因式分解拓展题及解答必考题型

1、因式分解拓展题解板块一： 换元法例 1 分解因式：(x2 4x 8)2 3x(x2 4x 8) 2x2【解析】将 x2 4x 8 u 看成一个字母，可利用十字相乘得原式u2 3xu 2x2 (u x)(u 2x) (x2 4x 8 x)(x2 4x 8 2x)例 2 分解因式：(x2 5x 2)( x2 5x 3) 12【解析】方法1：将x2 5x看作一个整体，设x2 5x t ,则原式= (t 2)(t 3)12 t2 5t 6 (t1)(t 6) (x 2)(x 3)(x2 5x1)方法2：将x2 5x 2看作一个整体，设x2 5x 2 t,则原式=t(t 1) 12t2t 12 (t3)

2、(t4) (x 2)(x 3)( x2 5x 1)方法3：将x2 5x 3看作一个整体，过程略. 如果学生的能力到一定的程度，甚至连换元都不用，直接把x2 5x看作一个整体，将原式展开，分组分解即可，则原式(x2 5x)2 5(x2 5x) 6 (x2 5x 1)( x2 5x 6) (x 2)(x 3) (x2 5x 1).【巩固】分解因式：(x 1)(x 3)(x5)(x 7)15【巩固】分解因式：(x2 x 1)( x2x 2) 12例 3 证明：四个连续整数的乘积加1 是整数的平方【解析】 设 这四个连续整数为：x 1 、 x 2、 x 3、 x 4222222原式 (x2 5x 5)

3、 1(x25x 5)11(x25x 5)2 11 (x2 5x 5)2【巩固】若x, y是整数，求证：x yx2yx3y x 4yy4是一*个完全平方数令 x2 5xy 4y2 u.上式 u(u 2y2)y4 (uy2)2(x25xy5y2)2即 x y x 2yx 3y x 4yy4(x25xy 5y2 )2例 4 分解因式(2a 5)(a2 9)(2 a 7) 91【解析】原 式 (2a 5)(a 3)( a 3)(2 a 7) 91 (2a2 a 15)(2 a2 a 21) 91设2a2 a 15 x ，原式 x(x 6) 91 x2 6x 91 (x 13)(x 7)(2a2 a 2

4、8)(2a2 a 8)【巩固】分 解因式(x2 3x 2)(3 8x 4x2) 90【解析】原 式 (x 1)(x 2)(2 x 1)(2x 3) 90 (2x2 5x 3)(2x2 5x 2) 90原式 (y 3)(y 2) 90y2 5y 84 (y 12)( y 7)(2x25x 12)(2 x 7)(x 1)例 5 分解因式：4(3x2 x 1)(x2 2x 3) (4x2 x 4)2咋 一看，很不好下手，仔细观察发现：(3x2 x 1) (x2 2x 3) 4x2x 4，故可设3x2 x 1 A, x2 2x 3 B ，则4x2 x 4 A B .故原式 =4AB (A B)2A2

5、B2 2AB (A B)2222_2(3x x 1) (x 2x 3)(2x 3x 2).【巩固】分解因式：(a b 2ab)(a b 2) (1 ab)2【解析】由于题中以整体形式出现的式子有两个，共 4个地方，故采取换元法后会 大大简化计算过程，不妨设 a b x, ab y ,【解析】则原式=(x 2y)(x 2) (1 y)2 x2 2xy y2 2y 2x例6分解因式：(x 1)4 (x 3)4 272【解析】 设 y x 1 x 3 x 2,则原式=(y 1)4 (y 1)4 272 2(y4 6y2 1) 272 2【巩固】分解因式：a4 44 (a 4)4【解析】为方便运算，更

6、加对称起见，我们令 x a 2板块二：因式定理因式定理：如果x a时，多项式anxn an41 . &x a。的值为0 ,那么x a是该多项式的一个因式.有理根：有理根c p的分子p是常数项a。的因数，分母q是首项系数an的因数. q22x 3x 2 -32 Z -x 1 2x x 5x 2c 3 c 22x 2x23x 5x3x2 3x2x 22x 20例7分解因式：2x3 x2 5x 2【巩固】a。2的因数是1,2, % 2的因数是1,2.因此，原式的有理根只可能是1, 2(分母为1),1.2因为 f(1) 21526, f( 1)2152 0,于是1是f(x)的一个根，从而x 1是f(x

7、)的因式，这里我们可以利用竖式除法，此时一般将被除式按未知数的降募排列，没有的补0:可得原式(2x2 3x 2)(x 1) (x 2)(2x 1)(x 1)点评：观察，如果多项式f(x)的奇数次项与偶数次项的系数和互为相反数，则说 明 f(1) 0；如果多项式的奇数次项与偶数次项的系数和相等，则说明 f( 1) 0.【巩固】分解因式：x6 2x5 3x4 4x3 3x2 2x 1解析：本题有理根只可能为 1. 1当然不可能为根(因为多项式的系数全是正的),经检验1是根，所以原式有因式x 1,原式 (x 1)(x5 x4 2x3 2x& x 1)容易3证1也是x5 x4 2x3 2x2 x 1的

