弹性力学试题与答案

1、弹性力学与有限元分析复习题及其答案一、填空题1、弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。2、在弹性力学中规定，线应变以伸长时为正,缩短时为负,与正应力的正负号规定相适应。3、在弹性力学中规定，切应变以直角变小时为正,变大时为负,与切应力的正负号规定相适应。4、物体受外力以后，其内部将发生内力，它的集度称为应力。与物体的形变和材料强度直接有关的，是应力在其作用截面的法线方向和切线方向的分量,也就是正应力和切应力。应力及其分量的量纲是L-1 MT-2 q5、弹性力学的基本假定为连续性、完全弹性、均匀性、各向同性。6、平面问题分为平面应力问题和平面应变问题

2、。7、已知一点处的应力分量crxF00 MPa , 0 y =50 MPa, %=10v'50 MPa ,则主应力巴=150MPa 、仃2=0MPa, 口i = 3516'。8、已知一点处的应力分量，仃x=200 MPa, %=0MPa, Exy=400 MPa,则主应力 仃1 = 512MPa ,仃2=-312 MPa , % =-37 57 '。9、已知一点处的应力分量，rx=-2000 MPa , 6yg000 MPa, 7xy=400 MPa ,则主应力巴=1052 MPa ,仃2 =-2052 MPa ,支1=-82 32 1。10、在弹性力学里分析问题，要考

3、虑静力学、几何学和物理学三方面条件,分别建立三套方程。11、表示应力分量与体力分量之间关系的方程为平衡微分方程。12、边界条件表示边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式 。分为位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件。13、按应力求解平面问题时常采用逆解法和半逆解法。14、有限单元法首先将连续体变换成为离散化结构，然后再用结构力学位移法进行求解。其具体步骤分为单元分析和整体分析两部分。15、每个单元的位移一般总是包含着两部分：一部分是由本单元的形变引起的,另一部分是由于耍一专业 word可编辑他单元发生了形变而连带引起的。16、每个单元的应变一般总是包含着两部分：一部分是与该单元中各点的位

4、置坐标有关的，是各点不相同的，即所谓变量应变；另一部分是与位置坐标无关的，是各点相同的，即所谓常量应翌。17、为了能从有限单元法得出正确的解答，位移模式必须能反映单元的刚体位移和常量应变，还应当尽可能反映相邻单元的位移连续性。18、为了使得单元内部的位移保持连续，必须把位移模式取为坐标的单值连续函数，为了使得相邻单元的位移保持连续，就不仅要使它们在公共结点处具有相同的位移时,也能在整个公共边界上具有相同的位移。19、在有限单元法中，单元的形函数 Ni在i结点Ni=1；在其他结点 Ni=0_&ZNi=L。20、为了提高有限单元法分析的精度，一般可以采用两种方法：一是将单元的尺寸减小，以便

5、较好地反映位移和应力变化情况；二是采用包含更高次项的位移模式，使位移和应力的精度提高 。二、判断题（请在正确命题后的括号内打在错误命题后的括号内打“X”）1、连续性假定是指整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙。（，）5、如果某一问题中，仃z =Wzx=Jy=0 ,只存在平面应力分量 仃x,Txy,且它们不沿Z方向变化，仅为x, y的函数，此问题是平面应力问题。（，）6、如果某一问题中，Sz=7zx=y=0,只存在平面应变分量 4, %, 7xy,且它们不沿z方向变 化，仅为x, y的函数，此问题是平面应变问题 。（，）9、当物体的形变分量完全确定时，位移分量却不能完全确定

6、 。（，）10、当物体的位移分量完全确定时，形变分量即完全确定。（，）14、在有限单元法中，结点力是指结点对单元的作用力。（，）15、在平面三结点三角形单元的公共边界上应变和应力均有突变。（，） 专业 word可编辑、分析计算题1、试写出无体力情况下平面问题的应力分量存在的必要条件，并考虑下列平面问题的应力分量是否可能在弹性体中存在。(1) bx=Ax+By, by=Cx+Dy, fxy=Ex+Fy；(2)仃x=A(x2+y2),仃y=B(x2+y2), TxyKxy；其中，A, B, C, D, E, F为常数。解：应力分量存在的必要条件是必须满足下列条件：(1 )在区域内的平衡微分方程；(

