数值分析计算方法总结

1、第一章绪论误差来源：模型误差、观测误差、截断误差(方法误差)、舍入误差|eX)= |S X " I是乂 的绝对误差,e =-X是K '的误差,E(x) = |s广I W.E为K*的绝对误差限(或误差限)d二：二y为乂的相对误差,当W较小时,令er = ：T = T7- AAAn.相对误差绝对值得上限称为相对误差限记为：珏 即：1闩=牛f艮点=牛绝对误差有量纲,而相对误差无量纲假设近似值X '的绝对误差限为某一位上的半个单位,且该位直到X "|的第一位非零数字共有n位,那么称近似值 x '有n位有效数字,或说 X '精确到该位.例：设x=TT=

2、3.1415926 那么K =3局(幻= 01415926式05 X 1此贝虹有效数字为1 位,即个位上的3,或说X 精确到个位.科学计数法：记b =± 0占四榆X 1俨供中小革吭假设| < 0.5 X 1俨 七那么疽|有 n位有效数字,精确到1."".由有效数字求相对误差限：设近似值x ' =±成退广,我X 1(尸所W.)有n位有效数字,那么其相对误差限为由相对误差限求有效数字：设近似值X.' =±X 10n,【街牛0)的相对误差限为T那么它有n位有效数字令Mr是近v的近似值,且|x<x|<n(xh |y&l

3、t;yln(yj1.2.x+y近似值为b + vL口门(x + y) (Q +n ty)和的误差(限)等于误差(限) 的和x-y近似值为 b-yLHri (x + yj =E)3.xy近似值为xy q(xy)* |x * I * n(y) + y * n(x)4.虹| + |yd| - i|(k)ftz1.2.3.4.第二章*ly*l"防止两相近数相减防止用绝对值很小的数作除数防止大数吃小数尽量减少计算工作量非线性方程求根按某个预定步长(例如f (xk)=f (a+kh)的符号,xk即为所求根),然后从| xk-xk-1|< E为止,此时取1. 逐步搜索法设f (a) <

4、0, f (b)> 0,有根区间为(a, b),从x0=a出发, h=(b-a)/ N一步一步向右跨,每跨一步进行一次根的搜索,即判别 假设 f(xk)>0(而 f(xk-1)<0),那么有根区间缩小为xk-1,xk(假设 f(xk)=0, xk-1出发,把搜索步长再缩小,重复上面步骤,直到满足精度：x* Q ( Xk+Xk-1 )/2作为近似根.2. 二分法设 f (x)的有根区间为a,b= a0,词,f (a)<0, f ( b)>0.将ao, b0对分,中点 X0=i心. , (In (i> j) In (f)(a0+b°)/2),计算f(x

5、°).对于绐定精度E-即w<e,可碍所需步数k.k> 而3. 比例法一般地,设ak, bk为有根区间,过(ak, f (ak)、( bk, f ( bk)作直线,与x轴交于一点 xk,贝U： x = a- * (h - a)1. 试位法每次迭代比二分法多算一次乘法,而且不保证收敛.2. 比例法不是通过使求根区间缩小到0来求根,而是在一定条件下直接构造出一个点列(递推公式),使该点列收敛到方程的根.一一这正是迭代法的根本思想.事先估计：I* "-踊W台阳-褊|事后估计,局部收敛性判定定理：设2为方程 = <p(x)的根,甲*)'在妃的某一邻域内连续,

6、Jfi|<P(X + )|<】.那么该迭代局部收敛局部收敛性定理对迭代函数的要求较弱,但对初始点要求较高,即初始点必须选在精确解的附近Steffensen 迭代格式：Xk+L = fp(Xk)+ 1 =甲(乱 + 1)Newton法：,* i -林-小Newton下山法: 球十i =厘-福勺是下山因子WtXfc-Xk 1)弦割法：Xk十I = Xk -,瞿抛物线法：令1 =札柿=尚"-跖川=独一-跖可化为y(l) =吏1十m + c其中：(fan-c) , f - (ffxk J - c) ho&=h?* h/-5i0Vh1) - )* ho" (f(X

