中考数学专题平行四边形综合检测试卷及答案

1、中考数学专题平行四边形综合检测试卷及答案一、平行四边形1.（问题情景）利用三角形的面积相等来求解的方法是一种常见的等积法，此方法是我们 解决几何问题的途径之一.例如：张老师给小聪提出这样一个问题：如图1,在4ABC中，AB=3, AD=6,问4ABC的高 AD与CE的比是多少？ 小聪的计算思路是：1 1根据题意得：Saabc= BC?AD=- AB?CE22一AD 1从而得 2AD=CE,-CE 2请运用上述材料中所积累的经验和方法解决下列问题：（1）（类比探究）如图2,在？ABCD中，点E、F分别在AD, CD上，且AF=CE并相交于点 O,连接BE、 BF,求证：BO平分角 AOC.（2）

2、（探究延伸）如图3,已知直线 m/ n,点A、C是直线m上两点，点B、D是直线n上两点，点P是线 段CD中点，且/APB=90,两平行线 m、n间的距离为4.求证：PA?PB=2AB（3）（迁移应用）如图4, E为AB边上一点，ED± AD, CE!CB,垂足分别为 D, C, / DAB=/ B, AB=64, BC=2, AC=J26,又已知 M、N分别为AE、BE的中点，连接 DM、CN.求 DEM与 CEN的周长之和.图3【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 5+庖【解析】 分析：（1）、根据平行四边形的性质得出 4ABF和4BCE的面积相等，过点 B作OGLAF于G,

3、 OHCE于H,从而得出 AF=CE然后证明 BOG和 BOH全等，从而得出 /BOG=/ BOH,即角平分线；（2）、过点P作PG±n于G,交m于F,根据平行线的性质得 出4CPF和4DPG全等，延长 BP交AC于E,证明4CPE和4DPB全等，根据等积法得出 AB=APX PB从而得出答案；（3）、，延长 AD, BC交于点G,过点A作AF，BC于F,设CF=x,根据RtABF和RtACF的勾股定理得出x的值，根据等积法得出 AE=2DM=2EM, ill，1，,口，V 八一八、土BE=2CN=2EN DM+CN= AB,从而得出两个二角形的周长之和.同理：EM+EN= AB2详

4、解：证明：（1）如图2,二四边形ABCD是平行四边形,Saabif= ' Sabcd, Sa bcSabcd,& abf=Sabce;)过点B作OGAF于G, OH± CE于H,Sa abiAFX BGSabcCEX BHyAFX BEX B HP： AFX BG=CE X B HAF=CE ，BG=BH,在 RtBOG 和 RtBOH 中,眦BO.时二BH RtA BO8 RtA BOH,/ BOG=Z BOH, OB 平分 / AOC,(2)如图 3,过点 P作 PG± n 于 G,交 m 于 F, v m / n, . .PFl AC,/ CFP=/

5、BGP=90 ,° .点 P 是 CD 中点，rZCKP=ZDCP.PF=PG= FG=2,在 CPF 和 4DPG 中，4 cp = DP, .CP阵DPG,ZCPF=ZDPG延长 BP 交 AC于 E, m / n, . / ECP玄 BDP, . CP=DP在 CPE 和 4DPB 中，CP=DP ,ACPEADPB, . PE=PB./CPE =/DFB / APB=90 ,°AE=AB,Saape=Saapb,区11. Saape= AEX PF=AE=ABSaapb= APX PB .AB弓APX PB 即：PA?PB=2AB(3)如图 4,延长 AD, BC交

6、于点 G,/BAD=/ B, .AG=BG,过点 A 作 AF± BC于 F,设 CF=x (x>0) , . BF=BC+CF=x+2 在 RtABF 中，AB=信，根据勾股定理得，AF2=AB2 - BF2=34 - (x+2) 2,在 RtACF 中，AC=/酝, 根据勾股定理得，AF2=AC2 - C卢=26 - x2,-J - cBGX CE=BG(DE+CE , 上 .34 - (x+2) 2=26- x2,x=- 1 (舍)或 x=1, AF=J &-工？ =5,连接 EG, ''' SLabg=2"BGX AF=Seg+

7、Sa BEG= AGX . DE+CE=AF=5 在 RtADE 中，点 M 是 AE 的中点，. . AE=2DM=2EM,同理：BE=2CN=2EN .AB=AE+BE2DM+2CN=AB, . DM+CN=-AB,2同理：EM+EN=AB . .口£“ 与 CEN的周长之和=DE+DM+EM+CE+CN+EN = DE+CE+ (DM+CN) + (EM+EN) =(DE+CN +AB=5+/34.点睛：本题主要考查的就是三角形全等的判定与性质以及三角形的等积法，综合性非常 强，难度较大.在解决这个问题的关键就是作出辅助线，然后根据勾股定理和三角形全等 得出各个线段之间的关系.

