高中数学易错题举例解析.docx

1、感谢你的观看感谢你的观看高中数学易错题举例解析高中数学中有许多题目，求解的思路不难，但解题时，对某些特殊情形的讨论，却 很容易被忽略。也就是在转化过程中，没有注意转化的等价性，会经常出现错误。本文 通过几个例子，剖析致错原因，希望能对同学们的学习有所帮助。加强思维的严密性训练。忽视等价性变形，导致错误x0x + y0 但y0xy0，一x1y2x + y3 xy2不等价。一 一 _，x【例1】已知=ax + bf(1) 0,3 f(2)6,求f(3)的范围。3ab032ab6历错误解法由条件得2X26 a 158b2X 2得33310 3b 43+得3* 33f(3)433错误分析 采用这种解法

2、，忽视了这样一个事实：作为满足条件的函数f(x) axb，其值是同时受a和b制约的。当a取最大(小)值时，b不一定取最大(小) 值，因而整个解题思路是错误的。f (1) a b正确解法f (2) 2a 由题意有b2,解得:b 165f(3) 3a 3 6 f 9f(1).把f和f(2)的范围代入得在本题中能够检查出解题思路错误，并给出正确解法，就体现了思维具有反思性。只有牢固地掌握基础知识，才能反思性地看问题。忽视隐含条件，导致结果错误。【例2】222 设、 是方程x 2kx k 6 0的两个实根，则(1)(1)的最小值是(A)49(B) 8(C) 18(D)不存在4思路分析 本例只有一个答案

3、正确，设了 3个陷阱，很容易上当。利用一元二次方程根与系数的关系易得：2k，k 6，49有的学生一看到Z ,常受选择答案(A)的诱惑，盲从附和。这正是思维缺乏反思性的体现。如果能以反思性的态度考察各个选择答案的来源和它们之间的区别，就能从中选出正确答案。一 2原方程有两个实根、4k 4(k 6) 0 k 2或k 3.22当k 3时，(1)(1)的最小值是8;/2.2当k 2时，(1)(1)的最小值是18。这时就可以作出正确选择，只有(B)正确。(2)已知(x+2) 2+ y42 =1,求x2+y2的取值范围。828错解 由已知得 y2= 4x2- 16x-12,因止匕 x2+y2=-3x2-1

4、6x- 12=-3(x+ 3)2+3 ,二当x=-1时，x2+y2有最大值胃,即x2+y2的取值范围是(一, 0333分析没有注意x的取值范围要受已知条件的限制，丢掉了最小值。事实上，由于(x+2) 2+ y4 =1 (x+2) 2=1 y4 1 3x0,三角函数一1 &sinx & 1,指数函数ax0,圆锥曲线有界性忽视不等式中等号成立的条件，导致结果错误。【例3】已知：a0 , b0 , a+b=1, 求(a+ - ) 2+(b+9)2的最小值 a b11112- 1错解(a+2a ab ?a)2+(b+b )2=a2+b2+a +b +42ab+ab +44 ab+4=8,；(a+ a)

5、2+(b+b)2的最小值是 8.分析 上面的解答中，两次用到了基本不等式a2+b2 2ab,第一次等号成立的条件是a=b=1 12 ,第二次等号成立的条件是ab=Ob ,显然，这两个条件是不能同时成立的。因此，8不是最小值。1111111，.V202.2O O2,2O.9事实上，原式= a2+b2+a +b +4=( a2+b2)+( a +b )+4=(a+b) 2 2ab+( a+b)22ab +412 . 2=(1 2ab)(1+ a b )+4,12, 21 + a b 17,a b 11 11f- )二 ，i二 二 一 2. 2由 ab0 ( 2 )2=4 得：12ab1 2 = 2

6、,且ab 16,125原式2 x 17+4= 2 (当且仅当a=b=2时，等号成立)，11(a + a)2 + (b + b )2的最小值是 25 。不进行分类讨论，导致错误【例4】已知数列an的前n项和4 2n 1 ,求a”，错误解法anSnS”1(2n D(2n11)2n2n12n 11 1,错误分析 显然，当n 1时，a1 S1 3 2 k错误原因：没有注意公式an Sn Sn1成立的条件是因此在运用anSn Sn1时，必须检验n 1时的情形。即:S1 (n 1)Sn (n 2,n N)2(2)实数a为何值时，圆x21一22y -xy 2ax a 1 0与抛物线2有两个公共点2错误解法将

