山东省济南市槐荫区九年级数学下册 第3章 圆复习导学案 （新版）北师大版-（新版）北师大版初中九年级下册数学学案

1、第三章圆一、知识梳理(一)圆的概念集合形式的概念： 1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念： 1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距

2、离都相等的一条直线。(二)点与圆的位置关系1、点在圆内 点在圆内；2、点在圆上 点在圆上；3、点在圆外 点在圆外；（三）直线与圆的位置关系1、直线与圆相离 无交点；2、直线与圆相切 有一个交点；3、直线与圆相交 有两个交点；（四）圆与圆的位置关系外离（图1） 无交点 ；外切（图2） 有一个交点 ；相交（图3） 有两个交点 ；内切（图4） 有一个交点 ；内含（图5） 无交点 ； （五）垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，

3、垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即： 是直径 弧弧 弧弧中任意2个条件推出其他3个结论。推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。即：在中，弧弧 （六）圆心角定理圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。 此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论，即：； 弧弧（七）圆周角定理1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。即：和是弧所对的圆心角和圆周角2、圆周角定理的推论：推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同

4、圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；即：在中，、都是所对的圆周角 推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。即：在中，是直径或是直径推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。即：在中， 是直角三角形或注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。（八）圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。即：在中，四边形是内接四边形 （九）切线的性质与判定定理（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者

5、缺一不可 即：且过半径外端 是的切线（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。以上三个定理及推论也称二推一定理：即：过圆心；过切点；垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。（十）切线长定理切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。即：、是的两条切线 平分（十一）圆幂定理（1）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。即：在中，弦、相交于点， （2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。即：在中，

6、直径， （3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。即：在中，是切线，是割线 （4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）。即：在中，、是割线 （十二）两圆公共弦定理圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。如图：垂直平分。即：、相交于、两点垂直平分（十三）圆的公切线两圆公切线长的计算公式：（1）公切线长：中，；（2）外公切线长：是半径之差； 内公切线长：是半径之和 。（十四）圆内正多边形的计算（1）正三角形:在中是正三角形，有关计算在中进行：；（2）正四边形同理，四边形

7、的有关计算在中进行，：（3）正六边形同理，六边形的有关计算在中进行，.（十五）扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式1、扇形：（1）弧长公式：；（2）扇形面积公式： ：圆心角 ：扇形多对应的圆的半径 ：扇形弧长 ：扇形面积2、圆柱： （1）圆柱侧面展开图 =（2）圆柱的体积：3 .圆锥侧面展开图（1）=（2）圆锥的体积：二、题型、技巧归纳类型一确定圆的条件 例12010·河北 如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过a，b，c三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是()a点p b点q c点r d点m解析 b圆心既在ab的中垂线上又在bc的中垂线上，由图可以看出圆心应该是点q.归纳：过不在同

8、一条直线上的三个点作圆时，只需由两条线段的垂直平分线确定圆心即可，没有必要作出第三条线段的垂直平分线事实上，三条垂直平分线交于同一点例2如图，ab是o的弦，半径ocab于d点，且ab6 cm，od4 cm，则dc的长为()a5 cm b2.5 cm c2 cm d1 cm解析 d连接ao，因为ocab，所以adbd3 cm，因为od4 cm，在直角三角形ado中，由勾股定理可以得到ao5 cm，所以oc5 cm，所以dc1 cm.归纳：(1)垂径定理是根据圆的对称性推导出来的，该定理及其推论是证明线段相等、垂直关系、弧相等的重要依据利用垂径定理常作“垂直于弦的直径”辅助线(往往又只是作圆心到弦

9、的垂线段，如本例)；(2)垂径定理常与勾股定理结合在一起，进行有关圆的半径、圆心到弦的距离、弦长等数量的计算这些量之间的关系是r2d22(其中r为圆半径，d为圆心到弦的距离，a为弦长)类型三圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 例3如图，o中，弦ab、cd相交于点p，若a30°，apd70°，则b等于()a30° b35° c40° d50°解析 c由三角形的外角求得c40°，所以bc40°.类型四圆心角与圆周角例4如图，点a，b，c在o上，abco，b22°，则a_°.解析 由同弧所对的圆心角等于