8、2.如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A, B的坐标分别为(4, 0),(4, 3),动点M, N分别从O, B同时出发.以每秒1个单位的速度运动.其中，点 M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动.过点 M作MPLOA,交AC于P,连接NP,已知动点运动了 x秒.(1) P点的坐标为多少(用含 x的代数式表示)；(2)试求4NPC面积S的表达式，并求出面积 S的最大值及相应的x值；(3)当x为何值时，4NPC是一个等腰三角形？简要说明理由.【答案】(1) P点坐标为(x, 3-x)4(2) S的最大值为-,此时x=2.416128(3) x=-,或 x=,或 x=.3957

9、试题分析：(1)求P点的坐标，也就是求 OM和PM的长，已知了 OM的长为x,关键是 求出PM的长，方法不唯一， 可通过PM/ OC得出的对应成比例线段来求； 也可延长 MP交BC于Q,先在直角三角形 CPQ中根据CQ的长和/ACB的正切值求出 PQ的长，然后根据 PM=AB-PQ来求出PM的长.得出 OM和PM的长，即可求出 P点的 坐标.(2)可按(1) 中的方法经求出 PQ的长，而CN的长可根据CN=BC- BN来求得，因此 根据三角形的面积计算公式即可得出S, x的函数关系式.(3)本题要分类讨论： 当CP=CN时，可在直角三角形 CPQ中，用CQ的长即x和/ABC的余弦值求出 CP的

10、表 达式，然后联立 CN的表达式即可求出 x的值；当CP=PN时，那么CQ=QN,先在直角三角形 CPQ中求出CQ的长，然后根据 QN=CN- CQ求出QN的表达式，根据题设的等量条件即可得出x的值.当CN=PN时，先求出 QP和QN的长，然后在直角三角形 PNQ中，用勾股定理求出 PN 的长，联立CN的表达式即可求出 x的值.试题解析：(1)过点P作PQ± BC于点Q,有题意可得：PQ/AB,.CQPACBAQP ABOC BC”二x 4解得：QP= x,.PM=3- -x,由题意可知，C (0, 3) , M (x, 0) , N (4-x, 3),3P点坐标为(x, 3 - -

11、 x).4(2)设ANPC的面积为S,在 ANPC 中，NC=4-x,3NC边上的高为其中,133- S=T (4 x) X- x= 14 S0< xW4(-x2 +4x)2=-氐(x-2) 2+-.3.S的最大值为-,此时x=2.(3)延长MP交CB于Q,则有P01 BC.若NP=CR,. PQ± BC, NQ=CQ=x.v 若 CP=CN 贝U CN=4- x, PQ=x, CP二 x,4.16x= 9 ,54- x= x, 4 若 CN=NP,贝U CN=4- x.3 一一PQ= x, NQ=4- 2x,4,.在 RtPNQ 中，PN2=NQ2+PQ2,(4x)2= (4

12、- 2x) 2+(=x) 2,考点：二次函数综合题.3.如图，在正方形ABCD中，E是边BC上的一动点(不与点B、C重合)，连接DE、点C关于直线DE的对称点为C',连接AC并延长交直线 DE于点P, F是AC'的中点，连接 DF.(1)求/ FDP的度数；(2)连接BP,请用等式表示 AP、BP、DP三条线段之间的数量关系，并证明；(3)连接AC,若正方形白边长为 近，请直接写出ACC的面积最大值.【答案】(1) 45。； (2) BP+DP= J2AP,证明详见解析；(3) J2T.【解析】【分析】(1)证明 /CD± /CDE 和/ADF= /CDF,可得 /F

13、DP= Z ADC= 45 ;2(2)作辅助线，构建全等三角形，证明BAPDAP (SAS ,得BP=DP,从而得 PAP是等腰直角三角形，可得结论；(3)先作高线CG,确定4ACC的面积中底边 AC为定值2,根据高的大小确定面积的大 小，当C在BD上时，CG最大，其4ACC'的面积最大，并求此时的面积.【详解】(1)由对称得： CD= CD, /CDE=/CDE,在正方形 ABCD中，AD=CD, Z ADC= 90°, .AD=CD,F是AC的中点，DFXAC!, /ADF=/CDF, _ 1 一 。/ FDP= / FDC+Z EDC= / ADC= 45 ;2(2)结

14、论：BP+DP=J2aP,理由是：如图，作 APLAP交PD的延长线于 P',/ PAP=90 ；在正方形 ABCD中，DA= BA, / BAD= 90°,/ DAP= / BAP,由(1)可知：/ FDP= 45 / DFP 90 °/ APD= 45 ；/ P = 45 ；.AP = AP',在 BAP和4口人中，BA DABAP DAP ,AP AP.-.BAPADAP" (SAS ,.BP= DP", .DP+BP=PP= &AP;(3)如图，过 C作 C'GAC于 G,则 Saacc= 1AC?C'G,

