高中数学选修1-2、2-2导学案概要

1、rWj选修1-2知 识 探 素65一、回归分析的基本思想及其初步应用(一)问题1: “名师出高徒”这句彦语的意思是什么？有名气的老师就一定能教出厉害的学生吗？这两者之间是否有关?复习1:函数关系是一种 关系，而相关关系是一种 关系.复习2:回归分析是对具有 关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法，其步骤: - - .实例 从某大学中随机选取 8名女大学生，其身高/cm和体重/kg数据如下表所示:编R12345678身高165165157170175165155170体重4857505464614359问题：画出散点图，求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为172cm

2、的女大学生的体重解：由于问题中要求根据身高预报体重，因此 选自变量x, 为因变量.(1)做散点图：70504SJQLwh11*4IW IS5 160165 1TO 17?】部/篇从散点图可以看出 和 有比较好的 相关关系.8_% xyi -8xy所以b二谒二8_2'、Xi2 -8X i 1a = y -1 b x:于是得到回归直线的方程为(3)身高为172cm的女大学生，由回归方程可以预报其体重为 y =新知：用相关系数r可衡量两个变量之间 关系.计算公式为r>0,相关,r<0 相关；相关系数的绝对值越接近于1,两个变量的线性相关关系 ,它们的散点图越接近 r|>,两

3、个变量有 关系.例1、某班5名学生的数学和物理成绩如下表生 学科、ABCDE数学成绩(X)8876756462物理成绩(y)7865706260(1)画散点图；(2)求物理成绩y对数学成绩x的回归直线方程(3)该班某学生数学成绩为96,试预测其物理成绩变式：该班某学生数学成绩为55,试预测其物理成绩1、下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y (吨标准煤)的几组对照数据x3456y2.5344.5(1)请画出上表数据的散点图；(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程 y = bx + a ; 已知该厂技改前100吨甲产品的生

4、产能耗为90吨标准煤.试根据(2)求出的线性同归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤(参考数值 3M2.5+4父3+5父4+6父4.5=66.5)2、下列两个变量具有相关关系的是A.正方体的体积与边长B.人的身高与视力C.人的身高与体重D.匀速直线运动中的位移与时间3、在画两个变量的散点图时，下面哪个叙述是正确的A.预报变量在x轴上，解释变量在y轴上B.解释变量在x轴上，预报变量在y轴上C.可以选择两个变量中任意一个变量在x轴上D.可选择两个变量中任意一个变量在y轴上4、回归直线y =bx+a必过A. (0,0) B. (x,0) C. (0,y) D. (x, y)

5、5、|r越接近于1,两个变量的线性相关关系 .6、已知回归直线方程y =0.5x-0.81，则x =25时,y的估计值为 7、一台机器使用的时间较长，但还可以使用，它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有 缺点，每小时生产有缺点零件的多少，随机器的运转的速度而变化，下表为抽样试验的结果：转速x (转/秒)1614128有缺点零件数 y (件)11985(1)画散点图；(2)求回归直线方程；(3)若实际生产中，允许每小时的产品中有缺点的零件最多为10个，那么机器的运转速度应控制在什么范围内?复习1:用相关系数 r可衡量两个变量之间 关系.r>0,相关，r<0 相关；|r越接近于1

6、,两个变量的线性相关关系 ,它们的散点图越接近 ; |r|>,两个变量有 关系.新知：1、评价回归效果的三个统计量(1)总偏差平方和：(2)残差平方和:(3)回归平方和:2、相关指数： R2表示 对 的贡献，公式为：R2 =R2的值越大，说明残差平方和 ，说明模型拟合效果 .3、残差分析：通过来判断拟合效果.通常借助 图实现.残差图： 横坐标表木 , 纵坐标表木 .残差点比较均匀地落在一的区的区域中.说明选用的模型 ,带状区域的宽度越，说明拟合精度越 回归方程的预报精度越 .为了对x、y两个变量进行统计分析，现有以下两种线性模型:y=6.5x + 17.5, y =7x+17 ,试比较哪

7、一个模型拟合的效果更好例1、关于x与y有如下数据:x24568y3040605070例2、假定小麦基本苗数 x与成熟期有效苗穗y之间存在相关关系，今测得 5组数据如下:x15.025.830.036.644.4y39.442.942.943.149.2(1)画散点图；(2)求回归方程并对于基本苗数56.7预报期有效穗数；(3)求R2 ,并说明残差变量对有效穗数的影响占百分之几.nn5_5(参考数据：£ x2 =5101.51,£ xy =6746.76, £ (yi Q)2 =50.18, 工(y y )2 =9.117 )i 七i 七i zii ±1、

