2018年天津市高考数学试卷文科-高考真题

1、2018年天津市高考数学试卷（文科）一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（5.00 分）设集合 A=1，2，3，4，B= - 1, 0, 2, 3 , C=x R| - Kxv2，贝U( AU B)n C=(A. - 1, 1 B. 0,1 C. - 1, 0, 1 D.2, 3, 42. （5.00分）设变量x,y满足约束条件2s-y4则目标函数z=3x+5y的最大第5页（共23页）值为（）A. 6 B. 19 C. 21D. 453. （5.00分）设 x R,则 “X>8”是 “x| >2”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要

2、条件D.既不充分也不必要条件4. （5.00分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入 N的值为20,则输出T的值为（）5.（5.00分）已知a=l,b=（土）£3 , c=log 1 -，则a, b, c的大小关系A.6.(5.00 分)将函数 y=sin( 2x+JF）的图象向右平移"j个单位长度，所得图象a>b>c B. b>a>c C. c>b>a D. c>a>b对应的函数（）A.在区间上单调递增 B.在区间C.-兀.2在区间兀上单调递增D.在区间兀K2,0上单调递减,n上单调递减7.A.y2:=1 B=1 C.

3、2 K T2=1 D.2X128. （5.00分）在如图的平面图形中， 已知OM=1, ON=2, / MON=120 , T =2肌,"1=21.,贝打的值为（）二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. （5.00分）i是虚数单位，复数I =.10. （5.00分）已知函数f （x） =exlnx, f'（x）为f （x）的导函数，贝U f'（1）的 值为.11.（5.00分）如图，已知正方体ABCD- AiBiCiDi的棱长为1，则四棱锥Ai - BBDiD 的体积为12. （5.00分）在平面直角坐标系中，经过三点（ 的方程为13. （5.00分）

4、已知 a, b R,且 a-3b+6=0,则.若对任意x - 3,14. （5.00分）已知 a R,函数 f （x）=+x）, f （x） |x|恒成立，贝U a的取值范围是三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算 步骤.15. （13.00分）己知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为 240, 160,160.现采用分层抽样的方法从中抽取 7名同学去某敬老院参加献爱心活动.(I)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？(U)设抽出的7名同学分别用A, B, C, D, E, F, G表示，现从中随机抽取2 名同学承担敬老院的卫生工作.(i

5、) 试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；(ii) 设M为事件 抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率.16. ( 13.00分)在厶ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a, b,c.已知bsinA=acos(B-)6(I )求角B的大小；(U )设 a=2, c=3,求 b 和 sin (2A- B)的值.17. (13.00分)如图，在四面体 ABCD中, ABC是等边三角形，平面 ABCL平 面 ABD,点 M 为棱 AB 的中点，AB=2, AD=2 ,Z BAD=90 .(I )求证：AD丄BC;(U)求异面直线BC与MD所成角的余弦值；(川)求直线CD与平面ABD所成角

6、的正弦值.18. (13.00分)设an是等差数列，其前n项和为S(n N* )； bn是等比数列， 公比大于 0,其前 n 项和为 Tn(n N*).已知 b1=1, b3=b2+2, b4=a3+a5, b5=a4+2a6.(I )求 S 和 Tn；(U)若 Sn+ (T1+T2+Tn) =an+4bn，求正整数 n 的值.19. (14.00分)设椭圆丄+：=1 (a>b>0)的右顶点为A,上顶点为B.已知椭圆的离心率为 亠，|AB| = _:.(I )求椭圆的方程；(U)设直线I: y=kx (kv 0)与椭圆交于P, Q两点，1与直线AB交于点M , 且点P, M均在第四

7、象限.若 BPM的面积是厶BPQ面积的2倍，求k的值.20. (14.00 分)设函数 f (x) = (x ti) (x t2)(xt3),其中 ti, t2, t3 R, 且ti, t2, t3是公差为d的等差数列.(I )若t2=0, d=1，求曲线y=f (x)在点(0, f (0)处的切线方程；(U )若d=3,求f (x)的极值；(川)若曲线y=f (x)与直线y=( x12) 6 :；有三个互异的公共点，求 d 的取值范围.第7页(共23页)第9页（共23页）2018年天津市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.

