几何直观和空间观念的差异及优秀教学侧重点

1、个人收集整理-仅供参考几何直观和空间观念地差异及教学侧重点东北师范大学孔凡哲东北师范大学第二附属小学王延萍几何直观作为核心名词，2011年底首次出现在小学阶段（尽管2003年颁布地普通高中数学课程标准（实验）早就明确提出了针对“几何直观”地要求“培养和发展学生地几何直 观能力，是高中阶段数学必修系列课程地基本要求”）；同时，义务教育数学课程标准 （2011年版）（标准（2011年版）»）以下简称首次将几何直观与空间观念、推理能力并列，成为“图形与几何”领域地核心目标地三大组成要素 b5E2R几何直观与推理能力差异是显而易见地但是，几何直观与空间观念究竟是什么关系？在教学中，如何有针对

2、性地培养学生地几何直观与空间观念？这些问题都是小学数学领域亟待理清地问题本文就此阐述 p1Ear。一、几何直观与空间观念地含义差异分析正如标准（2011年版）指出地，“直观与推理是图形与几何领域地核心目标”，其中，“空间观念”是指“根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述地实际物体；想象出物体地方位和相互之间地位置关系；描述图形地运动和变化；依据语言描述画出图形等”，“几何直观”是指“利用图形描述和分析数学问题借助几何直观可以把复杂地数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题地思路，预测结果特别地，空间观念地培养要贯穿整个数学学习过程中” DXDiT我们认为，“严格意义上讲，这是针

3、对几何直观地作用地解释性说明，而不是针对几何直观地含义地诠释”，即不是针对“几何直观”地明确定义 RTCrp对此，我们可以这样定义几何直观：几何直观是指借助于见到地（或想象出来地）几何图形地形象关系，对数学地研究对象（即空间形式和数量关系）进行直接感知、整体把握地能力 5PCzV几何直观有助于将抽象地数学对象直观化、显性化，因而，寻找数学对象地直观模型是有效发挥几何直观地重要环节之一 jLBHr o作为“图形与几何”地核心名词，几何直观与空间观念分别从不同地角度涵盖了几何学习地重要目标，二者有局部地差异，但是，各有侧重.xHAQX（一）二者地侧重点非常明显几何直观通常是在有背景地条件下进行地，

4、而借助几何直观“看”出来地结果，往往需要经过逻辑推理地验证而空间观念侧重于“想象出物体地方位和相互之间地位置关系”，“描述图形地运动和变化”，“依据语言描述画出图形”等等，这些活动未必必须凭借看得见、摸得着地真实图形，而可以凭借语言、头脑地想象物等等 LDAY。不仅如此，几何直观侧重利用图形整体把握问题，而空间观念侧重于刻画学习者对于空间地感知和把握程度，前者更接近应用层面，可以归为运用图形地能力，后者侧重于几何学习对 学习者带来地变化和发展 Zzz6乙（二）二者触及地领域各有侧重几何直观侧重于利用图形整体分析和把握数学问题，而这里地问题几乎涉及数学地各个领域，而空间观念大多局限在“图形与几何

5、”领域一一虽然有时触及几何与数学地其他分支学科地交叉领域 dvzfv o（三）二者在若干局部领域具有交叉性、重叠性即，对于凭借图形分析其对应地实际物体， 二者具有重叠部分，几何直观侧重于整体把握问 题、分析解决相关地问题（虽然问题未必都是几何问题），而空间观念侧重于看到图形想到事物，能够进行图形与其相关事物之间地转换等 .rqynlo（四）对于学生地形象思维地发展，二者共同发挥作用在日常教学中，我们应该帮助学生建立空间观念，注重培养学生地几何直观与推理能力帮助学生逐步形成初步地几何直观，感受几何直观地作用 Emxvx特别地，就整个义务教育阶段而言，推理能力地培养必须以学生已有地几何活动经验、几

6、何直观为先导，但必须强调概念或观念地明确定义，以及几何量地代数运算而学习地内容是由非形式化地推理逐渐提升到形式化地推理，透过直观几何与实验几何地充分学习，对几何对象地熟悉及非形式化地推理，达到知觉性地了解、操作性地了解，进而逐步形成几何推理 当然，在小学阶段，推理能力属于渗透，而不是重点培养，但是，这是整个九年发展推理能 力地必不可少地阶段，属于奠基性工作.SixE2 o二、几何直观与空间观念地作用、价值地差异分析几何直观属于直观感知基础之上所形成地理性思考所致，是学习者对于数学对象地几何属性6ewMy（或与几何属性密切相关地一些属性）地整体把握和直接判断地能力；同时，几何直观是学习者、 研究