8、某班5名学生的数学和物理成绩如下表、产生 学科XABCDE数学成绩（x）8876756462物理成绩（y）7865706260求学生A,B,C,D,E的物理成绩的实际成绩和回归直线方程预报成绩的差一般地，建立回归模型的基本步骤：1、确定研究对象，明确解释、预报变量；2、画散点图；3、确定回归方程类型（用 r判定是否为线性）；4、求回归方程；5、评价拟合效果.知识拓展在现行回归模型中，相关指数 R2表示解释变量对预报变量的贡献率, 归分析，则可以通过比较 R2作出选择，即选择 R2大的模型.3 =y2 y .并作出残差图评价拟合效果R2越接近于1,表示回归效果越好.如果某组数据可以采取几种不同的

9、回归方程进行回2 .1、两个变量y与X的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数R如下，其中拟合效果最好的模型是A.模型1的相关指数R2为0.98 2.B.模型2的相关指数R为0.80C.模型3的相关指数R2为0.502.D.模型4的相关指数R为0.252、在回归分析中，残差图中纵坐标为A.残差 B.样本编号C. x D. en3、通过加为,川,en来判断模拟型拟合的效果，判断原始数据中是否存在可疑数据，这种分工称为A.回归分析B.独立性检验分析C.残差分析D.散点图分析4、R2越接近1,回归的效果.5、在研究身高与体重的关系时，求得相关指数R2=,可以叙述为“身高解释了69%的体重

10、变化,而随机误差贡献了剩余 ”所以身高对体重的效应比随机误差的 .6、下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量X(吨)与相应的生产能耗 y (吨标准煤)的几组对照数据x3456y2.5344.5(1)请画出上表数据的散点图；(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程 y = bx + a ； 已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤.试根据(2)求出的线性同归方程,预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤?（参考数值 3 2.5 4 3 5 4 6 4.5 = 66.5）(4)求相关指数评价模型如何建立非线性回归模型？实例一

11、只红铃虫的产卵数 y和温度x有关，现收集了 7组观测数据列于下表中，试建立 y与x之间的回归方程温度x/匕21232527293235产卵数y个711212466115325（1）根据收集的数据，做散点图 y 4400 350 300 2?0 200150 10050上图中，样本点的分布没有在某个 区域，因此两变量之间不呈在某一条指数函数曲线 y =ebx a的周围（a,b为待定系数）.对上式两边去对数，得ln y 二关系，所以不能直接用线性模型 .由图，可以认为样本点分布模型来建立y和x的非线性回归方程令z =ln y,则变换后样本点应该分布在直线 的周围.这样，就利用x2123252729

12、3235y711212466115325z =ln y作散点图（描点（为乌）6 -5 4 -3 Q 一1 -八O 20 22 24 2630 32 34 36由上表中的数据得到回归直线方程z二因此红铃虫的产卵数y和温度x的非线性回归方程为例1、一只红铃虫的产卵数 y和温度x有关，现收集了 7组观测数据列于下表中,温度x/匕21232527293235产卵数y个711212466115325（散点图如由图，可以认为样本点集中于某二次曲线y =Qx2的附近，其中g,C2为待定参数）试建立y与x之间的回归方程利用线性回归方程探究非线性回归问题，可按“作散点图 t建模t确定方程”这三个步骤进行 其关键

13、在于如何通过适当的变换，将非线性回归问题转化成线性回归问题知识拓展非线性回归问题的处理方法:bx -a1、指数函数型y=elny=ln（ebx*）,即lny=bx+a.令z=lny,把原始数据（x,y）转化为（x,z）,再根据线性回归模型的方法求出b,a.2、对数曲线型y=blnx+a处理方法：设x'=x2 ,原方程可化为y =bx'+a ,再根据线性回归模型的方法求出a,b.a,b.1、两个变量y与x的回归模型中，求得回归方程为y=e2x-2,当预报变量x=10时A.解释变量y=e'°B.解释变量y大于e逆C.解释变量y小于e速D.解释变量y在e"