8、根，54324222x x 2x 2x x 1 (x 1)(x 2x 1) (x 1)(x1),6c5c4,3c22/22x 2x 3x 4x 3x 2x 1 (x 1) (x 1)【巩固】分解因式：x3 9x2y 26xy2 24y3解析：x3 9x2y 26xy2 24y3 (x 2y)(x 3y)(x 4y)例 8 分解因式：x3 (a b c)x2 (ab bc ca)x abc【解析】 常数项 abc的因数为 a, b, c, ab, bc , ca, abc把x a代入原式，得所以a是原式的根，x a是原式的因式，并且【巩固】分 解因式：(l m)x3(3l 2m n)x2 (2l

9、 m 3n)x 2(m n)【解析】 如 果多项式的系数的和等于0，那么 1 一定是它的根；如果多项式的偶次项系数的和减去奇次项系数的和等于0，那么 1 一定是它的根现在正是这样：所以 x 1是原式的因式，并且板块三： 待定系数法如果两个多项式恒等，则左右两边同类项的系数相等.即，如果an xnan1xn1 an2xn2 La1 x1a0bnxnbn1xn1 bn2xn2 Lb1x1b0那么 anbn, an 1bni, ， abi,aob0.例 9 用待定系数法分解因式：x5 x 1【解析】 原 式的有理根只可能为1 ，但是这2 个数都不能使原式的值为0，所以原式没有有理根，因而也没有( 有

10、理系数的) 一次因式故x5x 1 (x2 ax1)(x3bx2 cx 1)或x5x 1 (x2 ax1)(x3bx2cx 1)ab0a1故 c ab 1 0，解得b 1，所以x5 x 1 (x2 x 1)(x3 x2 1)ac b 1 0c0ac1事实上，分解式是惟一的，所以不用再考虑其它情况.【巩固】x4 x2 1 是否能分解成两个整系数的二次因式的乘积?解析： 我们知道x4 x2 1 (x2 x 1)(x2x 1) .x4 x2 1 不能分解成两个整系数的二次因式的乘积如 果x4 x2 1 能 够 分 解 ， 那 么 一 定 分 解 为 (x2 ax 1)(x2 bx 1) 或22(x a

11、x 1)(x bx 1)比较x3与x2的系数可得ab0ab 21(1)(2)1 ， 没有整数a 能满足这两个方(1) 得 b a ， 代入 (2) 得a22 1 ， 即 a2 3或 a2程所以，x4 x2 1 不能分解成两个整系数的二次因式的积( 从而也不能分解成两个有理系数的二次因式的积) 【巩固】 x6 x3 1 能否分解为两个整系数的三次因式的积?解析： 设 x6 x3 1 (x3 ax2 bx 1)(x3 cx2 dx 1) ，ac0比较x5, x3及x的系数，得ad bc 1bd0由第一个方程与第三个方程可得ca ， d b , 再把它们代入第二个方程中，得 ab ab 1 矛盾 !

12、所以，x6 x3 1不可能分解为两个整系数的三次因式的积例 10分解因式：x4 x3 2x2 x 3原 式的有理根只可能为1 ，3 ，但是这四个数都不能使原式的值为0 ，所以原式没有有理根，因而也没有( 有理系数的) 一次因式我们设想x4 x3 2x2 x 3可以分为两个整系数的二次因式的乘积由于原式是首1这一点，( 首项系数为1) ，两个二次因式也应当是首1 的于是，设x4 x3 2x2 x 3 (x2 ax b)(x2 cx d) 其中整系数a、b、g d有待我们去确定.比较式两边及常数项，得这样的方程组，一般说来是不容易解的不过，别忘了x3, x2, x的系数ac1b d ac 2bc

13、ad 1bd 3(2)(3)(4)(5)b、 d 是整数 ! 根据从 (5) 可以得出bd 13或db13，当然也可能是db 31或bd31在这个例子中由于因式的次序无关紧要，b1b1我们可以认为只有b 1 或 b 1 这两种情况d3d3将 b 1 ， d 3，代入 (4) ，得 c 3a 1将与相减得2a 2,于是a 1,再由得c 2这一组数(a 1, b 1, c 2, d 3)不仅适合、，而且适合. 因此x4 x3 2x2 x 3 (x2 x 1)(x2 2x 3)将b 1 , d 3,代人，得 c 3a 1将与 相加得2a 0. 于是 a 0，再由 得 c 1.这一组数(a0, b 1

