中考二次函数压轴题专题分类训练

1、2019中考二次函数压轴题专题分类训练题型一：面积问题【例1】如图2,抛物线顶点坐标为点 C(1 , 4),交x轴于点A(3, 0),交y轴于点B(1)求抛物线和直线 AB的解析式；(2)求 CAB勺铅垂高 CDM Sa cab ；(3)设点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，是否存在一点P,使Sa pa9 Sa cab,若存在,8求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.【变式练习】1 .如图，在直角坐标系中，点A的坐标为(2, 0),连结OA将线段OA绕原点O顺时针旋转120。， 得到线段OB(1)求点B的坐标；(2)求经过A Q B三点的抛物线的解析式；(3)在(2)中抛物线的对称轴上是

2、否存在点C,使 BOC勺周长最小？若存在，求出点 C的坐标；若不存在，请说明理由.(4)如果点P是(2)中的抛物线上的动点，且在 x轴的下方，那么 PA沈否有最大面积？若有， 求出此时P点的坐标及 PAB的最大面积；若没有，请说明理由.7y轴分别交于F、G2 .如图，抛物线y = ax2+ bx + 4与x轴的两个交点分别为 A(4, 0)、B (2, 0),与y轴交于点C,顶点为D. E (1, 2)为线段BC的中点，BC的垂直平分线与 x轴、(1)求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；(2)在直线EF上求一点H,使 CDH勺周长最小，并求出最小周长；(3)若点K在x轴上方的抛物线上运动

3、，当 K运动到什么位置时， EFK勺面积最大？并求出最大面积.3.如图，已知：直线丫=-*+3交*轴于点A,交y轴于点B,抛物线y=ax2+bx+c经过A B、C(1, 0)三点.(1)求抛物线的解析式；(2)若点D的坐标为(-1 , 0),在直线y=x+3上有一点P,使AABO A ADP相似，求出点P的坐标；(3)在(2)的条件下，在 x轴下方的抛物线上，是否存在点E,使A ADE的面积等于四边形APC前面积？如果存在，请求出点 E的坐标；如果不存在，请说明理由.题型二：构造直角三角形【例2】如图，已知抛物线y=ax2+bx+c (aw。)的对称轴为x=1,且抛物线经过 A(1, 0)、C

4、(0,3)两点，与x轴交于另一点 B.(1)求这条抛物线所对应的函数关系式；(2)在抛物线的对称轴 x=1上求一点M使点M到点A的距离与到点 C的距离之和最小，并求此 时点M的坐标；(3)设点P为抛物线的对称轴 x=1上的一动点，求使/ PCB= 90o的点P的坐标.第”题图【变式练习】1 .如图，抛物线y= -|xZ 与 x 轴交于 a、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C.(1)求点A、B的坐标；(2)设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当ACD的面积等于 ACB的面积时，求点 D的坐标;(3)若直线l过点E (4, 0), M为直线l上的动点,当以A、B M为顶点所作的直角三角形

5、有且只有三个时，求直线l的解析式.2 .在平面直角坐标系 xOy中，已知抛物线 y=a(x+1)2+c(a >0)与x轴交于A、B两点(点A在点B 的左侧)，与y轴交于点C,其顶点为M,若直线MCW函数表达式为 y = kx 3,与x轴的交点为N, 且 CO隆 BCO 3-° 。10(1)求此抛物线的函数表达式；(2)在此抛物线上是否存在异于点C的点P,使以N、P、C为顶点的三角形是以 NC为一条直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标：若不存在，请说明理由；(3)过点A作x轴的垂线，交直线MCT点Q.若将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物线与线段 NQ总有公共点，则抛物线向上