7、k - 2)- c) * h hl * h0-h0*h/c=EE)那么:t -2cxk +上 > 0b + x,b?-4ac2cXk + - i 7 ,b < 0. b + Jh' - 4ac设迭代Xk+i=g( Xk)收敛到g(x)的不动点(根)x*设ek = Xkx*假设!耽；页=&那么称该迭代为p (不小于1)阶收敛,其中 C(不为0)称为渐进误差常数第三章解线性方程组直接法列主元LU分解法：计算主元 S = aik-£；一 ；上曰此i = k,k+1,.,n选主元|Sk| = max |Sj|k < I < nhU!j = aiJt (

8、j = 1,2.5)ail- * (i 二 3 n)unukj = akj 临口削,(j = k.k + 1n ) »即为上式主兀 ni 1hk 二二I祉-VltanUmkL (i = k +Lk +乙n)对于Ax=b,三角分解 A=LU Doolittle 分解：L为单位下三角矩阵,U为上三角矩阵;Crout分解：L为下三角矩阵,U为单位上矩阵.可分解为：p-y = b,下三角方程组 IUx = y,上三南芳程川右利用紧凑格式可化为：Ux = yyi = b k- 1Yk ：=仲叫(k =n ；.m= lCholesky平方根法：系数矩阵A必须对称正定AX = bc=> (A

9、 = yf其中A = 1上).旬i= hi = Li =235)k- 1】kk =- Ikiu'*J lit = t41 k-1I山=- V* lijJkjJCi = k + Lk + 2.n, k = 2H3.n)Ikk m - 1l»2 1132 1改良Cholesky分解法：A = LD150 由 A = L(D15)Li =日厂 g 帅.订,I =侦i - 11 ri为减少计算星.令5 =扁4,可改制di = du - £ 1加 U = L2 -.hLiIIAh = Zf ttaL 1-范数II冏竺、乏二M,z-范数或欧氏范数|A|L= lim |x|p=

10、max hl, 8-范数fl|A|i= max i；' JaJ,列范数 1 n'|A|j = maiATAt 谱范数|A|e= m*行范数kl<i<n 1 1谱半p A= m酥|AJA为特征值.且p CA三|A|,假设A为对称阵那么:p CA = |A|2径：fim收敛条件：谱半径小于 1条件数：.,1 I第四章 解线性方程组的迭代法Jacobi 迭代:杪'她-源二昵甲性.=L25；k = 52 基于Jacobi迭代的Gauss-Seidel迭代：I"x/k *n = <bi-二明妙；再 哪甲= 1,2n;k = 0,1.2迭代收敛：谱半径小

11、于 1,范数小于1能推出收敛但不能反推逐次超松弛迭代SOR :i-i£ 期x甲),( =1,2 .n;k = 0J2.)I + 1炒* 1=对-屈-&W明L曲 所"1-m对十巧九-习询禅丫" - 5?祁甲,.=iz,.n；k = 0JZ.J 项 fA -rt 1当B=1时,就是基于 Jacobi迭代的Gauss-Seidel迭代加权平均.第五章插值法Lagrange插值法：liXi = ；： = j.那么忡=亦艺构造插值函数：1那么：卜待=*i心为=E；我11榔君司力假设记：用 5=【XXJX-X!,.- x-xn二 |：_.N-Xi幻vn nu旧略 寸】

12、 叭町 _那么可改为：1i*41m那么插值余项：R.M = © - L心二两4 1逐次线性插值法Aitken埃特金法：Loi .k-l(3t) ' Loj k(x)1L OJ kl(K) = La,i k(x) +(X-X|J =X|-XkX| - X|(f(X) X-Xi f(Xk) x-xkNewton 插值法:N(x)=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)(x-x1)+- +an(x-x0)(x-x1)-(x-xn)并满足 N(x)=f(x)rti !k差商的函数值表示：血仃1如=£而福疝差商与导数的关系:那么：fx-伺+ 4知,引讨心+ 0E1办1外力+

