(完整版)大学概率论与数理统计公式全集

1、大学概率论与数理统计公式全集一、随机事件和概率1、随机事件及其概率运算律名称表达式交换律ABBAAB BA结合律(A B) C A (B C) ABC(AB)C A(BC) ABC分配律A(B C) AB ACA (BC) (A B)(A C)德摩根律A B ABAB A B2、概率的定义及其计算公式名称公式表达式求逆公式P( A) 1 P( A)加法公式P(A B) P(A) P(B) P(AB)条件概率公式P(B|A) P(AB)1P(A)乘法公式P(AB) P(A)P(BA)P(AB) P(B)P(AB)全概率公式nP(B)P(Aj)P(BAj)i 1贝叶斯公式（逆概率公式）P(Aj)P

2、(BAj) P(Aj|B)P(Aj)P(BAi)i 1伯努利概型公式Pn(k) c；pk(1 p)nk,k 0,1, n两件事件相互独立相应公式P(AB) P(A)P(B) ； P(B A) P(B) ； P(BA) P(BA) ； P(B A) P(BA) 1 ； P(BA) P(BA) 1、随机变量及其分布1、分布函数性质P(X b) F(b) P(a X b) F(b) F(a)2、离散型随机变量分布名称分布律0 - 1 分布 B(1, p)P(X k) pk(1 p) k 0,1二项分布B(n,p)P(X k) C；kpk(1 p)n k, k 0,1, ,n泊松分布P()kP(X k

3、) e , k 0,1,2, k!几何分布G(p)P(X k) (1 p)k 1 p, k 0,1,2,超几何分布H(N,M, n)C k c kP(X k) M -N-M ,k l,l 1, ,min(n,M) cN3、连续型随机变量分布名称密度函数分布函数均匀分布U (a, b)1 ,a x b f (x)b a0,其他0, x a匚 / xx a.F(x) , a x bb a 1,x b指数分布E()e x, x 0 f(x)0,其他0,x 0F(x)4xn1 e , x 0正态分布N( , 2)(x )212 2f(x) ex72(t )21 xF(x)e 2 dtyl2标准正态分布

4、N(0,1)x2/ 1可(X)h e 2x(t )21X22F (x)ed tV2101、Pi2、pijPji3、4、5、三、多维随机变量及其分布离散型二维随机变量边缘分布P(X Xi)P(X Xi,Y yj)Pijjj离散型二维随机变量条件分布P(X XiY yj) P(X xi，丫 yj)巴,i jP(Y yj)Pjp(y yjX x) H 电,j jP(X Xi)PiPj P(Y yj)1,21,2连续型二维随机变量（X，丫 ）的联合分布函数P(XiF(x, y)连续型二维随机变量边缘分布函数与边缘密度函数边缘分布函数:XFx (x)yFY(y)二维随机变量的条件分布fYx(yx) f(

5、x,y)fx(x)f(u,v)dvduf(u,v)dudvfxY(xy)f(x,y)fy(y)边缘密度函数:Xi,Y yj)Pijiyf (u, v)dvdufx (X)fv(y)f(x,v)dvf (u,y)du四、随机变量的数字特征1、数学期望离散型随机变量：E(X) XkPkk 1连续型随机变量：E(X)xf (x)dx2、数学期望的性质(1) E(C) C,C为常数EE(X) E(X) E(CX) CE(X)(2) E(X Y) E(X) E(Y) E(aX b) aE(X) bE(CiXiCnXn) ClE(Xi)CnE(Xn)若XY相互独立则：E(XY) E(X)E(Y)(4) e

6、(xy)2 e2(x)e2(y)3、方差:D(X) E(X2) E2(X)4、方差的性质(1) D(C) 0DD(X)0D(aX b) a2D(X)D(X) E(X C)2(2) D(X Y) D(X) D(Y) 2Cov(X,Y)若XY相互独立则:D(X Y) D(X) D(Y)5、 协方差：Cov(X,Y) E(X,Y) E(X)E(Y) 若 XY相互独立则：Cov(X,Y) 06、 相关系数：XY (X,Y) Cov(X,Y)若XY相互独立则：XY 0即XY不相关JD(X)JD(Y)7、协方差和相关系数的性质(1) Cov(X,X) D(X) Cov(X,Y) Cov(Y,X)(2) C

