《现代控制理论基础》考试题B卷及答案

1、一. （本题满分 10 分）请写岀如图所示电路当开关闭合后系统的状态方程和输岀方程。其中状 态变量的设置如图所示，系统的输出变量为流经电感厶的电流強度。遵守考场纪律【解答】根据基尔霍夫定律得:厶呂 +Rq + x3=v 厶匕 + Rx = x.厶JCxy+ 匕=需:|输岀方程为 y =无 2写成矩阵形式为注意行为规范100 1二. (本题满分 10 分)单输入单输出离散时间系统的差分方程为y(k+ 2) +5y(k+1) + 3y伙)=r(k+1) +2心)回答下列问题：(1)求系统的脉冲传递函数：(2)分析系统的稳定性；(3)取状态变量为 xl(k) = y 伙)，花伙)=召伙+ 1)-厂伙

2、)，求系统的状态空间表达式;(4)分析系统的状态能观性。【解答】(1)在零初始条件下进行 z 变换有：(F+5z + 3)Y(z) = (Z+2)R系统的脉冲传递函数： 竺=严2Rz +5z + 3(2)系统的特征方程为D=，+5z + 3 = 0特征根为召=-4.3, 6=-0.7, z 1,所以离散系统不稳定。(3)由召伙)=y 伙)，x2(k) = xl伙+ 1)-厂伙)，可以得到x2伙 +1) = xx伙 + 2) - r(k + 1) = y(k + 2) - r(k +1)由已知得y(k + 2)- r(k +1) = 2r(k)-5y (k +1) -3y(k) = 2r(k)

3、- 5 易伙 +1) - 3旺(k)= 2r(k)-5x2(k) + r(k)-3xl伙)=一 3 召伙)一 52 伙)一 3/*伙)于是有：x2(k + 1) = 一 3 召伙)-5x,伙)一 3 厂伙)1又因为召伙+ 1)=厂伙)+尸伙)所以状态空间表达式为1(4)系统矩阵为G = ,输出矩阵为 c =1 0, cG=l 0 1=0_3 5_3 5能观性矩阵为 0= :G t；，rank2o =2系统完全能观。三. （本题满分 10 分）回答下列问题：（1）简述线性系统的对偶原理；（2）简述线性定常系统的状态稳定性与输出稳定性的相互关系；（3）厂输入厂输岀厂+ 2 阶线性解耦系统等效于多少

4、个独立的单输入单输出系统?【解答】（1）若线性系统 1 与线性系统 2 互为对偶，则系统 1 的能控性等价于系统 2 的能观性，系统 1的能观性等价于系统 2 的能控性。（2）若线性定常系统的状态稳定，则输出必稳定，反之，若线性定常系统的输出稳定， 则状态未必稳定。当且仅当线性定常系统的传递函数没有零极点对消现象时，其状态稳 定性和输出稳定性才是等价的。（3）厂输入，输出厂+ 2 阶线性解耦系统等效于，个独立的单输入单输出系统。四. （本题满分 10 分）= xi-x1cos设有一个 2 阶非线性系统，其状态方程为判断该系统在坐标x2= x2原点处的稳定性，并证明你的判断。【解】此系统在坐标原

5、点处不稳定。【证明】取李雅普诺夫函数叽小=彳+用，显然是正定函数，此外，沿着状态轨线的导数为：y伙) =i 0厂伙）州伙）x2a）J壬伙+ 1）J 0 兀2 伙+ 1）|_一3+ 一 31V(x) = 2x,x, +2X2X2=2xj (x, x2cosx2) + 2x；= 2xf - 2xx2cos x2+2x；)+ 2x1 =2 X；- XX2COS *2 + 土 X；COS2x2j +2Xy -x；cos22 = 2(x：-x1x2cosx2显然是正定的，所以该系统在坐标原点处不稳定。五. （本题满分 10 分）设某控制系统的模拟结构图如下,试判断系统的能控性、能观性和稳定性。 【解答】

6、根据模拟结构图可得状态空间表达式fxj = -2xj +3X2+MI- uy =x写成矩阵形式为-2 3A =-1 01b =-1系统的特征方程为det（2Z-A） =3=22+22 + 3 = 02显然系统渐近稳定。系统的能控性矩阵为a = b Ab=完全能控。显然，Of 满秩，所以系统状态c=0。0观测器特征多项式为观测器期望特征多项式为（兄+10）=几2+ 20兄+ioo根据多项式恒等的条件得6 +厶=20=100/, = 100解得”=14，全维状态观测器方程为0 -100 1 -20七. （本题满分 10 分）证明对于状态空间表达式的线性变换，其特征方程保持不变。 【证明】设原线性系统为AI L =1 -6-7,1兄 +6 +/、det +5X3x3= -x3+ 2w010_0_X =0-55X +0/$ + 1)(5 +A/2)52+(1 + 5)5 + 5fs）= s- +设状态反馈控制律为 = k2k3xf代入可得闭环系统的状态方程1-52k2052k.-1闭环特征多项式为/1 0 0_ 0 1 00500-55X_00S2k 2k22k3-1/f(s)= det (sZ - 4) = det-5=?+(6-2/r3)?+(5-10-10)5-10