14、30左右22、在回归分析中，求得相关指数 R =0.89,则A.解释变量解对总效应的贡献是11%B.解释变量解对总效应的贡献是89%C.随机误差的贡献是89%D.随机误差的贡献是0.89% 3、通过ei,e2,川,来判断模拟型拟合的效果，判断原始数据中是否存在可疑数据，这种分析称为A.回归分析B.独立性检验分析C.残差分析D.散点图分析4、在研究两个变量的相关关系时，观察散点图发现样本点集中于某一条指数曲线 则该模型的回归方程为 .5、已知回归方程 y =0.5lnxln2,则x=100时,y的估计值为 .y=ebx的周围，令z = ln y ,求得回归直线方程为 k = 0.25x 2.58

15、 ,天数x/天123456繁殖个数y/个6122549951906、为了研究某种细菌随时间 x变化，繁殖的个数，收集数据如下：(1)用天数作解释变量，繁殖个数作预报变量，作出这些数据的散点图;(2)试求出预报变量对解释变量的回归方程二、独立性检验的基本思想及其初步应用新知：1、分类变量： .2、2父2列联表：.探究任务：吸烟与患肺癌的关系B- 4 iB V P B S U W ET ' IS H不撮胖，隔患U巾斶总计不限则7 775427 8172 cm492 118急计J -Lil's.-"S 8749 4脂t,c*L'i» .J- "

16、*.1为涮查暧溺是否前患胸痛有影响.某肿喇研完所随机地调登 了 9超5人，得到如下第果f岁位：A>?衰】勺吸他与他肺噩列联表那么强期是否对患肺痛有影响？1、由列联表可粗略的看出：(1)不吸烟者有 患肺癌；(2)不吸烟者有 患肺癌.因此，直观上课的结论： .2、用三维柱柱图和二维条形图直观反映：(1)根据列联表的数据，作出三维柱形图：¥ "一一飞。0 6000 5000 4000 5000 2000 100G0/不唳烟吸烟不患肺癌 患肺癌由上图可以直观地看出，吸烟与患肺癌(2)根据列联表的数据，作出二维条形图30007000 - 60005000 400口 .3000

17、2000 0 1 ,°不吸烟吸烟由上图可以直观地看出,吸烟与患肺癌 根据列联表的数据，作出等高条形图：10 9 0 80.7.0.6.0 5-0.4-0.30.2-0/1 0不吸烟吸烟由上图可以直观地看出,吸烟与患肺癌2新知：统计量K 吸烟与患肺癌列联表;反之，不患肺屉患肺癌总计不吸烟aba+b吸烟Cdc+d总计a+cb+dafb+c+d假设H。：吸烟与患肺癌没关系，则在吸烟者和不吸烟者中患肺癌不患肺癌者的相应比例即因此，越小，说明吸烟与患肺癌之间关系K2 =例1吸烟与患肺癌列联表不患肺癌患肺癌总计不吸烟7775427817吸烟2099492148总计9874919965求K2.性别

18、与喜欢数学课程列联表:喜欢数学小喜欢数学总计男3785122女35143178总 计72228300求K2.知识拓展1、分类变量的取值一定是离散的，而且不同的取值仅表示个体所属的类别，如性别变量，只取男、女两个值，商品的等级变量只取一级、二级、三级，等等分类变量的取值有时可用数字来表示，但这时的数字除了分类以外没有其他的含义.如用“0”表示“男”，用“ 1”表示“女”.2.独立性检验的步骤（略）及原理（与反证法类似）反证法假设检验要证明结论A备择假设H1在A不成立的前提下进行推理在H1不成立的条彳下，即 H 0成立的条件下进行推理推出矛盾，息味着结论 A成立.推出有利于H1成立的小概率事件（概

19、率不超过 a的事件）发生，意 味着H1成立的可能性（可能性为（1 “）很大没有找到矛盾，不能对A下任何结 论，即反证法不成功推出有利于H1成立的小概率事件不发生，接受原假设1、某市为调查全市高中生学习状况是否对生理健康有影响，随机进行调查并得到如下的列联表:不健康健康总计不优秀41626667优秀37296333总计789221000求K2.三、独立性检验的基本思想及其初步应用1、独立性检验的原理及步骤：反证法假设检验要证明结论A备择假设Hi在A不成立的前提下进行推理在H1不成立的条彳下，即 H0成立的条件下进行推理推出矛盾，后味着结论A成立.推出有利于H1成立的小概率事件（概率不超过 a的事