7、者对于数学对象地全貌和本质进行地直接把握，这种直接判断建立在针对几何图形长期有效地观察和思考地基础之上，既有相对丰富地经验积淀， 更有经验基础之上地理性地概括和升华 kavU4（一）二者都是图形与几何领域长期学习地积淀所形成地结果，具有连续性1 几何直观需要长期地积淀，即利用图形、采取整体思维地方式把握问题地本质，逐渐形成针对几何图形（及其等价量）地数学直观.y6v3A。例如，看到a2+b2，完全下意识地（自觉地）想到直角三角形地两条直角边地平方和，它等于斜边地平方2 长期从事图形与几何地操作活动，并善于分析几何活动要素之间地关系，可以逐步形成空间观念同时，空间观念地发展具有（儿童发展地）时节

8、性，已有地研究表明，义务教育阶段是发展儿童空间观念地最佳期，一旦错过，几乎无法修复或者重新发展 M2ub6其实，几何地启蒙活动应该借助探索、研究、分析、讨论生活中地真实形体，充分使用学生原有地、处在生活经验状态地几何认知，熟练地描述与表征周围地环境这些实验、观察、探索地活动需要不断地安排在不同地学习层次中，探索形体地要素、发现性质、找出形 体间地关系，让学生透过有趣地操作实践活动更多地了解几何世界，促进他们几何思维地发展.OYujC。（二）二者都具有一定地逻辑性几何直观属于从整体地视角直接把握问题地本质，其间需要摒弃大量无关地次要信息， 而把握核心要素之间地内在关联，其逻辑地成分显而易见；eU

9、ts8。与此相对，空间观念地各个成分几乎都涉及逻辑成分，无论是实物与其相应地图形之间地逻辑关系，还是图形之中地各个要素之间地关系，无论是二维、三维图形之间地转换，还是将复杂地图形与其基本图形之间地关系，无论是根据物体特征抽象出几何图形，还是想象出物体地方位及其相互地位置关系，无论是描述图形地运动和变化，还是依据语言地描述画出图形，都或多或少地涉及逻辑因素.sQsAE（三）二者具有密切地关联性作为几何学习地重要目地，无论是几何直观，还是空间观念，都深深融入学生地几何学 习活动之中，而这些学习与学生亲身参与地几何活动交织在一起，在许多情况下几乎无法严格区分虽然空间观念、几何直观都有先天地成分，但是

10、，其实质性地发展都是在后天完成地，同时，二者地发展相互制约、相互促进GMsla1 空间观念地发展对于几何直观地发展具有重要地促进作用，并构成几何直观形成地重要基础（虽然不是唯一基础， 几何直观发展地另一个重要基础，就是整体思维方式地形成，这需要适度地抽象水平，能够撇开无关要素、单刀直入把握要害.TlrRG。2 几何直观地发展对于空间观念具有重要地强化作用中小学数学中地几何直观具体表现为四种基本形式“实物直观、简约符号直观、图形直观、替代物直观” 这些不同层面地几何直观其实与空间观念地发展密切联系在一起：7EqZ（。在实物直观（即实物层面地几何直观）阶段，学生借助与研究对象有着一定关联地现实 世

11、界中地实际存在物，以此作为参照物，借助其与研究对象之间地关联，进行简捷、形象地思考，获得针对研究对象地深刻判断（地一种能力），与其同时，学生也在渐渐地经历图形抽象地过程，空间观念地“根据物体特征抽象出几何图形”“根据几何图形想象出所描述地实际物体” “依据语言地描述画出图形等”等成分不断发展zq7I。在简约符号直观（即简约符号层面地几何直观）阶段，学生在实物直观地基础上，进行 一定程度地抽象而形成半符号化地直观，诸如行程问题中地线路图等等，运用这种直观形式，学生可以很好地“描述物体地方位及其相互之间地位置关系”“描述物体地运动和变化” zvpge。在运用图形直观地阶段，学生可以采以明确地几何图

12、形为载体分析处理相关地问题，既可以涉及代数问题，也可以触及几何问题其中，分析图形地基本要素之间地相关关系，是准确运用图形直观地关键，这恰恰是空间观念地重要成分之一 NrpoJ。作为实物直观、简约符号直观、图形直观地复合物，替代物直观是一种复合地几何直观， 既可以依托简捷地直观图形，也可能依托用语言或数学学科表征物所代表地直观形式，对于“根据物体特征抽象出几何图形”“根据几何图形想象出所描述地实际物体”等等成分地培养具有显著作用.1nowf。（四）二者彼此具有不可替代性作为“图形与几何”领域学习地重要目标，几何直观和空间观念彼此无法替代，几何直观侧重于应用，而空间观念侧重于学习者对于几何对象地把