8、(5.00 分)设集合 A=1，2，3，4，B= - 1, 0, 2, 3 , C=x R| - Kxv2，则(AU B)n C=()A. - 1, 1B0, 1 C. - 1, 0, 1 D. 2, 3, 4【分析】直接利用交集、并集运算得答案.【解答】解：A=1, 2, 3, 4 , B= - 1, 0, 2, 3,( AU B) =1, 2, 3, 4 U - 1, 0, 2, 3= - 1, 0, 1, 2, 3, 4,又 C=x R| - Kxv2,( AU B)n C= - 1 , 0 , 1.故选：C.【点评】本题考查交集、并集及其运算,日 疋2.（5.00分）设变量x,y满足约

9、束条件2s-y4,则目标函数z=3x+5y的最大值为（）A. 6 B. 19 C. 21 D. 45【分析】先画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，分析后易得目标 函数z=3x+5y的最大值.a+yCS【解答】解：由变量x , y满足约束条件 p+yQ ,得如图所示的可行域,由計产：解得A （2 , 3）.当目标函数z=3x+5y经过A时,直线的截距最大，z取得最大值.将其代入得z的值为21,故选：C.【点评】在解决线性规划的小题时，常用 角点法”其步骤为：由约束条件画 出可行域？求出可行域各个角点的坐标 ？将坐标逐一代入目标函数？验 证，求出最优解.也可以利用目标函数的几何意义求解最

10、优解，求解最值.3. （5.00分）设 x R,则 “X>8”是 “x| >2”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【分析】由x3>8得到|x| >2,由|x| >2不一定得到x3>8,然后结合查充分条 件、必要条件的判定方法得答案.【解答】解：由x3>8,得x>2,则|x| >2,反之，由| x| >2,得xv- 2或x>2,则 x3v- 8 或 x3> 8.即“3> 8”是“x| > 2”的充分不必要条件.故选：A.【点评】本题考查充分条件、必要条件及其判定方法

11、，是基础题. （5.00分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入 N的值为20,则输出T的值为（）【分析】根据程序框图进行模拟计算即可.【解答】解：若输入N=20,则i=2, T=0,理型=10是整数，满足条件.T=0+仁1, i=2+仁3, i5不成立，i 2循环，二二不是整数，不满足条件.，i=3+仁4, i >5不成立，i 3循环，一=5是整数，满足条件，T=1+1=2, i=4+1=5, i> 5成立，i 4输出T=2,故选：B.5. （5.00 分）已知 a=l【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，根据条件进行模拟计算是解决本 题的关键.3 , c=log 1吉

12、，则a, b, c的大小关系 弓5为（ ）A. a>b>c B. b>a>c C. c>b>a D. c>a>b【分析】把a, c化为同底数，然后利用对数函数的单调性及 1的关系进行比较.【解答】第13页（共23页）则 b= （丁）c> a> b.故选：D.【点评】本题考查对数值的大小比较，考查了指数函数与对数式的单调性， 是基础题.6. (5.00分)将函数y=sin(2x+)的图象向右平移个单位长度，所得图象510对应的函数()A.在区间*晋"上单调递增 B.在区间专，0上单调递减c.在区间.上单调递增d.在区间丄，n上

13、单调递减【分析】由函数的图象平移求得平移后函数的解析式，结合y=Asin( ex®型函数的单调性得答案.【解答】解：将函数y=sin (的图象向右平移7V10个单位长度,所得图象对应的函数解析式为 y=sin2 (x-) =sin2x. 当x 寸.时，2x ，函数单调递增； 当x ，时，2x ， n，函数单调递减；422丨兀I 1T当x - ，0时，2x - ，0，函数单调递增； 当x 今，n时，2x n, 2诃，函数先减后增.故选：A.【点评】本题考查y=Asin (x©)型函数的图象变换及其性质，是中档题.7. （5.00分）已知双曲线 =1 （a>0, b>