7、2)在区域内的相容方程-2 C(仃x+byL0； (3)在边界上的应力边界l-x m yx s=fx s条件s _; ( 4)对于多连体的位移单值条件。m二 y l xy s=f y s(1)此组应力分量满足相容方程。为了满足平衡微分方程，必须A=-F, D=-E。此外还应满 足应力边界条件。(2)为了满足相容方程，其系数必须满足 A+B=0;为了满足平衡微分方程，其系数必须满足 A= B=- C/2 o上两式是矛盾的，因此，此组应力分量不可能存在 。2、已知应力分量 bx=Qxy2+C1x3 , %=-乳2乂丫2, %y =-Czy3-C3x2y ,体力不计，Q 为常 数。试利用平衡微分方程

8、求系数。，C2, C3o解：将所给应力分量代入平衡微分方程专业 word可编辑E x +'Tyx _0x ：:y-y - - xy _- -=0yjx得r_2_ -22_2_-Qy +3C1x -3C2 y -C3x =0-3C2xy-2C3xy=0即2 _2,_ 2_(3C1-C3 x (Q+3C2 y =0-J3C2 +2C3 )xy=0由x, y的任意性，得3C1 -C3 =0Q 3C2=03C2 2c3=0由此解得，C1里，C2=-Q, C3里6323、已知应力分量 力，*=-q, %=0,判断该应力分量是否满足平衡微分方程和相容方解：将已知应力分量仃x=q,仃 y=q ，%y

9、=0,代入平衡微分方程-； X - yx一x X=0xCtT C-T一yqy Y为可知，已知应力分量:y改Oy=-q, %y =0一般不满足平衡微分方程 ，只有体力忽略不计时才满足。按应力求解平面应力问题的相容方程：二 2二 2,： 2-7（一二 y） -7（。y -、二 x） = 2（1、）xy-yex：xy将已知应力分量 仃x=y, DyMq, %=0代入上式，可知满足相容方程 专业 word可编辑按应力求解平面应变问题的相容方程22C , V匕VC- x - y) (- y - ；- x)=1 - jx :yv 1-.x21-将已知应力分量crx=_q, cry=_q, Exy=0代入上

10、式，可知满足相容方程。4、试写出平面问题的应变分量存在的必要条件，并考虑下列平面问题的应变分量是否可能存在32(1) 8=Axy, %=By , %y=C-Dy ；22(2) &x=Ay , %=Bx y, ；'xy=Cxy；(3) 8x=0, 8y =0, 0=Cxy；其中，A, B, C, D为常数。解：应变分量存在的必要条件是满足形变协调条件，即了 ；x I ；y:x.:y_2-2y : x将以上应变分量代入上面的形变协调方程，可知：(1)相容。(2) 2A+2By=C (1分)；这组应力分量若存在，则须满足：B=0 , 2A=C。(3) 0=C;这组应力分量若存在，则须

11、满足：C=0 ,则“=0, %=0, ?xy=0 (1分)。5、证明应力函数 平巾y2能满足相容方程，并考察在如图所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题 (体力不计，b为)。专业 word可编辑解：将应力函数中4y2代入相容方程9：4：44 2224 =0x4：x2二y2 ：y4可知，所给应力函数 邛力y 2能满足相容方程。由于不计体力，对应的应力分量为°x -2"=2b，:y0 0=0T-y 2"， xy；:xI。rx.y对于图示的矩形板和坐标系，当板内发生上述应力时,根据边界条件，上下左右四个边上的面力分别为：上边，hy=T , l =0 , m=1 , fx=

12、("xy)h =0 ,2”一2下边，hyF , l 4，m=1 , fx=(”y)h ，f y -(G y) h =0 ；2y=2y=2左边，lx=-；, l=-1, m=0, fx=-(ax) l2x，=-2b, fy=-(%y) l=0；x =_2右边，lx 二一2,l=1, m=0, fx=(仃 x) =2b, x =fy =Gxy) l -0。x =-2可见，上下两边没有面力，而左右两边分别受有向左和向右的均布面力2b。因此，应力函数里巾y2能解决矩形板在x方向受均布拉力（b>0）和均布压力（b<0）的问题。6、证明应力函数中=axy能满足相容方程，并考察在如图所

13、示的矩形板和坐标系中能解决什么问题（体力不计，a.0）。专业 word可编辑l/2h/2h/2l/2解：将应力函数中=axy代入相容方程二0可知，所给应力函数 邛wxy能满足相容方程。由于不计体力，对应的应力分量为2-=0 ,x' xyexf 2 := 一 a-:x；=y对于图示的矩形板和坐标系，当板内发生上述应力时,根据边界条件，上下左右四个边上的面力分别为：上边，,l=0, m=-1, fx=-(Txy) h=a, y，fy=3) h=0；y，下边，hy=2 , l R ,m-1 , fx-(xy)f y =(。y)h =0 ；左边，lx=-2, l=-1, m=0, fx=-(a