10、它所对的圆周角的2倍，得o2b44°，又因为abco，所以ao44°.归纳：圆周角定理建立了圆心角与圆周角之间的关系，因此，最终实现了圆中的角(圆心角和圆周角)的转化，从而为研究圆的性质提供了有力的工具和方法当图形中含有直径时，构造直径所对的圆周角是解决问题的重要思路在证明有关问题中注意90°的圆周角的构造类型五与圆有关的开放性问题例5如图，在边长为2的圆内接正方形abcd中，ac是对角线，p为边cd的中点，延长ap交圆于点e.(1)e_度；(2)写出图中现有的一对不全等的相似三角形，并说明理由；(3)求弦de的长解析 (1)由题目可知eacd，因为四边形abcd

11、是正方形，所以acd45°，所以eacd45°.(2)当对应角相等的时候，两个三角形相似，由圆的性质可知eacd，edpcap，所以acpdep.(3)因为acpdep，所以，因为p是cd的中点，所以cpdpcd1，由勾股定理分别求出ap，ac2，代入比例式算出de.解：(1)45(2)acpdep.理由：aedacd，apcdpe，acpdep.(3)acpdep，.又ap，ac2，de.类型六圆与圆的位置关系的判别例6o1的半径为3 cm，o2的半径为5 cm，圆心距o1o22 cm，两圆的位置关系是()。a外切b相交 c内切 d内含解析 c圆心距o1o22 cm是两圆

12、的半径之差，所以两圆内切类型七计算扇形面积 例7如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形称为“等边扇形”则半径为2的“等边扇形”的面积为()a b1 c2 d.解析 c扇形的面积等于弧长乘以半径的一半，所以此扇形的面积为×2×22.类型八计算弧长 例8如图，已知正方形的边长为2 cm，以对角的两个顶点为圆心，2 cm长为半径画弧，则所得到的两条弧长度之和为_cm(结果保留)解析 两段弧长的和是以2 cm为半径的半圆的弧长即×2××22.类型九圆的切线性质 例9如图x310，在rtabc中，abc90°，以ab为直径的o交ac于点d，

13、过点d的切线交bc于e.(1)求证：debc；来源:zxxk.com(2)若tanc，de2，求ad的长解析 连接bd，则在rtbcd中，bede，利用角的互余证明cedc.解：(1)证明：连接bd，ab为直径，abc90°，be切o于点b.又因为de切o于点d，所以debe，ebdedb.adb90°，ebdc90°，bdecde90°，cedc，dece，debc.(2)因为de2，debc，所以bc4.在rtabc中，tanc，所以abbc·2.在rtabc中，ac6.又因为abdacb，所以，即，所以ad.归纳：圆的切线性质有很多，可以

14、总结为：与圆相切一直线，只有一个公共点；切点圆心相连接，垂直切线是必然；切线上面取一点，此点圆心相互联；如若垂直圆切线，此点切点零相间(此句指此点与切点之间距离为零)类型十圆的切线的判定方法 例10如图，已知rtabc，abc90°，以直角边ab为直径作o，交斜边ac于点d，连接bd.(1)若ad3，bd4，求边bc的长；(2)取bc的中点e，连接ed，试证明ed与o相切解析 先由勾股定理求出ab，再利用相似求出bc.只要证明odde就能说明ed与o相切，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到等边转化为等角，进而算出ode是直角解：(1)ab是直径，adb90°.ad

15、3，bd4，ab5.cdbabc，aa，adbabc，即，bc.(2)证明：连接od，在rtbdc中，e是bc的中点，cede，ccde.又odob，odbobd，又obddbc90°，cdbc90°，cobd，bdocde.ab是直径，adb90°，bdc90°，即bdecde90°，bdebdo90°，即ode90°，ed与o相切归纳：在涉及切线问题时，常连接过切点的半径，要想证明一条直线是圆的切线，常常需要作辅助线如果已知直线过圆上某一点，则作出过这一点的半径，证明直线垂直于半径；如果直线与圆的公共点没有确定，则应过圆

16、心作直线的垂线，证明圆心到直线的距离等于半径类型十一圆锥面积问题 例11如图，已知rtabc的斜边ab13 cm，一条直角边ac5 cm，以直线ab为轴旋转一周得一个几何体求这个几何体的表面积解析 首先应了解这个几何体的形状是上下两个圆锥，共用一个底面，表面积即为两个圆锥的侧面积之和根据s侧r2或s侧rl可知，用第二个公式比较好求，但是得求出底面圆的半径，因为ab垂直于底面圆的半径，在rtabc中，由oc·abbc·ac可求出r，问题就解决了解：在rtabc中，ab13 cm，ac5 cm，bc12 cm.oc·abbc·ac，roc.s表r(bcac)