14、;0）的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于 A，B两点设A，B到双曲线的同一条渐近线 的距离分别为di和d2，且di+d2=6，则双曲线的方程为（）2 2 2 2$ =1 B.咒-号=1 C.22 y=1 D.2 X2 y3| 993412124A.【分析】画出图形，利用已知条件，列出方程组转化求解即可.【解答】解：由题意可得图象如图，CD是双曲线的一条渐近线y：.：，即卩 bx ay=0, F （c, 0），AC丄 CD, BD丄 CD, FEL CD, ACDB是梯形,F是 AB 的中点，EF=' ,"=3,=b,所以b=3,双曲线2 2可得：a 解得a=

15、：:.则双曲线的方程为:【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，考查计算能力.8. （5.00分）在如图的平面图形中， 已知OM=1, ON=2, / MON=120 , T =2S.,j=2h,则的值为（）BA. - 15 B.- 9 C.- 6 D. 0【分析】解法I ,由题意判断BC/ MN，且BC=3MN,再利用余弦定理求出MN和/OMN的余弦值，计算；？ ”即可.解法II :用特殊值法，不妨设四边形 OMAN是平行四边形， 由题意求得的值.【解答】解：解法I ,由题意，6=2T.，=2，着斗=2BC MN，且 BC=3MN，又 MNJomSON2- 2OM?ON?c

16、os120=1+4- MN=.; BC=3 , cos/ OMN= 1，T1？ ir=U' '| X | ;"|cos ( n-/ OMN)解题I:不妨设四边形OMAN是平行四边形，由 OM=1, ON=2,/ MON=120，” =2， m .知衣皈 -AB=麵 -3石=-3五+顽,上（-3 r+3 J） ? 11=-3 Y+3 J? i,;=-3X 12+3X 2X 1 X cos120° =-6.故选：C.【点评】本题考查了平面向量的线性运算与数量积运算问题，是中档题.二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. (5.00分)i是虚数单位，

17、复数，| - = 4 - i .R21【分析】根据复数的运算法则计算即可.【解答】6+Ti -(6+石)(1-巫=6+14-K7i-12i-20-5 i=4 il+2i(1+21 (1-215551，解:第i3页(共23页)故答案为：4 - i【点评】本题考查了复数的运算法则，属于基础题.10. (5.00分)已知函数f (x) =exlnx，f'(x)为f (x)的导函数，贝U f'(1)的 值为 e .【分析】根据导数的运算法则求出函数f (x)的导函数，再计算f'( 1)的值.【解答】解：函数f (x) =einx，则 f (x) =exlnx?ex;z f

18、9;( 1) =e?l n1+1?e=e.故答案为：e.【点评】本题考查了导数的运算公式与应用问题，是基础题.11. (5.00分)如图，已知正方体ABCD- A1B1C1D1的棱长为1，则四棱锥A1- BB1D1D【分析】求出四棱锥的底面面积与高，然后求解四棱锥的体积.【解答】解：由题意可知四棱锥Ai-BB1D1D的底面是矩形，边长：1和.】,四棱锥的高：丄AiCi= 1 2 2则四棱锥Ai - BBiDiD的体积为：护1梵近X半吉.故答案为：丄.【点评】本题考查几何体的体积的求法，判断几何体的形状是解题的关键.i2.(5.00分)在平面直角坐标系中，经过三点(0, 0), (i, i),

19、(2, 0)的圆 的方程为(X- i) 2+y2=i (或 X+y2- 2x=0).【分析】【方法一】根据题意画出图形，结合图形求得圆心与半径，写出圆的方程.【方法二】设圆的一般方程，把点的坐标代入求得圆的方程.【解答】解：【方法一】根据题意画出图形如图所示，结合图形知经过三点(0, 0), (i, i), (2, 0)的圆，其圆心为(i, 0),半径为i,则该圆的方程为(x- i) 2+y2=i.【方法二】设该圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,则 4+2D+F=0 ,2+D+E+F=0解得 D=- 2, E=F=0所求圆的方程为x2+y2 - 2x=0.故答案为：(x- 1) 2+y