20、件）发生，意 味着H1成立的可能性（可能性为（1 a ）很大没有找到矛盾，不能对 A下任 何结论，即反证法不成功推出有利于H1成立的小概率事件不发生，接受原假设探究任务：吸烟与患肺癌的关系小患肺并总计7 ns含7机T女酒E伽祗11孤尿计9 £74舞HaMSEkqiiMMBIiMHV口找5究去w有或相思否时出辟辅物旱忖，毋肿霹圻把所的插见调声T a 9i5 A,将刮如下错呈件位I Ail鹿I多砒电与趣睡痛到霸表璋后现期是普坤亲解痛肃影嘀？第二步：根据公式求 K 2观测值k=第一步：提出假设检验问题（它越小，原假设“ H0：吸烟与患肺癌没有关系”成立的可能性越 ；它越大，备择假设“ H1

21、 : ”成立的可能性越大.）第三步：查表得出结论P(k2>k)0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k0.4550.7081.3232.0722.7063.845.0246.6357.87910.83例1、在某医院，因为患心'脏病而住院的665名男性病人中，有 214人秃顶；而另外772名不是因为患心脏病而住院的男性病人中有175名秃顶.分别利用图形和独立性检验方法判断秃顶与患心脏病是否有关系？你所得的结论在什么范围内有效？例2、为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，在某城市的某校高中生中随机抽取300名学生，得到如下列

22、联表:喜欢数学课程小喜欢数学总计男3785122女35143178总计722283002由表中数据计算得到 K2的观察值k之4.513 .在多大程度上可以认为高中生的性别与是否数学课程之间有关系？为什么?1、某市为调查全市高中生学习状况是否对生理健康有影响，随机进行调查并得到如下的列联表:不健康健康总计不优秀41626667优秀37296333总计789221000请问有多大把握认为“高中生学习状况与生理健康有关”？1、在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是A.若k=6.635，则有99%的把握认为吸烟与患肺病有关，那么 100名吸烟者中，有99个患肺病.B.从独立性检验可知，

23、有99%的把握认为吸烟与患肺病有关时，可以说某人吸烟，那么他有99%的可能性患肺病C.若从统计量中求出有 95%的把握认为吸烟与患肺病有关，是指有5%的可能性使推断出现错误.D.以上三种说法都不对.2、下面是一个2 M 2列联表不健康健康总计不优秀a2173优秀22527总 计b46100则表中a,b的之分别是A. 94,96 B. 52,50 C. 52,54 D. 54,523、某班主任对全班 50名学生进行了作业量多少的调查，数据如下表认为作业多认为作业不多总计玩游戏18927不玩游戏81523总计262450则认为喜欢玩游戏与认为作业量多少有关系的把握大约为A. 99% B. 95%

24、C. 90% D.无充分依据 .,一 24、在独立性检验中，当统计量K满足 时,我们有99%的把握认为这两个分类变量有关系25、在2父2列联表中，统计量K =6、为考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如下列联表患病未患病总计用药41626667不用药37296333总 计789221000能以97.5%的把握认为药物有效吗？为什么？四、统计案例检测题一、选择题（本大题共 12小题，每题4分）1、散点图在回归分析中的作用是A.查找个体数目B.比较个体数据关系C.探究个体分类D.粗略判断变量是否呈线性关系2、对于相关系数下列描述正确的是A. r>0表明两个变量相关B. r<0

25、表明两个变量无关C. r越接近1,表明两个变量线性相关性越强D. r越小，表明两个变量线性相关性越弱3、预报变量的值与下列哪些因素有关A.受解释变量影响与随机误差无关C.与总偏差平方和有关与残差无关B.受随机误差影响与解释变量无关D.与解释变量和随机误差的总效应有关4、下列说法正确的是A.任何两个变量都具有相关系C.农作物的产量与施肥量是一种确定性关系B.球的体积与球的半径具有相关关系D.某商品的产量与销售价格之间是非确定性关系5、在画两个变量的散点图时，下面哪个叙述是正确的A.预报变量在x轴上，解释变量在 y轴上C.可以选择两个变量中任意一个变量在x轴上B.解释变量在x轴上，预报变量在 y轴

26、上D.可以选择两个变量中任意一个变量在y轴上(x,y)6、回归直线y =bx+a必过A. (0,0) B. (x,0) C. (0, y) D.7、三维柱形图中，主、副对角线上两个柱形高度的A.和 B.差C.积 D.商相差越大，要推断的论述成立的可能性就越大8、两个变量y与x的回归模型中，求得回归方程为y=e0.2x3,当预报变量x=103030A.解释变重y =eB.解释变重y大于eC.解释变量y小于e且D.解释变量y在e且左右2.一9、在回归分析中，求得相关指数R =0.89,则A.解释变量解对总效应的贡献是11% B.解释变量解对总效应的贡献是89%C.随机误差的贡献是 89%D.随机误