6、最多可平移多少个单位长度？向下最多可平移多少个单位长度 ？3 .在平面直角坐标系内，反比例函数和二次函数y=k (x2+x-1)的图象交于点 A (1, k)和点B (1, - k).(1)当k=-2时，求反比例函数的解析式；(2)要使反比例函数和二次函数都是y随着x的增大而增大，求k应满足的条件以及 x的取值范围；(3)设二次函数的图象的顶点为 Q当4ABQ是以AB为斜边的直角三角形时，求 k的值4.如图(1),抛物线y =x2+x4与y轴交于点A, E (0, b)为y轴上一动点，过点E的直线y = x + b 与抛物线交于点B、C.(1)求点A的坐标；(2)当b=0时(如图(2), AB

7、E与ACE的面积大小关系如何？当 b>4时，上述关系还成立 吗，为什么？(3)是否存在这样的 b,使得|_BOC是以BC为斜边的直角三角形，若存在，求出 b;若不存在，说明理由.IEA图(1)第26题题型三：构造等腰三角形【例3】如图，已知抛物线 y=ax2 +bx+3 (aw0)与x轴交于点A(1, 0)和点B(3, 0),与y轴交于点C.(1)求抛物线的解析式；(2)在x轴上是否存在一点Q使得 ACQ为等腰三角形？若存在,请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由；(3)设抛物线的对称轴与 x轴交于点M ,问在对称轴上是否存在点巳使 CMP为等腰三角形?若存在，请直接写

8、出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.【变式练习】1 .如图，在平面直角坐标系中，点 A的坐标为(n m),点B的坐标为(n, - n),抛物线经过 A O B三点，连接 OA OB AB,线段AB交y轴于点C.已知实数mr n (m< n)分别是方程x2- 2x- 3=0的两根.(1)求抛物线的解析式；(2)若点P为线段OB上的一个动点(不与点 。B重合)，直线PC与抛物线交于 D E两点(点D 在y轴右侧)，连接OD BD.当 OPC为等腰三角形时，求点 P的坐标；求ABOD面积的最大值，并写出此时点D的坐标.2 .如图，抛物线y =ax2 5ax+4经过 ABC的三个顶

9、点，已知 BC / x轴，点A在x轴上，点C 在y轴上，且AC=BC(1)写出A,B,C三点的坐标并求抛物线的解析式； PAB是等腰三角形.若存(2)探究：若点P是抛物线对称轴上且在 x轴下方的动点，是否存在 在，求出所有符合条件的点 P坐标；不存在，请说明理由.3 .已知抛物线y =ax2+bx+c(a=0)顶点为C (1, 1)且过原点 O.过抛物线上一点 P (x, y)向5直线y = 一作垂线，垂足为 M连FM (如图).4(1)求字母a, b, c的值；3. (2)在直线x=1上有一点F(1-),求以PM为底边的等月三角形 PFM的P点的坐标，并证明此时 4 PFM为正三角形；(3)

10、对抛物线上任意一点 P,是否总存在一点 N (1, t),使P隹PN恒成立，若存在请求出 t值, 若不存在请说明理由.题型四：构造相似三角形【例4】如图，已知抛物线经过A (-2,0),B ( - 3,3)及原点O,顶点为C.(1)求抛物线的解析式；(2)若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且 A O D、E为顶点的四边形是平行四边形， 求点D的坐标；(3) P是抛物线上的第一象限内的动点，过点P作PMLx轴，垂足为 M是否存在点P,使彳#以P、M A为顶点的三角形 BOC相似？若存在，求出点 P的坐标；若不存在，请说明理由.【变式练习】1 .如图，已知抛物线经过 A (4, 0), B

11、 (1, 0), C (0, -2)三点.(1)求该抛物线的解析式；(2)在直线AC上方的该抛物线上是否存在一点D,使得 DCA的面积最大？若存在， 求出点D的坐标及 DCA面积的最大值；若不存在，请说明理由.(3) P是直线x=1右侧的该抛物线上一动点，过P作PMLx轴，垂足为 M,是否存在P点，使得以A、P、M为顶点的三角形与 OACf似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.2.如图，二次函数的图象经过点D(0, 7J3),且顶点C的横坐标为4,该图象在x轴上截得的线段AB的长为6.(1)求二次函数的解析式；(2)在该抛物线的对称轴上找一点P,使PA+PDt小，求出点