14、,c1,d3),虽然适合、，却不适合，因而 x4 x3 2x2 x 3 (x2 1)(x2 x 3) .事实上，分解式是惟一的，找出一组满足方程组的数，就可以写出分解式，考虑有没有其他的解纯属多余，毫无必要板块四：轮换式与对称式对称式：x、y 的多项式 x y, xy,x2y2,x3y3 ,x2yxy2,在字母x与y互换时，保持不变.这样的多项式称为x、y的对称式.类似地，关于 x、y、z 的多项式 x y z, x2 y2 z2 , xy yz zx, x3 y3 z3, x2y x2z y2z y2x z2x z2y , xyz,在字母x、y、z中任意两字互换时，保持不变.这样的多项式称为

15、x、yz的对称式.轮 换 式 ： 关 于x、y、z 的 多 项 式 x y z ，x2y2z2 ，xy yz zx，x3y3z3 ，222222x y y z z x , xy yz zx , xyz 在将字母x、y、z轮换(即将x换成y, y换成z, z换成x)时，保持不变.这样的多项式称为x、y、z的轮换式.显然，关于x、y、z的对称式一定是x、y、z的轮 换式但是，关于x、y, z的轮换式不一定是对称式.例如，x2y y2z z2x就不是对称式.次数低于3 的轮换式同时也是对称式两个轮换式(对称式)的和、 差、 积、 商 (假定被除式能被除式整除)仍然是轮换式(对称式 ) 例 11：分解

16、因式：x2(y z) y2 (z x) z2(x y)解析：x2(y z) y2(z x) z2(x y)是关于x、y、z的轮换式.如果把x2(y z) y2(z x) z2(x y)看作关于x的多项式，那么在x y时，它的值为y2(y z) y2(z y) z2(y y) 0 .因此， xy 是x2 (yz)y2(z x)z2(x y) 的因式由于x2(yz)y2(zx)z2 (x y) 是 x、 y、 z 的轮换式，可知y z与z x也是它的因式.从而它们的积(x y)(y z)(z x) (1)是x2(y z) y2(z x) z2(x y) 的因式由于、都是x、y、z的三次多项式，所以

17、两者至多相差一个常数因数k ，即有x2(y z) y2(z .x) z2(x y) k(x y)(y z)(z x) 现在我们来确定常数k的值.为此，比较的两边x2y的系数：左边系数为 1，右边系数为k 因此，k 1于是x2(y z) y2(z x) z2(x y) (x y)(y z)(z x)思路 2:利用 y z = (y x) (z x).例 12 分解因式：xy(x2 y2) yz(y2 z2) zx(z2 x2)【解析】此式是关于x, y, z的四次齐次轮换式，注意到 x y时，原式0,故x y是原式的一个因式.同理，y z, z x均是原式的因式，而(x y)(y z)(z x)

18、是三次轮换式，故还应有一个一次轮换式，设其为k(x y z)，故原式k(x y z)(x y)(y z)(z x),展开并比较系数可知，k 1,故原式(x y z)(x y)(y z)(z x) .思路 2:利用 x2 y2= (x2 z2)+(z 2 y2).家庭作业练习 1 分解因式：4(x 5)(x 6)(x 10)( x 12) 3x2原式4(x217x60)(x2 16x 60) 3x24 (x216x 60) x (x216x 60) 3x2练习2 要使 x 1 x 3 x 4 x 8 m 为完全平方式，则常数m 的值为 【解析】x1 x3 x 4 x 8 m(x2 5x 4)(x

19、2 5x 24) m (x2 5x)2 20(x2 5x) 96 m ，则 m 196练习3 分解因式：(x2 6x 8)(x2 14x 48) 12【解析】原式 (x2)(x 4)(x6)(x 8)12(x210x 16)(x210x24) 12设 t x2 10x 16 ，则原式 t(t8) 12 (t2)(t 6)(x210x 18)(x2 10x 22)练习4分解因式：(x2xyy2)2 4xy(x2y2)【解析】设 x2 y2 a ， xy b ，则原式(a b)2 4ab (a b)2 (x2 y2 xy)2 .练习5分解因式：2x3x25x 2练习6分解因式：x36x211x 6

20、练习7 用待定系数法分解：x5 x4 1【解析】原式的有理根只可能为1 ,但是这2个数都不能使原式的值为0 ,所以原式没有有理根，因而也没有(有理系数的)一次因式.5423254232败 x x 1 (xax1)(x bx cx1)或 x x1(xax1)(xbx cx 1)x5 x41(x2ax 1)(x3bx2 cx1)x5(ab)x4(abc 1)x3 (acb 1)x2(a c)x 1a b 1a 1故 c ab 1 0 解得 b 0 ,所以 x5 x4 1 (x2 x 1)(x3 x 1)ac b 1 0c 1a c 0事实上，分解式是惟一的，所以不用再考虑其它情况.练习 8.分解因式：a3(b c) b3(c a) c3(a b)【巩固】a