初中数学九年级《逆推法》培优竞赛辅导导学讲义

1、初中数学竞赛辅导资料(13)逆推法甲内容提要1.如果把探求问题的常规方法叫做顺向推理，那么与习惯方法相反的逆向推理方法，就 可以叫做逆推法顺与逆是相对而言，没有绝对的界限.2.逆向推理包括了公式、法则、定义、定理的逆向应用例如：1乘法公式的逆向应用之一，就是因式分解还有其他变形的应用，如：(x+y)2=x2+xy+y2，以 x, y 的基本对称式，表示 x, y 的平方和、立方和(差):222333x +y =(x+y) - 2xy , x +y =(x+y) - 3xy(x+y).2分数的加减法则的逆向应用，可把一个分数(或整数)化为几个分数的和(差):a b1111= ,a b a b n

2、(n 1) n n 13“互为相反数相加得零”的逆向应用：0=a+(- a).在因式分解中折项，添项，配方都用到它，在证明恒等式或化简、计算中也常用它4公式的逆向应用要注意公式成立的前提例如：当 a 0 时，a=.a2；当 a0 时,a= -. a2；女口 xy0 时， 贝 U x-y=-.(x-y)2.5因为定义可以反叙，所以定义既是判定又是性质例如：相似多边形的定义：对应边成比例相似多边形 对应角相等方程解的定义：若 m 是方程 ax2+bx+c=0 的解，则 am2+bm+c=0;反过来，若 an +bn+c=0,则 n 是方程 ax +bx+c=0 的解.6对于定理的逆用，当然要先判断

3、定理的逆命题为真一个定理的题设和结论不只一项时，交换题设和结论中的一项，就组成一个逆命题， 故逆命题有多个，有真，有假 .一般地，若题设和结论都是唯一对象的定理，它有逆定理；对于分段式的定理也有逆定理 .3.解答数学题通常是：在顺向推理有困难时用反向推理；在正面探求有困难时用反面探 求；直接解答有困难时用简接解答.顺、逆两种方法都能熟练掌握，灵活应用，那么解题能力就能较大地提高.乙例题1 1 1例 1 解方程(a2- 2)x2+(r -c2)x+c2 a2=0 .(孑2=0).b bb3(a王0) a(a v0)的逆向应用是:分析：由观察法，可得到一个根为1 (方程各系数的和是 0).再用韦达

4、定理来解:21 12 2 2.方程 a -y+(p_c)+ G-a=0 ,有一个实数根是1 .b b可设另一根为 X2,根据韦达定理例 2.化简、,3- 5 - . 3 5.解：、3- 5 - , 3 J50,3 - 5 - 5=. (；3 - 5 -、.3 . 5 )2=3- 5 35-2 (3-、5)(3.5)一2.例 3.已知：a v1,b 1. 求证：a + b v 1 + ab分析：本题直接证明有困难，不论是从左到右或从右到左，都难以完成，估计是要 从某一个已知不等式出发.试用逆推法，从结论倒推出应有的不等式.由a +b叩+ab两边平方，得 a2+2ab+b21+2ab+a2b2.a

5、2+b2 a2b210,分解因式：(1 b2) (a2 1)0,由已知可推出这不等式.证明：Ta 1,b 0.(a21) (1b2)v0,a2+b2 a2b2 10,2 2 2 2 a +b + 2ab1+a b +2ab22 (a+b) CD.即证明/ BCD/ 1，有困难，不妨用反证法 这也是一种逆推法，从反面推导.证明：设 AB 不小于 AC,即卩 AB AC,/2/ABC./ BCD/ 2,/ ABC/ 1./BCD/1.BD CD.AB+ BD AC+ CD,这和已知条件相矛盾，故假设不能成立ABVAC.例 5.有 100 个人排成一列，自 1 往下报数，报奇数的人，走出队列，留下的

6、人按原顺序重新报数， 报奇数的又走出队列， 这样继续下去， 最后留下一人，问这人第一次报数是多 少？解：从第 1 , 2, 3次往下推，可知人数分别是留下的人，依次是报几号，最好是用逆推法，由最后一次，在一次，在 6 人中的报号必定是报 4;再上一次在 12 人中， 23,，2n.所以，第一次报数应是小于100 的 2 的最高次幕，T2610027,这人第一次报数是 26即 64.2n例 6. 计算：3X5X17X257XX(2+1).n分析：本题直接计算有困难， 可由通式221,用确定a2-b217 , 257,再逆用平方差公式a+b=,就可很快得出结果a b解：原式=(22 +1)(221

7、)(2，1)(28+1)(21)_ 22-1 24-1 28-1 216一1. . 22 2-1=2 -1 22-1 24-1 28-122n-1.=(22- 1)(22+1)(24+1)(28+1)(2卯1)2n 1=2 -1丙练习 572 2 2 21.已知：a,b,c,d 都是实数.求证：(a+b)(c+d)(ac+bd).100, 50, 25, 12, 6, 3 人，要确定3 人中的报号必定是 2 ;上 必是报8.其规律是：21, 22,n 的自然数值，回还原数 3,5,2.已知：a,b,c 是厶 ABC 的三边长. 求证：(ab+bc+ca)(a+b+c)1).1 11 122m n(xmxn)2 4a2x小王卖馒头，第一次卖去一半又半个，第二次卖去剩下的一半又半个，第三次又卖去剩下 的一半又半个，这时，还剩有馒头一个，问小王共拿几个馒头来卖？9 升,问原有各容器内的水各是几升？求证： 不论 a 取什么值，如下方程都有实数解(1+a)x4+x3 (3a+2)x2 4a=0.要使下列三个方程中至少有一个方程有实数根，2x2 2x+m=0,x2+2mx+m m+=0,90 张卡片，每张都写上一个非负整数，