12、P的坐标；(3)在抛物线上是否存在点 Q使 QABWABCf似？如果存在，求出点 Q的坐标；如果不存在, 请说明理由.【例5】如图，已知抛物线 y=错误！未找到引用源。 x2-错误！未找到引用源。(b+1)x+错误！未 找到引用源。(b是实数且b>2)与x轴的正半轴分别交于点 A B (点A位于点B的左侧)，与y 轴的正半轴交于点 C.(1)点B的坐标为，点C的坐标为 (用含b的代数式表示)；(2)请你探索在第一象限内是否存在点P,使得四边形PCOB勺面积等于2b,且4PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；(3)请你进一步探索在第一象

13、限内是否存在点Q使彳QCO 4QOA和4QAB中的任意两个三角形均相似(全等可作相似的特殊情况)？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由.yf23【变式练习】1.如图，平面直角坐标系 xOy中，已知点A (2, 3),线段AB垂直于y轴，垂足为B,将线段AB 绕点A逆时针方向旋转90°,点B落在点C处，直线BC与x轴的交于点D.(1)试求出点D的坐标；(2)试求经过A、B、D三点的抛物线的表达式，y并写出其顶点E的坐标；(3)在(2)中所求抛物线的对称轴上找点F ,使得B A以点A、E、F为顶点的三角形与 ACD相似.1 O 1x（图7）12.已知直线y = x+1与x轴交

14、于点A,与y轴交于点B,将4AO电点O顺时针旋转90°,使点A 22洛在点C,点B洛在点D,抛物线y=ax+bx+c过点AD、C,其对称轴与直线AB交于点P,(1)求抛物线的表达式；(2)求/ POC勺正切值；y(3)点M在x轴上，且 ABMW4APD相似，求点 M的坐标。1 -3.如图，二次函数 y=ax2+bx+c的图象交x轴于A ( 1, 0), B (2, 0),交y轴于C (0, 2), 过A, C画直线.(1)求二次函数的解析式；(2)点P在x轴正半轴上，且 PA=PC,求OP的长；(3)点M在二次函数图象上，以 M为圆心的圆与直线 AC相切，切点为H.若M在y轴右侧，且

15、 CHMsAOC (点C与点A对应)，求点M的坐标;(法用图)题型五：构造梯形【例6】已知，矩形 OABCE平面直角坐标系中位置如图1所示，点A的坐标为(4,0)，点C的坐标2 一 _为(0, 2),直线y = x与边BC相交于点D.3(1)求点D的坐标；2(2)抛物线y=ax +bx + c经过点A D 0,求此抛物线的表达式；(3)在这个抛物线上是否存在点M,使。H A M为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出所有符合条件的点 M的坐标；若不存在，请说明理由.【变式练习】1 .已知平面直角坐标系 xOy中，抛物线y = ax2(a+1)x与直线y= kx的一个公共点为 A(4, 8). (1

16、)求此抛物线和直线的解析式；(2)若点P在线段0A上，过点P作y轴的平行线交(1)中抛物线于点 Q求线段PQ长度的最大 值；(3)记(1)中抛物线的顶点为 M点N在此抛物线上，若四边形 AOM脂好是梯形，求点 N的坐标 及梯形AOMNJ面积.2 .已知二次函数的图象经过 A (2, 0)、Q0, 12)两点，且对称轴为直线 x=4,设顶点为点P,与x 轴的另一交点为点 B.(1)求二次函数的解析式及顶点 P的坐标；(2)如图1,在直线y = 2x上是否存在点 D,使四边形 OPB时等腰梯形？若存在，求出点 D的坐 标；若不存在，请说明理由；(3)如图2,点M是线段OP上的一个动点(O P两点除