7、圆x2122y xy 2ax a 1 0与抛物线2联立，消去y,21x (2a )x得21 0 (x0).12a 0217一 2a 因为有两个公共点，所以方程有两个相等正根，得 a 1 0.,解之得 8错误分析 （如图2 21; 2 2 2）显然，当a 0时，圆与抛物线有两个公共a 222y x因此，当 8或1 a 1时，圆x y2ax a 1 0与抛物线2有两个公共点021222y X思考题：实数a为何值时，圆x y2ax a 1 0与抛物线2 ,（1）有一个公共点；（2）有三个公共点；（3）有四个公共点；（4）没有公共点。以偏概全，导致错误以偏概全是指思考不全面，遗漏特殊情况，致使解答不完

8、全，不能给出问题的全部 答案，从而表现出思维的不严密性。【例5】（1）设等比数列an的全n项和为&.若S3 S6 2s9,求数列的公比q.369a1（1 q ） a1（1 q ） 2 a1（1 q ）错误解法S3 s62s9,1 q 1 q1 q ,6333 4由 q 0 得万程 2q q 1 0.（2q1）（q1） 0, q 或 q 12 oa1（1 q3） a q6） 2 a1（1 q9）错误分析在错解中，由1 q 1 q1 q,整理得q3（2q6 q3力=0时，应有a1。和q 1。在等比数列中，ai 0是显然的，但公比q完全可能为1,因此，在解题时应先讨 论公比q 11dk .y x 1

9、.直线与抛物线仅有一个交点，0，解得 2所求直线为2错误分析此处解法共有三处错误：第一，设所求直线为y kx 1时，没有考虑k 0与斜率不存在的情形，实际 上就是承认了该直线的斜率是存在的，且不为零，这是不严密的。第二，题中要求直线与抛物线只有一个交点，它包含相交和相切两种情况，而上述解法没有考虑相切的情况，只考虑相交的情况。原因是对于直线与抛物线“相切”和“只有一个交点”的关系理解不透。第三，将直线方程与抛物线方程联立后得一个一元二次方程，要考虑它的判别式，所以它的二次项系数不能为零，即 k 0，而上述解法没作考虑，表现出思 维不严密。正确解法 当所求直线斜率不存在时，即直线垂直x轴，因为过

10、点（0，1）,的情况，再在q 1的情况下，对式子进行整理变形。正确解法 若q 1,则有S3 3a1,S6 6a1,S9 9a1.但ai 0,即得S3 S6 2S9,与 题设矛盾，故q 1. 369a1（1 q ） a1 （1 q ） 2 a1（1 q ）又依题意 S3 s6 2s91 q 1 q1 qq3（2q6 q3 力=0,343 333q .即（2q1）（q 1） 0，因为q 1,所以q 1 0,所以2q 1 0.解得 2说明 此题为1996年全国高考文史类数学试题第（21）题，不少考生的解法同错误解 法，根据评分标准而痛失2分。 2（2）求过点（0，1）的直线，使它与抛物线y2x仅有一

11、个交点。错误解法 设所求的过点。1）的直线为y kx 1,则它与抛物线的交点为y kx 1 222 2y 2x ,消去 y 得（kx 1） 2x 0.整理得 k x （2k 2）x 1 0.2所以x 0,即y轴，它正好与抛物线y 2x相切。当所求直线斜率为零时，直线为 y = 1平行x轴，它正好与抛物线y2 2x只有一个交点。一般地，设所求的过点y2（0,1）的直线为y kx 1（k ）,则ykx 12 2-k x(2k 2)x 1 0.令一10,解得k = 2 ,y.所求直线为2x,lx 1.2综上，满足条件的直线为:y 1, x 0, y章节易错训练题1、已知集合M= 直线 , N = 圆