14、x)l 0, fy =(%y) l =a ；右边，lx 二一2,l=，m=0, fxx) l=0, fy=Gxy) l =-2。可见，在左右两边分别受有向下和向上的均布面力a,而在上下两边分别受有向右和向左的均布面力a。因此，应力函数中招xy能解决矩形板受均布剪力的问题专业 word可编辑7、如图所示的矩形截面的长坚柱 ，密度为P,在一边侧面上受均布剪力，试求应力分量ox=0。由此可知x解：根据结构的特点和受力情况，可以假定纵向纤维互不挤压二0将上式对y积分两次，可得如下应力函数表达式:x,y >i(x)y f2(x)将上式代入应力函数所应满足的相容方程则可得4 -4 -d fi(x)

15、d f2(x)=0这是y的线性方程，但相容方程要求它有无数多的解数和自由项都应该等于零 ，即4 .d f1(x)=04dx这两个方程要求f1 (x)=Ax3+Bx2 x+I ,(全柱内的y值都应该满足它)，可见它的系4 .dj=0 dxf2(x) = Dx3 Ex2 Jx Kdx dx代入应力函数表达式，并略去对应力分量无影响的一次项和常数项后，便得= y(Ax3 Bx2 Cx) Dx3 Ex2对应应力分量为-2-y=01: -二 y 二一r=y(6Ax 2B) 6Dx 2E-; gy 二 xxy2：2=-3Ax2 -2Bx-C:x ：:y专业 word可编辑以上常数可以根据边界条件确定左边，

16、x=0, l=-1, m，沿y方向无面力，所以有(xy)x卫4=0右边，x=b, l=1, m，沿y方向的面力为q ,所以有2(xy)x=b =-3Ab -2Bb=q上边，y=0, 1=0, m=1,没有水平面力，这就要求x.xy在这部分边界上合成的主矢量和主矩均为零，即bxy)ydx=0将Exy的表达式代入，并考虑到C=0,则有启-3Ax2-2Bx)dx=-Ax3 -Bx2 b =-Ab3-Bb2 =0 ,0b而0(%y)y 土 0dx=0自然满足。又由于在这部分边界上没有垂直面力，这就要求 *在这部分边界上合成的主矢量和主矩均为零，即 bb0(Qy)y"x=0,()ymxdx0将

17、CT y的表达式代入，则有j(6Dx+2E)dx=3Dx2+2Ex b=3Db2+2Eb=0j(6 Dx +2E)xdx=2 Dx3 + Ex2 0 =2Db3 +Eb2 =0由此可得A=-W，B=q, C 町 D。E=0b b应力分量为二 x二0x尸x 1""一2)虽然上述结果并不严格满足上端面处(y=0)的边界条件，但按照圣维南原理，在稍远离y=0处这一结果应是适用的。专业 word可编辑，E，小，口，一V8、证明:如果体力分量虽然不是常量，但却是有势的力，即体力分量可以表示为fx =一，xfyN ，其中:yV是势函数，则应力分量亦可用应力函数表示为，axxy试导出相应

18、的相容方程证明：在体力为有势力的情况下,按应力求解应力边界问题时 ，应力分量仃X,仃V, xy zTxy应当满足平衡微分方程f二 xyxVcx 二0；x jy；x(1：二 y ： xy N c=0；:y 汉Fy分）还应满足相容方程.二 y J1J-：fyy（对于平面应力问题）-2-2.2. 2x二 y仔x+»y F-1一f:x Fy（对于平面应变问题）并在边界上满足应力边界条件（1分）。对于多连体，有时还必须考虑位移单值条件首先考察平衡微分方程将其改写为:x - yx一二x-Vqx=0I巴 一 一；y » ：y-y，y=ox这是一个齐次微分方程组为了求得通解，将其中第一个方

19、程改写为d t二 x-Vxx：:A-T yx - ex根据微分方程理论，一定存在某一函数 A （x, y）一 A二 xV =一二 y专业 word可编辑同样，将第二个方程改写为二(仃 y -V /=-(-1 yx ) ( 1 分).:y；:x可见也一定存在某一函数B (x, y),使得FBjxFB一 yx =：y由此得；:A；:Bjx ；:y因而又一定存在某一函数中(x,y ),使得A=, B=y ；:x代入以上各式，得应力分量0ry=TT"，exxyf2 :：:x：:y为了使上述应力分量能同量满足相容方程中(x,y )必须满足一定的方程，将上述应力分量代入平面应力问题的相容方程，得