17、外)，以每秒个单位长度的速度由点 P 向点O运动，过点M乍直线MN/x轴，交PB于点N.将PMMg直线MN寸折，彳#到P1MN 在动点M的运动过程中，设4 口仙汹<梯形OMN的重叠部分的面积为 S,运动时间为t秒，求S关于t的 函数关系式.1.A3 .如图1,二次函数y =x2 + px+q(p <0)的图象与x轴交于A B两点，与y轴交于点C (0,1), ABC勺面积为5.4(1)求该二次函数的关系式；(2)过y轴上的一点 M (0, m)彳y轴的垂线，若该垂线与 ABC勺外接圆有公共点，求 m的取值 范围；(3)在该二次函数的图象上是否存在点D,使以A B、G D为顶点的四边

18、形为直角梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由.题型六：构造平行四边形【例7】如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过(1)求该抛物线的表达式；(2)点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使以点 有满足条件的点P的坐标。A ( 1 , 0) , B (3, 0), C (0, 1)三点、。Q P、A B为顶点的四边形是平行四边形，求所(第24融圈)【变式练习】1.如图，在平面直角坐标系 xOy中，一次函数y=-|x+ir (m为常数)的图象与x轴交于点A ( - 3, 0),与y轴交于点C.以直线x=1为对称轴的抛物线 y=ax2+bx+c (a, b, c为常数，且aO)经过A, C两点，

19、并与x轴的正半轴交于点 B.(1)求m的值及抛物线的函数表达式；(2)设E是y轴右侧抛物线上一点， 过点E作直线AC的平行线交x轴于点F.是否存在这样的点E,使得以A, C, E, F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E的坐标及相应的平行四边形的面积；若不存在，请说明理由；(3)若P是抛物线对称轴上使 4ACP的周长取得最小值的点，过点P任意作一条与y轴不平行的直线交抛物线于 M1 (x1，y)，M2 (x2, y2)两点，试探究 J是否为定值，并写出探究过程.M M2.如图1,在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A( 4,0)、B(0, 4)、Q2,0)三点.(1)求抛物线的解析式；(

20、2)若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为 E AMAB勺面积为S,求S关于m的函数关系式，并求出 S的最大值；(3)若点P是抛物线上的动点，点 Q是直线y= x上的动点，判断有几个位置能使以点P、Q BO为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标.3.如图，抛物线 y=ax2+bx+c交x轴于点A (-3, 0),点B (1, 0),交y轴于点E (0, - 3).点C 是点A关于点B的对称点，点F是线段BC的中点，直线l过点F且与y轴平行.直线y=-x+m过点 C,交y轴于D点.(1)求抛物线的函数表达式；(2)点K为线段AB上一动点，过点 K作x轴的垂线与直线 CD交

21、于点H,与抛物线交于点 G求线 段HG长度的最大值；(3)在直线l上取点M,在抛物线上取点 N,使以点A, C, M N为顶点的四边形是平行四边形，求 点N的坐标.【例8】已知平面直角坐标系 xOy (如图1), 一次函数y=3x+3的图像与y轴交于点A,点M在正4比例函数v-3X的图像上，且 MO= MA二次函数y_2XfVy = x2+bx+ c的图像经过点A M(1)求线段AM勺长；'(2)求这个二次函数的解析式；'(3)如果点B在y轴上，且位于点 A下方，点C在上述二次函J.数的图像上，点 D在一次函数y = 3x+3的图像上，且四边形0 14ABCD菱形，求点 C的坐

22、标.【变式练习】1.将抛物线ci： y=-T3x2+J3沿x轴翻折，得到抛物线 C2,如图1所示.(1)请直接写出抛物线 C2的表达式；(2)现将抛物线C1向左平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为M与x轴的交点从左到右依次为A B;将抛物线C2向右也平移 m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为N,与x轴的交点从左到右依次为 D E.当R D是线段AE的三等分点时，求 m的值；在平移过程中，是否存在以点 A M E、M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此 时m的值；若不存在，请说明理由.题型七：线段最值问题【例9】如图，抛物线 yx2+bx - 2与x轴交于A, B两点，与y轴

