整理不定积分习题课-带解答

1、第四章不定积分习题课1. 原函数假设F(x)=f(x),那么称F(x)为f(x)的一个原函数.假设F(x)是f(x)的一个原函数,那么f(x)的所有原函数都可表示为F(x) +C .2. 不定积分f(x)的带有任意常数项的原函数叫做f(x)的不定积分,记作Jf(x)dx.假设 F(x)是 f(x)的一个原函数,那么 Jf(x)dx = F(x)+C ,3. 根本性质1) f (x)dx= f (x),或 d Jf(x)dx = f (x)dx ;2) dF(x) =F(x)+C,或F'(x)dx = F(x) + C；3) j f (x) +g(x)dx =f (x)dx +g(x)d

2、x ;4) Jkf (x)dx =k J f (x)dx , ( k # 0 ,常数).4 .根本积分公式(20个)原函数与不定积分是本章的两个根本概念,也是积分学中的两个重 要概念.不定积分的运算是积分学中最重要、最根本的运算之一.5.例题例1f(x)的一个原函数是ln2 x ,求fx).解 f (x) = (ln 2 x),= 2 ln x 1 ,f (x) = 2ln x =兰(1 Tn x).xx J x例 2 设"(x)dx =2sin：+C,求 f(x).解积分运算与微分运算互为逆运算,所以xxf (x) = j f (x)dx = 2sin+C = cos-.22例3假

3、设f (x)的一个原函数是2x,求 f (x)dx .解 由于2x是f(x)的原函数,故f(x) = (2)= 2xln2 ,所以Jf '(x)dx = f(x) + C =2xln 2 + C .例4求不定积分3"exdx.解被积函数为两个指数函数的乘积,用指数函数的性质,将其统 一化为一个指数函数,然后积分.即一1, .3%x(3 edx=R3 e) dx =j(3 e) +C =+C .ln(3 e)1 -ln3例5求不定积分f dx .'L x J解利用求导运算与积分运算的互逆性,得Ff *dx=C.lx) x3、,例6求不定积分f空dx.5x3112615

4、x15dx =x15 C .解 先用籍函数的性质化简被积函数,然后积分.1:_33 5dx =32例7求不定积分-xA.解 分子分母都是三次多项式函数,被积函数为假分式,先分解为 多项式与真分式的和,再积分,也即x3 x2 3x 1 , 3dx =x3 x32x3 x X2 1 2x ,3dxx3 x,.12.,一=(1 + + idx = x + ln | x | +2 arctan x + C .' x x2 +1.J例8求不定积分f一1一 dx .1 cos2x解 用二角怛等式cos2x =1 2sin2 x将被积函数变形,然后积分.dx =1 -cos2x一 dx = 1 cs

5、c2 xdx =2sin2x 2例9求不定积分f(tan2 x +se(f x)dx .解 用三角恒等式tan2 x =sec2x-1将被积函数统一化为sec2x的函数,再积分.(tan2 x sec x)dx = (sec2 x T sec2 x)dx=(2sec2 x -1)dx = 2t a x - x C .例10求不定积分J厂*2 dx.x2(1 x2)1 2x"x2 T x2：丁 dx =dx =2 222x (1 x ) x (1 x )+ 二dx = arctan x - 】+ C .11+x2x)x精品文档11 求不定积分4 V 2 dx . x4(1 xdx 尹

6、ln(1+e )+C .)类似于例10,拆项后再积分1,I 42dx = ix4(1 x)22441 x x xx ,42dxx4(1 x2)i 1 - M dx = 1 arctan x C .x4x21 x2 3x1 ex x例12 一连续曲线过点(e2,3),且在任一点处的切线斜率等于 -, x 求该曲线的方程.解设曲线方程为y = f(x),那么厂(x) = 2,积分得 xf(x) = J&x=2lnx+C .(曲线连续,过点(e2, 3),故 x>0) x将f(e2)=3代入,得3 = 2lne2+C,解出C = -1 .所以,曲线方程为y =2ln x 1 .例13判

7、断以下计算结果是否正确1) i 侗回却dx =1 (arctan x)3 +C ;2) dx = in(1+ex )+C .1 x231 exf解1)1 (arctan x)3 +C =而叩所以计算结果正确._31 xx.2) k(1+ex)+C】 = ,3 ,计算结果不正确,即1 ex 1 e以下积分都要用到“凑微分.请仿照例如完成其余等式11) a=0时,jf (ax+b)dx = -f (ax + b)d(ax+b). a2) f (sinx)cosxdx= f (sinx)d sinx.3) Jf (cosx)sinxdx =八14) i f (In x) dx =x5) a?0, a

