2017-2018学年高中数学第一章解三角形1.2应用举例(一)学案新人教B版必修5

1、1. 2 应用举例（一）学习目标1.利用正、余弦定理解决生产实践中的有关距离的测量问题.2.利用正、余弦定理解决生产实践中的有关高度的测量问题3 培养学生提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力，并激发学生的探索精神.产预习导学聾 桃战自我点点落实_知识链接“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？ ”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？通过本节的学习，我们将揭开这个奥秘.预习导引1.仰角与俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角, 仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角，如图.目标视线在水平视线上方时2.方位角和方向角从正

2、北方向顺时针转到目标方向线的水平角叫方位角，方位角的范围是0,2n.从指定方向线到目标方向线所成的小于90的水平角叫方向角，如北偏东30,南偏东3.坡角与坡度坡面与水平面所成的二面角叫坡角，坡面的铅直高度与水平宽度之比叫坡度.戸课堂讲义全 車点难点.个牛击破_要点一 测量底部不能到达的建筑物的高度例 1 如图所示，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角为a,在 塔底C处测得A处的俯角为3.已知铁塔BC部分的高为h,求出山高CD解在厶ABC中,/BCA=90 + 3，目标视线水平视线目林视线2所给的背景资料中进行加工、抽取主要因素，进行适当的简化.跟踪演练 1 某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角

3、为 35,沿倾斜角为 20的斜坡前进 1000 m 后到达D处，又测得山顶的仰角为 65,则山的高度为 _ m(精确到 1 m, sin35 0.574).答案 812解析 过点 D 作 DE/ AC 交 BC 于 E,因为/DAC=20,所以/AD= 160,于是/ADB=360 160 65= 135 又/BAD35 20= 15，所以/ABD=30.在厶ABD中，由正弦定理，AB=AD；iri/ZABDB=1 0002(m).sin /ABD*在 RtABC中,BC= ABsin 35 812(m).要点二测量仰角求高度问题例2如图所示，A、B是水平面上的两个点， 相距800 m在A点测

4、得山顶C的仰角为45, /BAD=120,又在B点测得/ABD=45，其中D点是点C到水平面的垂足，求山高CD解 由于CDL平面ABD/CAD=45,所以CD= AD在厶ABD中,/BDA=180 45 120= 15/ABG=90/GAD=3 ，/BAG=a 3根据正弦定理得AC_BCsin /ABCsin /BAG.AC=B(cos a=hcosaa 3 SII a 3在 RtACD中,CD= Ain /CA=Ain3hcosasin3S I Tl a 3山的高度为hcosasin3、丨I a 3规律方要学会审题及根据题意画示意图,要懂得从3800X-6:=吨3 + 1) (m)-4即山的

5、高度为 8003+ 1) m.规律方法 在运用正弦定理、 余弦定理解决实际问题时， 通常都根据题意，从实际问题中抽 象出一个或几个三角形， 然后通过解这些三角形， 得出实际问题的解.和高度有关的问题往 往涉及直角三角形的求解.跟踪演练 2 如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C3,CD= s,并在点C测得塔顶A的仰角为0，求塔高AB/ CBD=180(a + 3),则BC=CD：；。sin 45在厶ACD中,ZCA= 180 60 60= 60, ABAD f AB-sin 45由 sin 15 = sin 45 ，得AD=sin 15和D现测得ZBCD=a,Z

6、BD=解 在厶BCD中,ZBCD=a,ZBD&BC =_sin3 =si n180即旦=二_sin3 a + 3sin3BC=a + 3-s.在厶ABC中，由于/ABC=90,.ABBC=tan 0，- AB= BCtan00ssina + 3sin3 tan要点三测量两个不能到达点之间的距离问题例 3 如图，为测量河对岸A、B两点的距离，在河的这边测出的长为-2-km ,ZAD=ZCD= 30,ZAC= 60,ZACB=45求A B两点间的距离.解 在厶BCD中,ZCBD=180 30 105= 45由正弦定理得BCsin 30CDsin 45 ，CD4在厶ABC中，由余弦定理得AB

7、=AC+BC2AC-Bos 45规律方法测量两个不可到达的点之间的距离，一般是把求距离问题转化为应用余弦定理求三角形的边长问题，然后把求未知的另外边长问题转化为只有一点不能到达的两点距离测量 问题，运用正弦定理解决.跟踪演练 3 要测量河对岸两地A B之间的距离，在岸边选取相距100 3 米的c、D两点，并测得/ACB=75, /BCD=45, /ADC=30, /ADB=45（A、B C D在同一平面内），求A、B两地的距离.解 如图在ACD中,ZCAD=180 (120 + 30 ) = 30,AC= CD=100 ,3(米).在厶BCD中,ZCBD=180 (45 + 75)=60=20

8、0sin 75 （米）.在厶ABC中，由余弦定理，得AB=(100 3)2+(200sin 75 )22X100 3x200sin 75cos 752=100 x5AB=100 5（ 米）.答河对岸A、B两点间的距离为 100 3 米.由正弦定理得sin 602=100 x(3+4X1 cos15022x% 3xsin 150所以河对岸A、B两点间距离为-4km.5r当堂检测 ?当堂训练，体验成功61 如图，在河岸AC上测量河的宽度BC测量下列四组数据，较适宜的是(答案 4解析 由余弦定理：x2+ 9 3x= 13, 整理得：x2 3x 4= 0,解得x= 4.3甲、乙两楼相距20 m,从乙楼

9、底望甲楼顶的仰角为60,从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30，则甲、乙两楼的高分别是 _ m, _ m.答案 20 羽4p3解析 甲楼的高为 20tan60 = 20X3 = 20 3(m);乙楼的高为：20 3 20tan30 = 20 3 20X呼=40-(m) 334如图所示，设A B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在A所在的河岸边选定一点C,测出AC的距离为 50 m /AC= 45,/CA= 105，贝U A B两点的距离为_ m.答案 50 2ACAB解析 由题意知/AB= 30，由正弦定理，得=sin /ABCsin /ACBA. a,C, aBb,C, aC答案Dc,a, 3D-b

10、, a ,Y丫可求出3,由a、3、b,可利用正弦定理求出BC故选 D.2如图，某人向东方向走了x千米，然后向右转 120,再朝新方向走了 3 千米，结果他离出发点恰好餐千米，那么x的值是_解析由a、BhCbACA75江岸边有一炮台高 30 m,江中有两条船，船与炮台底部在同一水面上，由炮台顶部测得俯角分别为 45和 30，而且两条船与炮台底部连线成30角，则两条船相距 _ m.答案 30解析 设两条船所在位置分别为A、B两点，炮台底部所在位置为C点，在ABC中，由题意可知30厂30AC=tan 30 = 30 3(m)，BC=tan 45 = 30(m)，C= 30，AB=(30 3)2+302-2x30 3x30 xcos 30 =900,AB=30(m).课堂半结-11. 运用正弦定理就能测量“一个可到达点与一个不可到达点间的距离”，而测量“两个不可到达点间的距离” 要综合运用正弦定理和余弦定理无论测量“底部不能到达的建筑物的高度”，还是测量“两个不可到达点间的距离”都需要在两个点上分别测量，并且都需要测量出两点的距离.2. 正、余弦定理在实际测量中的应用的一般步骤：(1) 分析：理解题意，分清已知与未