7、ov(X1 X2,Y) Cov(X1,Y) Cov(X2,Y) Cov(aX c,bY d) abCov(X,Y)&常见数学分布的期望和方差分布数学期望方差0-1 分布 B(1, p)Pp(1 p)二行分布B(n,p)npnp(1 p)泊松分布P()几何分布G(p)1 p1 p2 p超几何分布H(N,M,n)M n NMM N mnN(1 N) N 1均匀分布U(a,b)a b2(b a)212正态分布N( , 2)2指数分布E()111、切比雪夫不等式五、大数定律和中心极限定理若E(X) ,D(X)2,对于任意0有P XE(X) 或 PX E(X) 1 哗2、大数定律：若X1 Xn相互独立且

8、n彳 n片 n时，Xi D E(Xi)n i 1n i 1(1)若 X1 Xn 相互独立，E(Xi)i, D(Xi)n2且i2 M则：丄Xi Pn i 1E(Xi),(n n i 1 若X1 Xn相互独立同分布，且E(Xi)1 ni则当n 时：-Xin i 13、中心极限定理(1)独立同分布的中心极限定理：均值为，方差为2 0的独立同分布时，当n充分大时有:YnnXk nk 1，nN(0,1)(2)拉普拉斯定理：随机变量(n 1,2)B( n, p)则对任意X有:lim P n npx. n p(1 p)Xt2” dt(X)(3)近似计算:P(anXk b) P(a nk 1、nnXk nk

9、1b n)(b n)(a n)nn )(,n ) In，六、数理统计1、总体和样本总体X的分布函数F(x)样本(Xi，X2 Xn)的联合分布为F(Xi,X2 Xn) F(Xk)k 12、统计量(1)样本平均值：nnnX 1 Xi (2)样本方差：S21(Xi X)21(Xi2 nX )n i 1n 1 i 1n 1 i 1(3)样本标准差：nnS1(Xi X)2(4)样本 k 阶原点距：Ak 1Xik,k 1,2 n 1 i 1n i 1n_(5) 样本 k 阶中心距：Bk Mk - (Xi X)k,k 2,3n i 1(6) 次序统计量：设样本(Xi，X2 Xn)的观察值(Xi,X2 Xn)

10、，将Xi,X2 Xn按照由小到大的次序重新排列，得到x(i) x(2)x(n)，记取值为x(i)的样本分量为X(i)，则称X(1) X(2) X(n)为样本(Xi,X2 Xn)的次序统计量。X(1) min(XjX Xn)为最小次序统计量； X(n) max(Xi，X2 X.)为最大次序统计量。3、三大抽样分布(1)2分布：设随机变量Xi,X2 Xn相互独立，且都服从标准正态分布N(0,1)，则随机变量2 X12 X2 X2所服从的分布称为自由度为n的2分布，记为2 2(n)性质： E 2(n) n,D 2(n) 2n 设 X 2(m),丫2( n)且相互独立，则 X Y 2(m n)t分布：

11、设随机变量X N(0,1),Y 2(n)，且X与丫独立，则随机变量：T二所服从寸丫 n的分布称为自由度的n的t分布，记为Tt( n)(x )2性质： Et(n) 0,Dt(n) n ,(n 2) limt(n) N(0,1)1 e 2 2n 2nV2F分布：设随机变量U2(nJ,V2短)，且U与V独立，则随机变量Fg,n?)所V n2服从的分布称为自由度(mri2)的F分布，记为FFg,匕)性质：设X F(m, n)，贝卩丄F(n ,m)X七、参数估计1、参数估计(1) 定义：用(Xi，X2，Xn)估计总体参数，称(Xi,X2, Xn)为 的估计量，相应的(Xi,X2, Xn)为总体 的估计值。(2) 当总体是正态分布时，未知参数的矩估计值二未知参数的最大似然估计值2、 点估计中的矩估计法：(总体矩二样本矩)n离散型样本均值：X E(X) - Xi连续型样本均值：X E(X) xf(x, )dxn i -d n离散型参数：E(X2)丄Xi2n i -3、点估计中的最大似然估计最大似然估计法：X-,X2, Xn取自X的样本，设X f(x, )或P(X