17、××(125) cm2.归纳：对于这类由多个几何体拼接而成的几何体，在求它们的侧面积或体积时，可以根据其特点适当“分割”求解，再求和典例精析：例题1：如图，已知ab是o的直径，点c，d在o上，点e在o外，eacd60°.(1)求abc的度数；(2)求证：ae是o的切线；(3)当bc4时，求劣弧的长解：(1)abcd60° (2)ab是o的直径，acb90°，bac30°，baebaceac30°60°90°，即baae，ae是o的切线例题2：如图，扇形oab中，aob90°，半径oa6，将扇形o

18、ab沿过b点的直线折叠，点o恰好落在弧ab上的点d处，折痕交oa于点c，求整个阴影部分的周长和面积解：连接od，obod，obbd，odb是等边三角形，dbo60°，obccbd30°，在rtocb中，oc2，sobcoc·ob×2×66，s 阴影s扇形aob2sobc×362×6912，l阴影labaccddb32×6123三、随堂检测1(凉山州)如图，abc内接于o，obc40°，则a的度数为( )a80° b100° c110° d130°2如图所示，在以点o

19、为圆心的两个同心圆中，大圆的半径oa，ob分别交小圆于点a，b，则下列结论中正确的是()aab2ab b.c.ab daabb3如图，将半径为2 cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心o，则折痕ab的长为（)。a2 cm b. cm c2 cm d2 cm4如图，在半径为6 cm的o中，点a是劣弧的中点，点d是优弧上一点，且d30°，下列四个结论：oabc；bc6 cm；sinaob；四边形aboc是菱形其中正确结论的序号是()a b c d5如图，o中，ab是直径，coab，点d是co的中点，deab，则的度数是_6已知一个等边三角形的图案的边长是3 cm，现用一个最小的圆去覆盖它

20、，则这个圆的面积是_cm2.7(泰安中考)如图，ab是半圆的直径，点o为圆心，oa5，弦ac8，odac，垂足为点e，交o于点d，连接be，设bec，则sin的值为_8如图，已知ab是o的直径，弦cdab于点e，点m在o上，md.(1)判断bc，md的位置关系，并说明理由；(2)若ae16，be4，求线段cd的长；(3)若md恰好经过圆心o，求d的度数9已知直线l与半径为2的o的位置关系是相离，则点o到直线l的距离的取值范围在数轴上的表示正确的是()10如图，rtabc中，acb90°，ac4，bc6，以斜边ab上的一点o为圆心所作的半圆分别与ac，bc相切于点d，e，则ad为( )

21、a2.5 b1.6 c1.5 d111.如图，已知以直角梯形abcd的腰cd为直径的圆o与梯形上底ad、下底bc以及腰ab均相切，切点分别是d，c，e，若圆o的半径为2，梯形的腰ab为5，则该梯形的周长是( )a9 b10 c12 d1412(2015·厦门)如图，在abc中，abac，点d是边bc的中点，一个圆过点a，交边ab于点e，且与bc相切于点d，则该圆的圆心是( )a线段ae中垂线与线段ac的中垂线的交点b线段ab中垂线与线段ac的中垂线的交点c线段ae中垂线与线段bc的中垂线的交点d线段ab中垂线与线段bc的中垂线的交点13(青岛)如图，正六边形abcdef内接于o，若直

22、线pa与o相切于点a，则pab_14四边形abcd中，adbc，ab3，b30°，有一个直径为3的圆，其圆心o在bc边上移动，当bo等于_时，o与ba相切15(荆门)如图，在abcd中，以点a为圆心，ab的长为半径的圆恰好与cd相切于点c，交ad于点e，延长ba与a相交于点f，若的长为，则图中阴影部分的面积为_16已知一个半圆形工件，未搬动前如图所示，直径平行于地面位置，搬动时，为了保护圆弧部分不受损伤，先将半圆作如图所示的无滑动翻转，使它的直径紧贴地面，再将它沿地面平移50 m，半圆的直径为4 m，则圆心o所经过的路线长是_m(结果用表示)17如图，ab为o的直径，bf切o于点b，af交o于点d，点c在df上，bc交o于点e，且baf2cbf，cgbf于点g，连接ae.(1)直接写出ae与bc的位置关系；(2)求证：bcgace；(3)若f60°，gf1，求o的半径长18如图，已知ab为o的直径，pa与o相切于点a，线段op与弦ac垂直并相交于点d，op与弧ac相交于点e，连接bc.(1)