27、差的贡献是0.89%10、在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是A.若k=6.635，则有99%的把握认为吸烟与患肺病有关，那么 100名吸烟者中，有 99个患肺病.B.从独立性检验可知，有99%的把握认为吸烟与患肺病有关时，可以说某人吸烟，那么他有99%的可能性患肺病C.若从统计量中求出有 95%的把握认为吸烟与患肺病有关，是指有5%的可能性使得推断出现错误 .D.以上三种说法都不对.11、通过G£2,川,4来判断模拟型拟合的效果，判断原始数据中是否存在可疑数据，这种分析称为A.回归分析B.独立性检验分析C.残差分析D.散点图分析212、在独立性检验时计算的K的观测

28、值k=3.99,那么我们有 的把握认为这两个分类变量有关系A. 90%B. 95%C. 99%D.以上都不对二、填空题(本大题共4小题，每题4分)13、已知回归直线方程y =0.5x -0.81，则x =25时,y的估计值为14、如下表所不:不健康健康总计不优秀41626667优秀37296333总计7892210002计算k2=15、下列关系中：(1)玉米产量与施肥量的关系；(2)等边三角形的边长和周长；(3)电脑的销售量和利润的关系；(4)日光灯的产量和单位生产成本的关系.不是函数关系的是 .216、在一项打鼾与患心脏病的调查中，共调查 1768人，经计算的K =27.63,根据这一数据分

29、析，我们有理由认为打鼾与 患心脏病是 的.(填“有关” “无关”)三、解答题（本大题共 2小题，每题18分）17、为考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如下列联表患病未患病总计用药41626667不用药37296333总计789221000能以97.5%的把握认为药物有效吗？为什么？18、下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量X（吨）与相应的生产能耗y （吨标准煤）的几组对照数据X3456y2.5344.5（1）请画出上表数据的散点图；（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程 y = bx + a ； 已知该厂技改前100吨甲产品的生产能

30、耗为90吨标准煤.试根据（2）求出的线性同归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？（参考数值3 2.5 4 3 5 4 6 4.5 = 66.5）五、合情推理在日常生活中我们常常遇到这样的现象：(1)看到天空乌云密布，燕子低飞，蚂蚁搬家，推断天要下雨；(2)八月十五云遮月，来年正月十五雪打灯.以上例子可以得出推理是 的思维过程.探究任务：归纳推理,100=3+97问题 1:哥德巴赫猜想：观察 6=3+3, 8=5+3, 10=5+5, 12=5+7, 12=7+7, 16=13+3, 18=11+7, 20=13+7,50=13+37,猜想：.问题2:由铜、铁、铝、金

31、等金属能导电，归纳出 .新知：归纳推理就是由某些事物的 ，推出该类事物的 的推理，或者由 的推理.简言之，归纳推理是由 的推理.例1、观察下列等式：1+3=4= 22 ,2 1+3+5=9= 3 ,1+3+5+7=16= 4 ,21+3+5+7+9=25= 5 , 你能猜想到一个怎样的结论？变式：观察下列等式：1=11+8=9, 1+8+27=36, 1+8+27+64=100 ,你能猜想到一个怎样的结论？例2、已知数列an 的第一项a1 =1 ,且an41 =1an,n(n =1,2,3)，试归纳出这个数列的通项公式an变式：在数列 an中,an =-(3n +)(n >2 ),2an

32、试猜想这个数列的通项公式1、应用归纳推理猜测 JlIlHIl 222川2的结果.),试猜想这个数列的通项公式.2a ,2、在数列 an中，a1 =1 , an+ = ( n 匚 N2 an归纳推理的一般步骤：通过观察个别情况发现某些相同的性质；从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想)知识拓展 0q12 23 31、费马猜想：法国业余数学家之王一费马( 1601-1665)在1640年通过对Fo=2 +1=3, E =2 +1=5, F2 = 2 +1=17, F3 =2 +1=257,q4nF4=2一一 17、已知数列 an的前n项和Sn , a1,满足Sn + +2=a0(n之