12、，则MA N中元素个数是(A)或2(B) 0A（集合元素的确定性）（C） 0 或 2 （D） 0 或 12、已知 A = x | x2 + tx + 1 = 0，若 An R* =，则实数集合T =tt 24、命题A： x值范围是(A) (4,(B) 4,(C) (，3 4)5、若不等式c.1X2 logax0在（0, 2 ）内包成立，则实数a的取值范围是A（等号）1(A) 16 ,1)(B) (1, + )1院,1)1(D) ( 2 ,1) U (1,2)6、若不等式（1）na(-1)n + 1 2 + 1对于任意正整数n包成立，则实数a的取值范(空集)3、如果kx2+2kx(k+2)0恒成

13、立，则实数k的取值范围是C(等号)(A) -1k0 (B)-1 k0 (C)-1k0 (D) 1k013,命题B：（x 2）（x a）0x f 14、函数y = sin x (1 + tan x tan 5 )的取小正周期是 C (止义域)的反函数 f1(x)=一。2x2x1x 0x1x- 1(漏反函数定义域即原函数值域)11、函数 f ( x) = logx + 2)值域为R,则实数a的取值范围是D(正确使用学0和40, y0Hx+2y=1,那么2x+3y x 4x 3 2的最小值为B(隐含条件)(A) 2(B)4(C)3(D) 0(定义域)(8, 13、函数y= x x 6的值域是 ) u

14、 ( 5 ,1) u (1,+ 00)(A) 2(B)(C) 2(D) 315、已知f (x)是周期为2的奇函数，当x 0,1) 时，f (x) = 2 x,则23) = D(对数运算)23(A)而16(B) 2316(C) -2323(D) -w3,2-16、已知函数f（x）ax bx 3x在x1处取得极值。（1）讨论1）和1）是函数f（x）的极大值还是极小值;(2004天津)（2）过点A（0，16）作曲线y f（x）的切线，求此切线方程。（求极值或最值推理判断不充分（建议列表）；求过点切线方程，不判断点是否在曲线 上。）17、已知tan(-3 )=3则tansin ? cos ?3cos

15、2? -2sin 2?（化齐次式）18、若 3 sin2+ 2 sin2 sin2cos的最小值是14（隐含条件）319、已知sin+ cos-（隐含条件）20、在 ABC中，用a、b、c和A、B C分别表示它的三条边和三条边所对的角， 若a =2、A -4 ,则/ B = B(隐含条件)(A)12(B) 6(C)21、已知12a0 , b0 ,a+b=1,则(a + )a 或5(b +或比(D) 121212 , ，一b ）的最小值是.。IF (相等）22、已知(k Z),函数 y = sin 2x +4sin2x的最小值是y23、求2一 2 sin x82cos x的最小值。错解12 ys

16、in x2 2 cos x22sin x cos x|sinxcosx |感谢你的观看错解2错误分析2在解法1中，y 16的充要条件是sin2x8 口2且 | sin 2x | 1. cos x,1 L ,. 一|tanx | 一且 |sinx | 1.即2这是自相矛盾的。I在解法2中，y 1 672 的充要条件是ymin 16.2 sin2 x且一82cos2 x, 即 sin2 xsin xcos x、2, cos2 x 2 2,这是不可能的。22正确解法1 y 2csex 8sec x其中 当 cot2 x 4tan2 x,即 cot2 x 2时,y 18. ymin 18.正确解法2取

17、正常数k ,易得其中“”取“=”的充要条件是tan2 x 1 时，y 6 2k k因此，当218, y min18.24、已知 a1 = 1 , an = an + 2 n 1(n 2),则 an =2n1（认清项数）25、已知 一9、&、a2、- 1四个实数成等差数列，一9、b、d、b3、-1五个实数成等比数列,则“（& 一 a1）= A（符号）(A) -8 (B) 8 (C)(D)26、已知a n是等比数列，S是其前n项和，判断0, &S, &kS2k成等比数歹1吗? 当q = 1, k为偶数时，& = 0 ,则&, S2k-S, &k Sk不成等比数列； 当qw1或q = 1且k为奇数时