23、交于C点，且A( - 1, 0).2(1)求抛物线的解析式及顶点 D的坐标;(2)判断 ABC的形状，证明你的结论；(3)点M (m, 0)是x轴上的一个动点，当MC+MDJ值最小时，求m的值.【变式练习】1.如图，已知抛物线 y = ax2+bx+c与y轴交于点A(0 , 3),与x轴分别交于 B(1 , 0)、C(5 , 0) 两点.(1)求此抛物线的解析式；(2)若一个动点P自OA的中点M出发，先到达x轴上的某点(设为点 E),再到达抛物线的对称轴 上某点(设为点F),最后运动到点A求使点P运动的总路径最短的点E、点F的坐标，并求出这个最短总路径的长.2.如图13,抛物线y=ax2+bx

24、 + c(a W0)的顶点为(1,4),交x轴于A、B,交y轴于D,其中B点的坐标为(3,0)(1)求抛物线的解析式(2)如图14,过点A的直线与抛物线交于点 E,交y轴于点F,其中E点的横坐标为2,若直线PQ 为抛物线的对称轴，点 G为PQ上一动点，则x轴上是否存在一点 H,使D G F、H四点围成的四 边形周长最小.若存在，求出这个最小值及 G H的坐标；若不存在，请说明理由 .(3)如图15,抛物线上是否存在一点T,过点T作x的垂线，垂足为M,过点M作直线MN/ BD,交线段AD于点N连接MD使 DNMh BMD若存在，求出点 T的坐标；若不存在，说明理由 .【能力提升】1.已知，如图1

25、1,二次函数y=ax2+2ax_3a (a=0)图象的顶点为 H,与x轴交于A、B两点(B在 A点右侧，点H、B关于直线l : y =3x+V3对称.'3(1)求A、B两点坐标，并证明点A在直线l上；(2)求二次函数解析式；(3)过点B作直线BK / AH交直线l于K点，M、N分别为直线 AH和直线l上的两个动点，连接HN、2.如图.在直角坐标系中，已知点 A(0. 1. ), B( Y. 4).将点B绕点A顺时针方向旋转90°得到 点C,顶点在坐标原点白抛物线经过点B.(1)求抛物线的解析式和点C的坐标；(2)抛物线上一动点 P.设点P到x轴的距离为d1，点P到点A的距离为

26、d2,试说明d2=d1+1;(3)在(2)的条件下，请探究当点P位于何处时. PAC的周长有最小值，并求出 PAC的周长的最小值。1.【例10如图，已知直线丫=5乂+1与丫轴交于点A,与x轴交于点D：直线交于A、E两点，与x轴交于日C两点，且B点坐标为(1,0)。(2)动点P在轴上移动，当 PA弱直角三角形时，求点 P的坐标P。1 2 , 一抛物线y x - bx c与2(1)求该抛物线的解析式；(3)在抛物线的对称轴上找一点 M使| AM -MC |的值最大，求出点M的坐标。【变式练习】BC / AD , / BAD=90 °, BC 与 y1 .如图所示，在平面直角坐标系中，四边

27、形 ABCD是直角梯形,轴相交于点 M,且M是BC的中点，A、B、D三点的坐标分别是 A (- 1, 0) , B (- 1, 2), D (30).连接DM,并把线段 DM沿DA方向平移到 ON.若抛物线y=ax2+bx+c经过点D、M、N.(1)求抛物线的解析式.(2)抛物线上是否存在点 P,使得PA=PC?若存在，求出点 P的坐标；若不存在，请说明理由.(3)设抛物线与x轴的另一个交点为 巳点Q是抛物线的对称轴上的一个动点，当点 Q在什么位 置时有|QE- QC|最大？并求出最大值.题型八：周长问题知识点：1.在直线l上求作一点P,使得PA+PBM短.例1已知：抛物线y = ax2 +