33、2)，计算&,$£§,并猜想S的表达式.虫=6 553制察，发现其结果都是素数，提出猜想：对所有的自然数n,任何形如Fn=22+1的数都是素数.后来瑞士5数学家欧拉发现 F5 =22 +1 =4 294 967 297 =641父6 700 417不是素数，推翻费马猜想.2、四色猜想：1852年，毕业于英国伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象:.；四色猜想成了世界数学界关注的问题.1976年,1200个小时，作了 100亿逻辑判断，完成证明。1、下列关于归纳推理的说法错误的是A.归纳推理是由一般到一般的一种推理过程C.归纳

34、推理得出的结论具有或然性，不一定正确B.归纳推理是一种由特殊到一般的推理过程D.归纳推理具有由具体到抽象的认识功能每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色 美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用22、右f(n)=n +n+41,n=N ,下列说法中正确的是A. f(n)可以为偶数B. f(n)一定为奇数C. f(n)一定为质数D.f (n)必为合数3、已知 f(x+1) =2f(x)f(x) 2,f (1)=1 (xWN*),猜想f(X)的表达式为4、A. f(x)=B. f(x)=C. f(x)=D. f(x)2x 111f(n) =12

35、 3f(2)=-,f(4) 2,f(8) -,f(16) 3,f(32)猜测当n之2时，有25、从1=12,2 +3+4 =32,3+4+5+6+7 =52中得出的一般性结论是 .6、对于任意正整数 n,猜想(2n -1)与(n+1)2的大小关系1111、已知 & >0 (i =1,2，W，n),考察下列式子：(i)ai >1 ； (ii)+a?)(一十一)之4 ； a1aa21 11(i i )(计 2a+ 3aH-4 心 9们可以归纳出，对a0,川，an也成立的类似不等式为 .a1a2a3 .12、猜想数列11 3113 5,5 71 HIW的通项公式是7 9鲁班由带齿

36、的草发明锯；人类仿照鱼类外形及沉浮原理发明潜水艇；地球上有生命，火星与地球有许多相似点，如都是绕太阳运行、绕轴自转的行星，有大气层，也有季节变更，温度也适合生物生存，科学家猜测：火星上有生命存在.以上都是类比思维，即类比推理。新知：类比推理就是由两类对象具有 和其中,推出另一类对象也具有这些特征的推理.简言之,类比推理是由 到 的推理.例1、类比实数的加法和乘法，列出它们相似的运算性质类比角度实数的加法实数的乘法运算结果运算律逆运算单位元变式：找出圆与球的相似之处，并用圆的性质类比球的有关性质圆的概念和性质球的类似概念和性质圆的周长圆的面积圆心与弦（非直径）中点的连线垂直于弦与圆心距离相等的弦

37、长相等，与圆心距离不等的两弦不等， 距圆心较近的弦较长以点（xo,yo）为圆心，r为半径的圆的方程为（xxo）2+（yy0）2 =r2例2、类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想bI*变式：用三角形的下列性质类比出四面体的有关性质三角形四向体三角形的两边之和大于第三边三角形的中位线平行且等于第三边的一半 1二角形的面积为 S=-(a+b+c)r (r为二角 2形内切圆的半径)新知：和 都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行 ,然后提出 的推理,我们把它们统称为合情推理.一般说合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，未必可靠1、如图，若射线OM, ON上分别存

38、在点Mi，M2与点M，N2,则三角形面积之比 SOMN =°Ml,0'1 .若不在同一平面内的SOM2N2 OM2 ON2射线OP, OQ上分别存在点P,P2 ,点Q,Q2和点R,R2 ,则类似的结论是什么？16成立；在五边形 ABCDE中,111911112、在 MBC中 不等式 一十一 十之一成立；在四边形 ABCD中，不等式 一+ + +之 ABC 二ABCD不等式1+1+1+1+工之生成立.猜想，在n边形A1A2川An中，有怎样的不等式成立？A B C D E 3二1、类比推理是由特殊到特殊的推理 .2、类比推理的一般步骤：找出两类事物之间的相似性或一致性；用一类事物

39、的性质去推测另一类事物的性质得出一个命题(猜想)3、合情推理仅是 含乎情理”的推理，它得到的结论不一定真，但合情推理常常帮我们猜测和发现新的规律，为我们提供证明的思路和方法1、下列说法中正确的是A.合情推理是正确的推理B.合情推理就是归纳推理C.归纳推理是从一般到特殊的推理D.类比推理是从特殊到特殊的推理2、下面使用类比推理正确的是A.若a 3 =b 3,则 a =b ”类推出 若a0=b0Ua=b"B.若(a + b)c = ac + bc”类推出 (a b)c = ac bc”C.若(a +b)c =ac 十bc”类推出-b =a +b (c wQ "D. (ab) n