20、2=1 (或 x2+y2- 2x=0).【点评】本题考查了圆的方程与应用问题，是基础题.13. (5.00分)已知a, b R,且a-3b+6=0，则2a+】的最小值为丄 8b1【分析】化简所求表达式，利用基本不等式转化求解即可.【解答】解：a, b R,且a- 3b+6=0,可得：3b=a+6, 则 2a+ 1 =":8b当且仅当2a=-二函数的最小值为:.即a=- 3时取等号.T【点评】本题考查函数的最值的求法，基本不等式的应用，也可以利用换元法, 求解函数的最值.考查计算能力.x+2Ha_2,Q.若对任意x - 3,孟Q+x), f (x)< |x|恒成立，贝U a的取值

21、范围是2_.0【分析】根据分段函数的表达式，结合不等式恒成立分别进行求解即可.【解答】解：当x< 0时，函数f (x) =W+2x+a-2的对称轴为x=- 1,抛物线开 口向上，要使x<0时，对任意x - 3, +x) , f (x)< | xI恒成立，则只需要 f (- 3)< | - 3|=3,即 9 -6+a- 2<3,得 a< 2,当x> 0时，要使f (x)< |x|恒成立，即f (x) =- x2+2x - 2a,则直线y=x的下 方或在y=x上,由-«+2x-2a=x，即 x2- x+2a=0,由判别式厶=1 - 8a&l

22、t;0,故答案为：上,2.【点评】本题主要考查不等式恒成立问题，利用分段函数的不等式分别进行转化 求解即可注意数形结合.三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算 步骤.15. (13.00分)己知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为 240, 160, 160.现采用分层抽样的方法从中抽取 7名同学去某敬老院参加献爱心活动.(I )应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？(U)设抽出的7名同学分别用A, B, C, D, E, F, G表示，现从中随机抽取2 名同学承担敬老院的卫生工作.(i)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果； 第15页(

23、共23页)(ii)设M为事件 抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率.【分析】(I )利用分层抽样的性质能求出应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿 意者中分别抽取得3人，2人，2人.(n)(i)从抽取的7名同学中抽取2名同学，利用列举法能求出所有可能结果.(ii)设抽取的7名学生中，来自甲年级的是 A, B, C,来自乙年级的是D, E, 来自丙年级的是F, G, M为事件 抽取的2名同学来自同一年级”，利用列举法 能求出事件M发生的概率.【解答】解：(I )由已知得甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为 3: 2:2,由于采用分层抽样的方法从中抽取 7名同学，应从甲、乙、丙三个年级的

24、学生志愿意者中分别抽取得3人，2人，2人.(n)(i)从抽取的7名同学中抽取2名同学的所有可能结果为：A, B,A,C ,A,D,A,E ,A,F , A, G, B, C , B,D,B, E,B,F ,B,G ,C,D,C,E , C, F , C, G, D,E,D, F,D,G ,E,F ,E,G ,F,G，共 21 个.(i)设抽取的7名学生中，来自甲年级的是 A, B, C,来自乙年级的是D, E,来自丙年级的是F, G,M为事件 抽取的2名同学来自同一年级”， 则事件M包含的基本事件有：A, B , A, C , B, Q , D, E, F, G，共 5 个基本事件，事件M发生

25、的概率P (M).【点评】本题考查分层抽样、用列举法计算随机事件所含基本事件数、古典概型 及其概率计算公式等基础知识，考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.16. ( 13.00分)在厶ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a, b,c.已知bsinA=acos(B-7T).(I )求角B的大小;(n )设 a=2, c=3,求 b 和 sin (2A- B)的值.【分析】（I）由正弦定理得bsinA=asinB与bsinA=acos（B-匹）.由此能求出6B.（U ）由余弦定理得 b=，由bsinA=acos （ B-),得 sinA=，cosA-,V7第21页（共23页）由此能求出sin