13、血瞄匚蚯zRg Q等距节点Newton插值公式:Newton 向前插值：Nn(a + th) = f(x) + £化-及质J,其中(k) = - Ti 余项："冲七如+匕：.,t = -Newton 向后插值：财乂口 + th = f& + E：.余项：RQ) = i(5'W)Hermite 插值：H(x) =的(x)w + Z> 洲(k况«!X=<Ax + B)lf(x), Pj(X)-(Cx + D)lt(X)可得：ccl(x) - p -2(x-xJi；i-Tl?(x) .pi(x) = (x - Xj)l(x)插值余项：1, -

14、 '待定系数： 1,三次样条插值：三弯矩构造法记,为=Mj对E积分两次并满足插值条件,巾=Xj-Xj . A =川* hi "缶=V + h * l对于附加弯矩约束条件：白爪心,妇-Xi M()(jfXLX小 X36ffe*X3, x4jAiMj-t + SMj + MiM| +1 = GfpCi _ 网内 4 1对于附加转角边界条件：hiHxi,X2 , Xghn对于附加周期性边界条件:2Me2肉MiA/2*B . *M；d=6An N 2 Mn - 2Mn 2An-z 2阵Jfkn - 3»X(| - 1- 211 Iji J |h】+ hLif心、X2X3.(

15、籽 _又)3 (X - X, _ i) sW = Mi_1 -+Ml PFMb_|hXi-x 十 1(X|- t)-上式保证了 s(x)在相邻两点的连续性第六章函数逼近与曲线拟合主要求法方程第七章数值积分与数值微分求积公式具有m次代数精度的充要条件:x弘=湍 k = 04- n, f dx * VAjX131 f1插值型求积公式/W = dxX".0A|f(x1)求枳系教公式；A, = J%(x)dM+i =(Ue| Newton-Cotes(等分)梯形求积公式I< n=1),具有1次代数收敛精度JjWdjt y -顼+ Kb)、一、,.,、_ (b - LlV r-误差公式：

16、I抛物型求积公式(Simpson求积公式,n=2),具有3次代数收敛精度Ll(x)dx ss £b 一粮)4 «%) + 1(b)误差公式庇rn=-giS)Newton 求积公式(Simpon3/8法那么) 具有3次代数收敛精度b - ab - aNq «(f(a) + 3f(a + h) + 3f(a + 2h) + f(b)t h =- BnCotes求积公式(n=4),具有5次收敛精度fl b - ab - aJ f(x)dxR-7(f(H)+ 3M(a + h)+12fGi + 2h) + 32n；a + 3h) + 7f(b)L h=误差公式节点数为奇数

17、时,代数精度为n;为偶数时,代数精度为 n+1.代数精度都是奇数.复化梯形求积公式：Th(f)=扳时+；血)+ f(b)截断误差：二-(r|)复化Simpson公式：UD =富可日)+我i(X%卜；)+("截断误差：1复化Cotes求积：hh- LH - 1=耐7啊 + 14»电+32 b + 12 "i = l 4n - 1i -1&*普+吃?« + 7例截断误差： MD=-W><n迎_,假设一个复化积分公式的误差满足hm 且.0,那么称该公式是 p阶收敛的.复化求积公式需要 2n+1个求积节点Romberg 求积算法：41=- -

18、Tt.161琮=荷血一苻641幻=宙 " 63复化梯形求积公式：卜即+-T.COl = SM复化Cotes求积公式：|%+-确| = RnfGauss 型求积公式：内积公式： '''：''截断误差：,一高斯求积公式代数精度为 2n+1Gauss-Legendre求积公式注意区间-1,1 ,变换可得：形如J七舄“AAXi求积系数可通过代数精度或插值型求积公式求积系数公式求出,亦可由下式求得：A =_' =.'1 pT-n截断误差：晶/加TIE 1Gauss-Chebyshev 求积公式：形如：伯斤 L 心叩求积系数:Aj = 击.=山1曰必为正截断误差：''' 1':Gauss-Laguerre求积公式：形如：/0 Kx)e Pk之如1)平求积系数：|截断误差：.-Gauss-Hermite求积公式：形如:r + 2(n + nW求积系数：'截断误差:, HxJ - f(Ko) M ui/、三点数值微分公式:r (K)