40、 = anbn"类推出(a + b) n = an + bnc c c3、设 (x) =sinx,fi(x) = %(x) , f2(x)= f；(x),|,fn由(x)= fn'(x) ,ne N,则 f2007(x) =A. sin xB. sin xC. cosxD. cosx4、一同学在电脑中打出如下若干个圆C*00»000*0000#00000»-若将此若干个圆按此规律继续下去, 得到一系列的圆，那么在前2006个圆中有 个黑圆.5、在数列1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, x, 34, 55中的x的值是. 、.一.i i J .一一上.

41、一一 * ，6、在等差数列an中，右00=0,则有a1 +a2+HI + an =a+a2+Ill + a193(n<19,nu N )成立，类比上述性质,在等比数列bn中，若b9 =1,则存在怎样的等式？ 7、在各项为正的数列 On)中，数列的前n项和Sn满足Sn = an + 2 kan )(1)求 a1，a2,a3；(2)由(1)猜想数列 On1的通项公式；(3)求 Sn六、演绎推理复习1:归纳推理是由 到 的推理.类比推理是 由 到 的推理.复习2:合情推理的结论 .观察下列例子有什么特点？(1)所有的金属都能够导电，铜是金属，所以 ;(2)太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行

42、，冥王星是太阳系的大行星，因此 ;(3)在一个标准大气压下，水的沸点是100 C ,所以在一个标准大气压下把水加热到100 C时，工(4) 一切奇数都不能被 2整除，2007是奇数，所以 ;(5)三角函数都是周期函数，sina是三角函数，所以 ;(6)两条直线平行，同旁内角互补.如果A与B是两条平行直线的同旁内角，那么 .新知：演绎推理是从 出发，推出 情况下的结论的推理.简言之，演绎推理是由 到 的推理.所有的金属都导电铜是金属铜能导电已知的一般原理特殊情况 根据原理，对特殊情况做出的判断大前提小前提的论新知：“三段论”是演绎推理的一般模式：大前提一一；小前提一一;结论一一 例1、在锐角三角

43、形 ABC中，AD_LBC,BE _LAC , D, E是垂足.求证：AB的中点M至U D , E的距离相等新知：用集合知识说明“三段论”：大前提：小前提：结例2、证明函数f（x）=x2+2x在（-«, -1止是增函数应用“三段论”解决问题时，首先应该明确什么是大前提和小前提，但为了叙述简洁，如果大前提是显然的，则可以省略 例3、下面的推理形式正确吗？推理的结论正确吗？为什么?所有边长相等的凸多边形是正多边形，（大前提）菱形是所有边长都相等的凸多边形，（小前提）菱形是正多边形.（结论）在演绎推理中，只要前提和推理形式是正确的，结论必定正确1、用三段论证明：通项公式为an =cqn （

44、cq丰0）的数列4是等比数列2、在 AABC中，AC ABC , CD是AB边上的高，求证/ACD a/BCD .证明：在 MBC 中，CD _LAB, AC ABC ,所以 AD ABD ,于是ACD >/BCD .指出上面证明过程中的错误 .1、合情推理J归纳推理：由特殊到一般比推理：由特殊到特殊;结论不一定正确2、演绎推理：由一般到特殊.前提和推理形式正确结论一定正确知识拓展乒乓球教练组将从右手执拍的选手R、S、T和左手执拍的选手 L、M、N、。中选出四名队员去参加奥运会。要求至少有两名右手执拍的选手，而且选出的四名队员都可以互相配对进行双打。已知s不能与L配对.T不能与N配对，M

45、不能与L或N配对。若R不被选入队中，那么有几种不同的选法A.只有一种B.两种 C.三种 D.四种 V 1V 1V1、因为指数函数y=ax是增函数，y=(-)x是指数函数，则y = (一)x是增函数.这个结论是错误的，这是因为 22A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误2、有这样一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，是因为A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误3、有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面，则平行于平面内所有直线；已知直线b0平面口，直线aq平面a，直线b /平面a ,则直线b /直线a”的