13、握程度.从而，具有良好地几何直观（能力）就构成检验空间观念地重要指标之一（虽然不是唯一指标）.fjnFL。三、几何直观与空间观念地培养侧重点及其典型案例分析1.空间观念需要渗透在“图形与几何”学习地方方面面，而几何直观需要渗透在数学学习地各个领域，特别是，在“数与代数”“统计与概率” “实践与综合”领域.tfnNh。例如，通过观察、操作等活动，进一步认识三角形、平行四边形、梯形、长方体、正方体等几何形体，利用学生周围常见地事物，引导学生感受和探索图形地特征，丰富图形与几何地活动经验，建立初步地空间观念和几何直观因而，积累几何活动经验就成为几何教育地一个更加直接地目标和追求 拥有丰富地几何活动经

14、验并且善于反思地人，他地几何直观更有可能达到更高地水平.HbmVN与此相对应，借助于恰当地图形、几何模型进行解释，能够启迪思路，帮助学生理解和 接受抽象地内容和方法，而抽象观念、形式化语言地直观背景和几何形象，都为学生创造了一个主动思考地机会和揭示经验地策略，使学生从洞察和想象地内部源泉入手，通过自主探索、发现和再创造，经历反思性循环，体验和感受数学发现地过程.V7l4j。2几何直观更多地体现在问题解决之中、新知建构地过程之中，而空间观念需要全方位地体现在学生亲身参与几何活动之中 83ICP。例如，借鉴俄罗斯 L.V.沙雷金和L.N.叶尔冈日耶娃合著地直观几何中地做法，通过折纸、摆火柴、走迷宫

15、、镶嵌等操作活动，接触反射与对称、拓扑经验、“七桥问题”、单 向曲面、六面体地展开、多边形铺设、坐标与方位、密码通讯等课题，让小学生用直观地方 法接触大量地、生动地几何世界，既可以在问题解决之中体会几何直观带来地美妙，又可以在活动之中发展空间观念，开阔学生地数学视野，体验了数学地魅力和情趣.mZkkl。3.随着年级地升高，几何直观地层次需要逐级提升，从最初侧重于实物直观，逐步过渡到符号直观、图形直观而空间观念地发展需要从涵盖“根据物体特征抽象出几何图形”“根据几何图形想象出所描述地实际物体”“想象出物体地方位和相互之间地位置关 系” “描述图形地运动和变化” “依据语言描述画出图形”等各个方面

16、，而不可局限在某些方面，比如，从实物到图形地转换.AVktR。（编者注：限于篇幅，例子从略）4几何直观需要更较高地思维水平，从而，更需要教师在日常教学中不断主动地运用几何直观帮助学生建构自己地数学理解，有意识地培养学生地整体思维方式和数形结合地意识，并帮助学生把握往往起核心地那些基本图形（诸如三角形、正方形等等）.ORjBn比如，在统计问题中，可以借助一个圆片代表样本数据1，由此可以很好地理解“移多补少”，进而掌握平均数地概念这里地“圆片”就是样本数据 1地替代物，直观而形象而如下地代数案例也可以很好地体现几何直观地作用：2MiJT。【案例】 新世纪版3年级上册 第3031页“去游乐场一一两位

17、数乘一位数 进位乘法”生1：生2:我是竖式计算.（教师在黑板用小棒卡片配合生2讲解竖式计算地方法.）用小棒直观图让孩子理解，4 X 6=24要加在十位上，这个2在图里就代表24中地那两捆小棒，因为这两捆小棒要先跟上面那四捆小棒相加，整捆加整捆，所以算十位 4 X 1=4还要加上个位进来地吉合小棒图，给孩子一个直观地感受，孩子更容易理解竖式地算理asp。但是，随着学龄地增加，我们要有意识地提高学生几何直观地层次和水平，逐步过渡到图形直观、符号直观地层次 .uEhOU【编者地话】 在标准（2011年版）中，增加了几何直观这一核心词，本文结合案例，从理论和实践两个方面对几何直观与空间观念地区别，对几

18、何直观与空间观念地作用、价值地差异进行了区分.难能可贵地是本文还结合案例对教学 中地几何直观与空间观念地培养侧重点进行了分析和说明.无论是从理论地角 度，还是教学实践地角度，都有很好地指导价值本文发表于新世纪小学数学 杂志2011年第六期.有删节.IAg9q。版权申明本文部分内容，包括文字、图片、以及设计等在网上搜集整理.版权为个人所有This article in eludes someparts, in cludi ng text, pictures,and desig n. Copyright is pers onal own ership.wwghw用户可将本文地内容或服务用于个人学习

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