28、bxC(2)已知在对称轴上存在一点巳 使得APBC的周长最小.请求出点 P的坐标.(3)已知在对称轴上存在一点Q,使得|QB-QC|的长最大.请求出点 Q的坐标.A'2.在直线l上求作一点 巳 使得|PA-PB|最长.(a =0)的对称轴为x = 1,与x轴交于A, B两点，与y轴交于点C,其中.A(-30卜0(0,-2 ).(1)求这条抛物线的函数表达式.例2已知：抛物线y = ax2 +4ax+t与x轴的一个交点为 A (1, 0)。( 1 )求抛物线与x 轴的另一个交点 B 的坐标；(2) D是抛物线与y轴的交点，C是抛物线上的一点，且以AB为一底的梯形 ABCD的面积为9, 求

29、此抛物线的解析式；(3) E是第二象限内到x轴、y轴的距离的比为5： 2的点，如果点E在(2)中的抛物线上， 且它与点A在此抛物线对称轴的同侧。问：在抛物线的对称轴上是否存在点P,使 APE的周长最小？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由。例 3 已知抛物线y=x2+(2n-1)x+n2-1 (n 为常数 ).(1) 当该抛物线经过坐标原点，并且顶点在第四象限时，求出它所对应的函数关系式；(2)设A是(1)所确定的抛物线上位于x轴下方、且在对称轴左侧的一个动点，过 A作x轴的平行线，交抛物线于另一点D,再作AB± x轴于B, DC! x轴于C.当 BC=1 时，求矩形AB

30、CD 的周长；试问矩形ABCD 的周长是否存在最大值？如果存在，请求出这个最大值，并指出此时A点的坐标；如果不存在，请说明理由 .例4如图，直角坐标系中， A (-2, 0), B (8, 0),以AB为直径作半。P交y轴于M,以AB为 ABCD(1)直接写出C M两点的坐标.(2)连CM,试判断直线 CM是否与。P相切？说明你的理由.Q坐标及最小周长；若不存在,(3)在x轴上是否存在一点 Q,使4QMC周长最小？若存在，求出 请说明理由.24解二由题意得悴-究+"0 c -22 、 4，此抛物线的解析式为¥ = " +，-2 3 3(2)连结，C、3c .因为8

31、c的长度一定j所以加C周长最小，就是使 PCPB最小.3点关于对称轴的对称点是M点,.4C与对群由工=-1的交点Ml为所求的 点尸.一把尤二T代入得y二一;，产点的坐标为j -1, - - j6分裂27(3) $存在最大值-理由：DE II PC即DE R AC二OEDS2U.OD OE nn2-w 0E » =，艮口= 1 ¥OC 0A 23/, 0£ = 3- w, 4E=3t OE = m 22方法一 ：连结。尸$ 二S四七再用白石一£而？ =SdFCE +S3FCD 一$3®川方法二解答:解二(D抛物线的对称轴是跖，：点人，B一定关于对

32、称轴对称，二另一个交点为E (-3i 0). 丫A，B的坐标分别是(T，0)，(-3, 0)，二心=3:对称轴为由-2，-*CB=4；设梯形的高是M1/SA0CO=|X 4) h=9,Ah=3*即卜止3,，二 t=±3.当t=3时,把(-1- 0)代入解析式得到丁4.+*口，当,7时，汨c-l, 0)代入解析式得到F-1，,'应=1或a=-l,解析式为产*44x+3或产r匕4工7 i由题意得，E在k|*上，且在k结侧，与抛物线a联立可鄙2+学优+拟h 36或k； 丫E与点A在此抛物线对称轴的同侧，E (一：,.2 4诙于对称轴的对称点B (-3* 0) s连赛与E交对称轴于点P，丁EE的方程为5 n= l,q-即产白共引 1口 5 3 之2, x=-2时，产!，即F (-2, 1). 22?=-会与产-/-廿3联立可得/+,+3=。，此方程无