46、结论显然是错误的，这是因为A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误4、归纳推理是由 的推理;类比推理是由 到的推理；演绎推理是由到的推理.5、合情推理的结论 ;演绎推理的结论 .6、用三段论证明：在梯形 ABCD中，AD/BC , AB=DC ,则2B =2C .一37、用三段论证明：f(x)=x +x(x=R)为奇函数.七、合情推理与演绎推理（练习）复习1:归纳推理是由 到 的推理.类比推理是 由 到 的推理.合情推理的结论.复习2:演绎推理是由 到 的推理.演绎推理的结论.例1、观察：t a n f 0 t a n2 0 t(an 200+tan 6 00 ta$60 t

47、 a n 1 0 1;t a n05 tarf 1 0t a n 1 0 0t a n 7 5 0 t a i°F 7 5 t an 5 1由以上两式成立，推广到一般结论，写出你的推论 、.，、 一，. C333变式：已知：sin 30 +sin 90 + sin 150 = 一22'2,2_3sin 5 sin 65 s i n1 2 5 = 一2通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题，并给出的证明例2、在RtMBC中，若NC =90°,则cos2 A+cos2 B =1,则在立体几何中，给出四面体性质的猜想变式：已知等差数列an的公差为d ,前n项和为S

48、n,有如下性质:(1) an =am +(n m)d ,*、(2)右 m +n =p +q,(m,n, p,q uN ),贝U am +an =ap +aq,类比上述性质，在等比数列6中，写出类似的性质.1、若数列 Gn的通项公式 an =一二(nW N+),记 f(n) = (1a1)(1 a2)(1an)，试通过计算 f(1), f (2), f(3)的值, (n 1)2推测出f(n)=.12、若三角形内切圆半径为r,三边长为a,b,c,则三角形的面积 S=-r(a+b+c),根据类比思想，若四面体内切球半径为R,2四个面的面积为则四面体的体积 v=.1、合情推理纳推理：由特殊到一般 送E

49、比推理：由特殊到特殊;结论不一定正确2、演绎推理：由一般到特殊.前提和推理形式正确结论一定正确知识拓展有金盒、银盒、铝盒各一个，只有一个盒子里有肖像，金盒上写有命题p：肖像在这个盒子里，银盒子上写有命题q：肖像不在这个盒子里,铝盒子上写有命题r：肖像不在金盒里，这三个命题有且只有一个是真命题，问肖像在哪个盒子里？为什么?1、由数列1,10,100,1000,|,猜想该数列的第n项可能是A. 10nB.10nlC.10n+D.11n 2、下面四个在平面内成立的结论 平行于同一直线的两直线平行一条直线如果与两条平行线中的一条垂直，则必与另一条相交 垂直于同一直线的两直线平行一条直线如果与两条平行线

50、中的一条相交，则必与另一条相交 在空间中也成立的为A.B. C. D.3、用演绎推理证明函数y=x3是增函数时的大前提是A.增函数的定义B.函数y=x3满足增函数的定义C.若 x1 <X2 ,则 f (x1) < f(X2)D.若 X1 <x2 ,则 f (xj > f(X2)a4、在数列a。中，已知a =2,，+= (n w N )，试归纳推理出 a =.3an 1/f (4)=5、设平面内有n条直线 (n之3),其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点.若用f(n)表示这n条直线交点的个数，则当n > 4时，f(n)= (用含n的数学表达式表示).

51、6、证明函数f(x)=x2+4x在2,收)上是减函数7、数列an满足Sn =2n - an,先计算数列的前4项，再归纳猜想小 .八、综合法和分析法已知 a,b 0，求证：a（b2 -c2）»b（c2 »a2）=4abc.新知：一般地 利用，经过一系列的推理论证，最后导出所要证明的结论成立 这种证明方法叫 综合法.例 1、已知 a,b,cWR+, a+b+c=1,求证：-+- +- >9a b c变式：已知 a,b,cWR +, a+b+c=1,求证：（-i）（l -1）（- -1）8 . a b c例2、在 ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c,且A、B、C成等差数列，a、b、c成等比数列.求证：为乙ABC等边三角形变式：设在四面体 P ABC中，/ABC =90：PA = PB =PC, D是AC的中点.求证：PD垂直于AABC所在的平面1、求证：对于任意角 0 , cos4日sin4H =cos2日2、A,B 为锐角，且 tan A+tanB + 点tan Atan B =点， 求证：A+B=60'.(提示：算 tan(A+B)知识拓展综合法是中学