18、，则 &, &k&, &k&k成等比数列。（忽视公比q = 1）27、已知定义在R上的函数f（x）和数列an满足下列条件：a1a,anf（an1）（n2, 3, 4, .）,a2a1,f（an） f（a n 1） = k（an an1）（n = 2,3,一）,其中a为常数，k为非零常数。（1）令bnan 1 an （nN*）,证明数列bn是lim an等比数列；（2）求数列an的通项公式；（3）当1k | 1时，求n 。（2004天津）（等比数列中的0和1,正确分类讨论）感谢你的观看感谢你的观看28、不等式m2(m23m)i 也，误认短轴是b = 2啦；要分析直线PQ斜率是否存在（有时也可以设

19、为x = ky + b）先；对一元二次方程要先看二次项系数为 0否，再考虑 0, 后韦达定理。）41、已知双曲线的右准线为x 4,右焦点F（10，0）,离心率e 2,求双曲线方程。感谢你的观看感谢你的观看图3 2 错解24,c 10, c2240, b ca2 60.故所求的双曲线方程为2 x402 y601.错解2由焦点F(10,0)知c10,c 2, a a225,b ca2 75.故所求的双曲线方程为2 x252L 1.75错解分析这两个解法都是误认为双曲线的中心在原点,而题中并没有告诉中心在原点这个条件。由于判断错误，而造成解法错误。随意增加、遗漏题设条件，都会产生 错误解法。正解1设

20、P(x,y)为双曲线上任意一点，因为双曲线的右准线为x 4,右焦点22(x 10)2 y2F(10，0),离心率e 2,由双曲线的定义知|x 4|2.整理得(x 2)2162L 1.48正解2依题意，设双曲线的中心为(m，0)10c 2. a解得482.,所以,22b c64 16故所求双曲线方程为(x2)2162 y481.48,y242、求与y轴相切于右侧，并与。C:x 的轨迹方程。2y 6x 0也相切的圆的圆心2错误解法 如图3-2-1所示，已知。C的方程为(x 3)9.设点P(x,y)(x 0)为所求轨迹上任意一点，并且。P与y轴相切于M点，与。C相切于N点。根据已知条件得|CP| |

21、 PM | 3,即由x 3)2 y2 x 3,化简得 y2 12x (x 0).MNOC(3,0)图3 2-1错误分析本题只考虑了所求轨迹的纯粹性（即所求的轨迹上的点都满足条件），而没有考虑所求轨迹的完备性（即满足条件的点都在所求的轨迹上）。事实上，符合题目条件的点的坐标并不都满足所求的方程。从动圆与已知圆内切，可以发现以x轴正半轴上任一点为圆心，此点到原点的距离为半径（不等于3）的圆也符合条件，所以y 0 （x 0且x 3）也是所求的方程。即动圆圆心的轨迹方程是 y2 = 12x（x0）和y 0 （x 0且x 3）o因此，在求轨迹时，一定要完整的、细致地、周密地分析问题，这样，才能保证所求轨

22、迹的纯粹性和完备性。43、（如图3 2 2）,具有公共y轴的两个直角坐标平面 和 所成的二面角y轴等于60 .已知 方程。一2内的曲线c的方程是y2px （p错误解法 依题意，可知曲线c是抛物线,F - F（,0）, p在内的焦点坐标是20.因为二面角y轴一等于60 ,且x轴 y轴，x轴 y轴，所以 xox 600），求曲线C在 内的射影的曲线F是射影（曲线）的焦点,设焦点F在 内的射影是F（x，y）,那么，F位于x轴上，图 32从而 y 0, F OF 60 , F FO 90 ,一_p1p_ pOFOFcos 60-p. F（-,0）所以224所以点 4 是所求射影的焦点。依题意，射影是Rt MNH 中，HN HM cos60又知HM x轴（或M与O重合）HNx轴（或h与。重合），设N(x, y)1 -x2yx 2xy.2因为点M（x,y）在曲线y2px (p20）上，所以y2p(2x).2即所求射影的方程为y4 px(p0).344、设椭圆的中心是坐标原点，长轴x在轴上，离心率3 P(0-)2到这个椭圆上的最远距离是77 ,求这个椭圆的方程。错误解法依题意可设椭圆方程为2 x -2 a0)22,2. 22 c a