8、#1 时,jf(ax)axdx =6) P #0 时,Jf(x*)x七dx =7) /f (tan x)sec xdx =8) J f (cot x) cscln tan xsec xdx = d tan xtan x xdx =9)10),.、1,f (arcsin x)dx =d-x2、1,f (arctan x) dx =1 x2精品文档11)空dx =f(x)ln tan xln tan xdx =sin xcosx tanx例14求qdx.sin xcosx=ln tanxd(ln tanx)12_= (lntanx) + C .精品文档说明t axn- 0 , 故注 由于被积函数中

9、含有Intaxn,1d tan x = d ln t axn.tan x例15求以下不定积分1),.ln x dx ;2)x(1+x)100dx.x、1 ln x解 1) J ln x dx= J " "T【dx(请注意加1、减1的技巧)x V1 ln x. 1 ln x x=J+ln xd(1+lnx)'<(1 十 ln x J3127乙=一(1 ln x)2 2(1 ln x)2 C .32)jx(1+x)100dx=(x+1 -1)(1 + x)100dx=(x 1)101d(x 1) - (x 1)100d(x 1)(x 1)102(x 1)101 C

10、.102101例16 设Jf(x)dx = x2十C,不求出f(x),试计算不定积分?f(1-x2)dx.1解 xf (1 x2)dx =-一f (1 x2)d(1 x2)(将 1 x2 看作变最 u)xi(x)ux(x)U(x )x2=-(x2)2 C .2例 17 设 f(x) =e求 f f (ln x) dx .x解 先凑微分,然后利用Jf'(u)du = f(u)+ C写出计算结果.即'(n x) dx = f (ln x) d ln x = f (ln x) C = e 颈x C =】 C .例18计算不定积分x【提示】分母中有xk时,考虑用“倒代换设 x =贝I

11、dx = 一冬 dt , tt21.x4(1 x2)厂衬11 丁 -* 出=一.日#=一t2t4t4 -1 1dt1 t=-(t2-1 + dt = _L+t-arctant+C'1 +t2 J 3111 一 一-arctanC .3x xx19 求不定积分f 1 dx.6x(x 4)1 dx =x(x6 4)66 dx=1x6(x6 4)6x6(x6 - 4)d(x6)x6 =t 1一 dt -6 t t 42411dt分部积分1=In241 C In24x6 4.uv dx凑微分udv交换u、vuv - vdu = uv - u vdx.目的,使公式右边的积分fuvdx要比左边的积

12、分uvdx容易计算,关 键在于正确地选取u和凑出.例20求不定积分gidx. x解一 这是一道综合题,先作变量代换,再分部积分.令t=«精品文档dx = 2tdt,arcsin xdx =.xarcsint,2tdt =2 arcsint dttu v=2(t arcsint 一 t d arcsint )= 2t arcsin t- 2 dt.1-t2c.12、=2t arcsin d(1 t )一 1-t2= 2tarcsint 2,1 - t2 C解二先凑微分,再代换,最后分部积分,即=2 Jx arcsin JX + 2jl - x + C .jarcs/x dx = 2Ja

13、rcsin五 dR % x -1 2 J arcsintdt x=2t arcsin t -. t - dt,1-t2= 2tar csti n2.1 -t2 C = 2, xarcs i n 2.1 - x C- t,»* > * * 、> 4, >»2* 例21 f(x)的一个原函数是e",求xT(x)dx.【提示】不必求出f'(x),直接运用分部积分公式.F解由条件,f(x)=(e),且Jf (x)dx = e +C ,故xf (x)dx = xdf(x) = xf (x) - f (x)dx= x(M )-次 +c = -2x2M

14、 _/2 +C .精品文档例 22 设 f Iln x) =(x+1)lnx ,求 f(x).解 先求出fix)的表达式.设lnx = t,那么x = ef (t) =t(e1)f (t) = t(S 1)dt = tdStdt=te* - etdt一 = te2所以f (x) = xe3 -x -ex +工 +C .254_例23求不定积分i x 3x 2dx .x - x解将分子凑成x2(x3 _x) +x(x3 _x)+x3_x + x2+x_2,把分式化为多项式与真分式的和精品文档54八x x -2x2 x - 22再将真分式 J2化为最简分式的和,x 一 xx2 x -2 _ (x

15、2)(x -1) _ x 2 = 2(x 1) -x _ 21x3-x x(x 1)(x-1) x(x 1) x(x 1) x x 1于是-3 dx = (x2 x 1 2 -一 )dxx - xx x 132xx一=+ x+2ln x ln32例24求不定积分上；火.1 x8 d _ x(1 x8) x _x8 (1 x8)1 -x8711 -x8x dx = 8 u".x+1 +C .8x8(1x8)d(x8)换兀,令u = x8 =11n u -1 ln(1 u) C =11n x8 -11n 1 x8 l C84841a=ln |x| ln(1 十x8 )+C .4例25 求不定积分J1dx .1 sin x1,1 sin x ,1 - sin x ,dx = dx = 2dx 1 sin x 1 sin x cos x= (sec xtanxsecx) dx = tanxsecx C .例2