积要具备哪些条件？仔细观察图形，应该以哪个面为底面？观察PEF，我们发现它的形状位置是要变化的，但是底边EF是定值，且P到EF的距离也是定值，故它的面积是定值.再 发现点Q到面PEF的距离也是定值因此，四面体 PQEF的体积是定值我们没有 一点计算，对图形的分析帮助我们解决了问题.二、围冋题例3。求正三棱锥相邻的两个侧面所成的二面角大小

13、的取值围分析：因为这个正三棱锥是动态的，无法作出相邻的两个侧面所成的二面角的平面 角，故不能通过正常的途径算出其围，既然是动态的图形，我们则可以从图形的极 限思想出发思考这个问题。四、截面问题例4、已知正三棱柱AiBQABC的底面积为S,高为h,过C点作三棱柱的与底面ABC成a角的截面厶MNC,(O-),使MN/AB，求截面的面积。五、翻折、展开问题例5 给出任意的一块三角形纸片，要求剪拼成一个直三棱柱模型，使它的全 面积与给出的三角形的面积相等，请设计一种方案，并加以简要的说明.例6.正三棱锥A-BCD，底面边长为a，侧棱为2a，过点B作与侧棱AC、AD相 交的截面，在这样的截面三角形中，求

14、(1)周长的最小值；周长为最小时截面积的值，（3）用这周长最小时的截面截得的小三棱锥的体积与三棱锥体积之比评析 把曲面上的最短路线问题利用展开图转化为平面上两点间距离的问题，从而 使问题得到解决，这是求曲面上最短路线的一种常用方法本题中的四面体，其中任 何一个面都可以做为底面，因而它可有四个底面和与之对应的四条高，在解决有关 三棱锥体积题时，需要灵活运用这个性质例7 .如图，ABCDEF为正六边形，将此正六边形沿对角线 AD折叠求证：AD丄EC,且与二面角F AD C的大小无关；(2)FC与FE所成的角为30。时，求二面角F AD C的余弦值.六、探索型问题例 8.已知 BCD 中，/ BCD=90 ,BC=CD=1 , AB丄平面 BCD,/ ADB=60 ,E、F分别是AC、AD上的动点，且 AE AF(U)当入为何值时，平面BEF丄平面ACD?(I)求证：不论入为何值，总有平面 BEF丄