20、fc2 ,2班狗/ v uH1+N(ex cy 人勾ex简写为2 口 2口 2Vyi+TJ+J22xcy将上述应力分量代入平面应变问题的相容方程，得4 4-v - 22y二 y二 x专业 word可编辑简写为9、如图所示三角形悬臂梁只受重力作用，而梁的密度为 P,试用纯三次的应力函数求解解：纯三次的应力函数为:ax3 bx2 y cxy2 dy3相应的应力分量表达式为1 ：2-xfx =2cx 6dy, y-yfy =6ax 2by-Pgy ,xy.x；y-2bx-2cy这些应力分量是满足平衡微分方程和相容方程的。现在来考察，如果适当选择各个系数，是否能满足应力边界条件。上边，y=0, l=0

21、, m=T,没有水平面力，所以有-（xy）y印=2bx=0对上端面的任意 x值都应成立，可见专业 word可编辑b=0同时，该边界上没有竖直面力，所以有-(-y)yzo=6ax=0对上端面的任意 x值都应成立，可见a =0因此，应力分量可以简化为o=2cx+6dy ,仃丫=Fgy , Txy=-2cy斜面，y=xtana, l=cos 也 i =sina,m=cos(-a)=cosa,没有面力，所以有1 <2力匚 m yx y.n： =0m； l xy yman：.=0由第一个方程，得T2cx 6dxtan 二 sin二一2cxtan二 cos： = Ycxsin 二一6dxtan二 s

22、in 二二0对斜面白任意x值都应成立，这就要求-4c-6dtan =0由第二个方程，得2cxtan： sin： - :?gxtan : cos- -2cxtan: sin - -: gxsin- -0对斜面白任意x值都应成立，这就要求2ctanu %=0 （1 分）由此解得1 -.,1、.2c=-Rgcota （1 分），d=Pg cot «23从而应力分量为二x 二 Cgxcot： -2 Pgycot2：,二 y 二一 ：?gy, xy =-：?gycot：h设二角形悬臂梁的长为I,冏为h,则tana =-。根据力的平衡，固定端对梁的约束反力沿 x方l1 -向的分量为 0,沿y万向

23、的分量为一一为lh 。因此，所求仃x在这部分边界上合成的主矢应为零2专业 word可编辑 i、7xy应当合成为反力- Pgih。2o 二x x/y% 汨22,2Icot1 2 gycot 二 dy = i-glhcot" Pgh cot =二0h(h(xy x/y=，(-Pgycots dy=6%h2cota 2pglh可见，所求应力分量满足梁固定端的边界条件10、设有楔形体如图所示，左面铅直，右面与铅直面成角 口，下端作为无限长，承受重力及液体压力，楔形体的密度为 P1,液体的密度为 p2,试求应力分量。的函数形式。取坐标轴如图所示一个应力分量都将由两部分组成解：采用半逆解法。首先

24、应用量纲分析方法来假设应力分量。在楔形体的任意一点，每部分由重力引起，应当量，而x和y的量纲是 L,A ;?i gx B;?igy C：2 gx与Pig成正比(g是重力加速度起，应当与P2g成正比。此外，);另一部分由液体压力引每一部分还与 a , x, y有关。由于应力的量纲是L-1MT-2, P1g和P2g的量纲是L-2 MT-2 ,是量纲一的因此，如果应力分量具有多项式的解答，那么它们的表达式只可能是DP2gy四项的组合，而其中的a, b, C, D是量纲一的量，只与a有关。这就是说，各应力分量的表达式只可能是x和y的纯一次式。其次，由应力函数与应力分量的关系式可知，应力函数比应力分量的长度量纲高二次，应该是x和y纯三次式，因此，假设:ax3 bx2 y cxy2 dy3相应的应力分量表达式为；x=-y-xfx=2cx 6dy,二 y 二 y、F2：yfy =6ax 2by - ： igy , xy =二-2bx-2cy 二x：y专业 word可编辑这些应力分量是满足平衡微分方程和相容方程的。现在来考察，如果适当选择各个系数，是否能满足应力边界条件。左面，x=0, l=-1, m4，作用有水平面力 P2gy ,所以有-（二 x）x 卫