26、 （2A- B）.【解答】解：（I ）在厶ABC中，由正弦定理得sinA sinB,得 bsinA=asinB又 bsinA=acos (B-).asin B=acos ( Bs+sin Bsin-6 6 tan B= : :,=cosBco7TVcosBi n5 ,), 即 sin B=cos ( BJTJ又 B(0，n),二 B丄.(n )在厶 ABC中，a=2, c=3,由余弦定理得b= .二一二vB=-3=i'， 由 bsinA=acos (B-），得sinA芈av c,： cosA=L sin2A=2sinAcosA= ',Tcos2A=2co§A - 1丄

27、,14 sin （2A- B） =sin2AcosB- cos2AsinB=72 72【点评】本题考查角的求法，考查两角差的余弦值的求法，考查运算求解能力, 考查函数与方程思想，是中档题.17. （13.00分）如图，在四面体 ABCD中, ABC是等边三角形，平面 ABCL平 面 ABD,点 M 为棱 AB 的中点，AB=2 AD=2 J；,/ BAD=90 .（I ）求证：AD丄BC;（n）求异面直线BC与MD所成角的余弦值；（川）求直线CD与平面ABD所成角的正弦值.【分析】（I ）由平面ABC1平面ABD,结合面面垂直的性质可得 AD丄平面ABC， 贝U AD丄BC;（n ）取棱AC的

28、中点N,连接MN, ND,又M为棱AB的中点，可得/ DMN （或 其补角）为异面直线BC与MD所成角，求解三角形可得异面直线BC与MD所成 角的余弦；（川）连接，皿，由厶ABC为等边三角形，M为边AB的中点，可得CM丄AB,且 CM二.，再由面面垂直的性质可得 CM丄平面ABD,则/CDM为直线CD与平面 ABD所成角，求解三角形可得直线 CD与平面ABD所成角的正弦值.【解答】（I ）证明：由平面 ABC丄平面 ABD,平面 ABCA平面 ABD=AB AD丄 AB,得AD丄平面ABC,故AD丄BC;（n）解：取棱AC的中点N,连接MN, ND, M为棱AB的中点，故MN / BC,/ D

29、MN （或其补角）为异面直线BC与MD所成角，在 RtADAM 中，AM=1，故 DM= $卩-；, AD丄平面ABC,故AD丄AC,在 RtADAN 中，AN=1，故 DN=门j :,在等腰三角形DMN 中, MN=1，可得cosZDMN-DM 26异面直线BC与MD所成角的余弦值为V1326（川）解：连接CM,v ABC为等边三角形，M为边AB的中点,故 CM丄AB, CM=：:,又平面 ABC丄平面ABD, 而 CM?平面ABC,故CM丄平面ABD,则/ CDM为直线CD与平面ABD所成角.在 RtACAD中, CD=| -,在 RtACMD 中，sin/ CDM二丄-.CD - 4直线

30、CD与平面ABD所成角的正弦值为【点评】本题考查异面直线所成角、 直线与平面所成角、平面与平面垂直等基本 知识，考查空间想象能力、运算求解能力与推理论证能力，属中档题.18. （13.00分）设an是等差数列，其前n项和为S（n N* ）； bn是等比数列， 公比大于 0,其前 n 项和为 Tn（n N*）.已知 bi=1，b3=b2+2, b4=a3+a5, b5=a4+2a6.（I ）求 S 和 Tn；（U）若 Sn+ （T1+T2+Tn） =an+4bn，求正整数 n 的值.【分析】（I）设等比数列bn的公比为q，由已知列式求得q,则数列bn的通 项公式与前n项和可求；等差数列an的公差

