求函数解析式的方法函数解析式的方法

1、函数解析式的方法在高中数学学习中，会遇到求函数解析式的一类题， 这里是指已知fg(x)或gf(x)，求f(x)或g(x)，或已知f (x)或g(x)，求f g(x)或g f (x)等复合函数的解析式，这些问题是学生在学习中感到棘手的问题。解决这些问题是否有一套有效的方法可循呢？回答是肯定的。这类题在现行的高中数 学教科书中几乎没有，但在一些二类教材如目标测试等书中有很多类似题，它与课本上的函数这一内 容关系密切，并且具有一定的规律性，故就有一些有效的解题方法，根据本人的教学心得整理如下：一、定义法：例 1 1：设f (x 1) x23x 2，求f (x). .解：f (x1)2x3x2(x1)

2、 123(x 1) 1 2= =(x 1)25(x 1) 62f (x) x 5x6例 2 2 :设ff(x)x 1，求x 2 f (x)解：设ff (x)x 1x 11f(x)-1x 2x 1111x1x1例 3 3:设f (x)x21x2x,g(x丄)x3x 1-3x，求fg(x). .1解：f(x -)x21x2x(x丄)2x2f(x) x22又g(x I) x3x113(x)xx33(x丄)xg(x)x33x故fg(x)(x33x)22x66x49x22例 4 4 :设f (cos x)cos17x,求 f (sin x). .解、待定系数法:例 5 5:已知f (x 2) 2x29x

3、 13，求f(x). .解：显然，f(x)是一个一元二次函数。设f(x) ax2bx c (a 0)f (sin x)fcos( x) cos17( x)cos(8217x)cos(?17x)sin17x. .(3(3)则f(x 2)又f(x 2)1 f (x)3a(x 2)22x22x2三、换元（或代换）法:1 x例 6 6 :已知f( )x1 x解：设 xt,则x1Tt 1cosxf(t)例 8 8 :若9xb(x 2) c13(t比较系数1,求f (X). .xf(t)1)21f (xx-)(t1)t2f (cos x1)2cos x，求f (x). .1,(tf(x)在（1 1）式中以

4、又以(1)cosxf(x)ax24a(b4a2b4a)x (4a132b c)1)2, ( 2 t 0)即 f(x)x 1彳f( ) 1xxf(x(1)x212-xf(x)cosx1,cosx t1)2,2,0 x 1代替x得f ()xf(丿1-)2x 1(2)代替（1 1）式中的1(2) 得 : 2f(x)12x(x 1)x得:f()f(x)x 2 2x 13xx(x 1)x21例 9 9:设f (x)满足 af (x)bf(-)xcx (其中 a,b,c 均不为 0,且 ab)，求f (x)。解:af(x) bf)cxx(1(1)用1来代替x，得af(-)xbf(x)(2)a (1)b (

5、2)得:(a2b2)f(x)acx2bca四、反函数法:f(x)2acxbc(a2b2)x解:设tax 10，则x 1logat即xlogat1代入已知等式中，得f(t)(log；J 1)22 log2t2 logat 3f(x)2logax 2 logax 32,求f(x). .2x1)例 1010：已知f (ax五、特殊值法:1，对于任意正整数x,y，均有f(x)解：由f(1)1，f(x)f(y)f(xy) xy设y即：f (x 1)f(x) x1在一上式中，x分别用1,2,3,可得：f (t)1丄丄2(t2)(t1)1 b221-t f(x)六、累差法：例 1212:若f (1)lg1，

6、且当x2 时,满足 f(x 1)1得：f(x),t 1代替,解:f(x)f(x 1) lgaxf(x2)x 3f (x 3) lga1 f(x 1)然后各式相加(x N )lgax1,(a0,x1(a 0,x N )递推得：f (x 1)f(xf(3)2)f (2)iX 2lg alg a2f (y) f (x y) xy，求f (x). .(3(3)例 1111 :设f (x)是定义在N上的函数，满足f (1)f(2)f(1) lgax(x1)X(x1)1八,1221x(x 1)lg lg a2lg a21 lgaa2以上(x1)个等式两边f(x)f (1) lga lga2x 2x 11 2lg a lg a f(1) lga(x 2)(x 1)22七、归纳法:例 1313:已知f(x 1)2f (x), (xN )且 f (1)a，求f (x). .解:f(1) a, f(2)f(3)1訂f(4) 2f(3) 22(212012?af(5)12f(4)41 1-(3-2 2类推，得f(x)2? x12x1解:八、微积分法:例 1414：设f (sin2x)f(x)f(1)