31、为d，再由已知列关于首项与公差 的方程组，求得首项与公差，代入等差数列的通项公式与前n项和公式可得S；（U）由（I ）求出 T1+T2+Tn,代入 S+ （ T1+T2+Tn） =an+4bn，化为关于 n的一元二次方程求解正整数n的值.【解答】解：（I）设等比数列bn的公比为q,由b1=1, b3=b2+2，可得q2-q-2=0. q>0,可得 q=2.故g二产1, T门圣一1；设等差数列an的公差为d,由b4=a3+a5,得a+3d=4,由 b5=a4+2a6，得 3a1+13d=16,a1=d=1.故an=n,片二口 (n+1)=2n+1 - n（叮由（I）,可得T1+T2+Tn=

32、（小+护+ F）f二竺4吕巴一口-2.由 Sn+ (Tl+TTn) =an+4bn ,可得亠尹整理得：n2 - 3n - 4=0,解得n=- 1 (舍)或n=4. n的值为4.【点评】本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前n项和等基础知识,考查数列求和的基本方法及运算能力，是中档题.2 219. (14.00分)设椭圆=1 (a>b>0)的右顶点为A,上顶点为B.已知 椭圆的离心率为 工L, |AB| = -;.31(I )求椭圆的方程；(U)设直线I: y=kx (kv 0)与椭圆交于P, Q两点，1与直线AB交于点M , 且点P, M均在第四象限.若 BPM的面积是厶BP

33、Q面积的2倍，求k的值.【分析】(1)设椭圆的焦距为2c,由已知可得一又a2=b2+c2,解得a=3,b=2,即可.(II)设点 P (X1, y1), M (X2, y2), (X2>X1>0).贝U Q (- X1，- y1).由厶BPM的面积是厶BPQ面积的2倍，可得X2 - X1=2X1-( - X1) , X2=5x1,联立方程求出由pk> 0®Z7，可得k.【解答】解：(1)设椭圆的焦距为2c,由已知可得一 一，又a2=b2+c2,解得 a=3, b=2,2 2椭圆的方程为：£?-,94(I)设点 P (X1, y1), M (X2, y2),

34、 (X2>X1>0).贝U Q (- X1,- y。. BPM 的面积是厶 BPQ 面积的 2 倍， |PM|=2|PQ|，从而 X2 - X1=2X1-(-X1),二 X2=5xi ,易知直线AB的方程为：2x+3y=6.，可得2x+3y=6 y=kx 由II 4,49护二36I y=kx,? 18k2+25k+8=0,解得 k=-或 k=-> °.可得心岭，故 k=-二 62=3k+2【点评】本题考查了椭圆的方程、几何性质，考查了直线与椭圆的位置关系，属 于中档题.20. (14.00 分)设函数 f (X)= (X ti) (x-t2)(X- t3)，其中 t

35、i，t2，t3 R, 且ti，t2，t3是公差为d的等差数列.(I )若t2=0, d=1，求曲线y=f (x)在点(0，f (0)处的切线方程；(U )若d=3，求f (x)的极值；(川)若曲线y=f (x)与直线y=-( x-12)- 6.二有三个互异的公共点，求 d 的取值范围.【分析】(I )求出t2=0, d=1时f (x)的导数，利用导数求斜率，再写出切线 方程；(U )计算d=3时f (x)的导数，利用导数判断f (x)的单调性，求出f (x)的 极值；(川)曲线y=f (x)与直线y=-(x-t2)-有三个互异的公共点，等价于关于x的方程f (x) + (x-t2)- 6：=0

36、有三个互异的实数根， 利用换元法研究函数的单调性与极值，求出满足条件的d的取值范围.【解答】解：(I )函数 f (X) = (X- t1) (X- t2) (X- t3),t2=0, d=1 时，f (x) =x (x+1 ) (x- 1) =X3 - x, f' ( x) =3* - 1,f (0) =0, f'(0) =- 1, y=f (x)在点(0, f (0)处的切线方程为 y- 0=- 1X( x- 0),即 x+y=O;(n ) d=3 时，f (x) = (x- t2+3) (x- t2)(Xt2 3)=X3 - 3t2x2+ (3十二-9) x -十:+9t