15、2RtA ABC 中，AB= BC=近，ac= 7(2)2 (V2)22,即 AC 为定值，当CG最大值，4ACC的面积最大，连接BD,交AC于O,当C'在BD上时，C'G最大，此时 G与O重合，11 . CD= CD= J2，OD= - AC= 1 ,22 .C'G= . 2 T，1 1Saacc= AC ? C G 2( V2 1) V2 1 .2 2【点睛】本题考查四边形综合题、正方形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判 定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题.4.如图，四边形 ABCD中，对角线 AC BD相交于点O

16、, AO=CO, BO=DO,且 ZABC+Z ADC=180 :(1)求证：四边形 ABCD是矩形.(2)若/ADF： /FDG3： 2, DF±AC,求 / BDF的度数.【答案】 见解析；(2) 180.【解析】【分析】(1)根据平行四边形的判定得出四边形ABCD是平行四边形，求出 /ABC=90,根据矩形的判定得出即可；(2)求出/FDC的度数，根据三角形内角和定理求出/DCO,根据矩形的性质得出OD=OC,求出/CDO,即可求出答案.【详解】(1)证明： AO=CO, BO=DO四边形ABCD是平行四边形，Z ABC=Z ADC, / ABC+/ADC=180 ,°

17、;/ ABC=Z ADC=90 ,°四边形ABCD是矩形；(2)解：. /ADC=90, /ADF: / FDC=3: 2,/ FDC=36 ,°.DFXAC,/ DCO=90 - 36 =54 ；四边形ABCD是矩形，.OC=OD,/ ODC=54 °/ BDF=/ODC- / FDC=18 :【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推 理是解此题的关键，注意：矩形的对角线相等，有一个角是直角的平行四边形是矩形.5.已知：如图，在平行四边形 ABCD中，O为对角线BD的中点，过点 O的直线EF分别交AD, BC于E,

18、F两点，连结 BE, DF.(1)求证：ADO三BOF.(2)当/ DOE等于多少度时，四边形 BFDE为菱形？请说明理由.【答案】(1)证明见解析；(2)当/DOE=90。时，四边形BFED为菱形，理由见解析【解析】试题分析：(1)利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定方法得出DOHBOF(ASA);(2)首先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形EBFD是平行四边形，进而利用垂直平分线的性质得出BE=ED即可得出答案.试题解析：(1) :在？ABCD中，O为对角线BD的中点，BO=DO, / EDB=Z FBO, 在 EOD和AFOB中乙 EDD = £。目F D

19、O = B0依0口 二 士FOB.,.DOEABOF (ASA)；(2)当/DOE=90时，四边形BFDE为菱形，理由：.DO三 BOF,OE=OF,又.OB=OD,二.四边形EBFD是平行四边形，/EOD=90； .,.EF± BD,四边形 BFDE为菱形.考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定.6.如图，四边形 ABCD中，AD/BC, ZA=90°, BD=BQ点E为CD的中点，射线 BE交AD 的延长线于点F,连接CF.(1)求证：四边形 BCFD是菱形；(2)若 AD=1, BC=2,求 BF 的长.【答案】(1)证明见解析(2) 2 J3【解

20、析】(1) AF/ BC, Z DCB=Z CDF, Z FBC=Z BFD,点E为CD的中点,DE=ECFBC BFD在ABCE与FDE中，DCB CDF ,DE EC.,.BCEAFDE,DF=BC,又DF/ BC, 四边形BCDF为平行四边形, BD=BC,，四边形BCFD是菱形；(2)二.四边形 BCFD是菱形，BD=DF=BC=2,在 RtBAD 中，AB=Jbd2 ad273，. AF=AD+DF=1+2=3,在 RBAF中，BF=7AB2""AF =273 .7.如图，在RHABC中，ZB=90°, AC=60cm, ZA=60°,点D从点

21、C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点 E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀D、E运动的时间是t速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点 秒(0vtwi5 .过点 D作DF，BC于点F,连接DE, EF.(2)四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值，如果不能，说明理由;(3)当t为何值时，4DEF为直角三角形？请说明理由.【答案】(1)见解析；(2)能，t=10; (3) t=15或12.2【解析】【分析】(1)利用t表示出CD以及AE的长，然后在直角 4CDF中，利用直角三角形的性质求得 DF的长，即可证明；(2)易证四边形 A

22、EFD是平行四边形，当 AD=AE时，四边形 AEFD是菱形，据此即可列方 程求得t的值；(3) 4DEF为直角三角形，分 /EDF=90和/ DEF=90两种情况讨论.【详解】解：(1)证明：二.在 RtABC 中，/ C=90 / A=30° , 1. AB= AC= X 60=30cm22'. CD=4t, AE=2t,又 在 RtCDF中，/ C=30 ,.DF=1CD=2t,DF=AE2能，1. DF/ AB, DF=AE四边形AEFD是平行四边形，当AD=AE时，四边形 AEFD是菱形，即60 - 4t=2t ,解得：t=10,当t=10时，AEFD是菱形；(3)

23、若4DEF为直角三角形，有两种情况：如图 1, /EDF=90： DE/ BC,A15则 AD=2AE,即 60 4t=2 X 21 解得：t= 一 ,2如图 2, /DEF=90°, DE±AC,E则 AE=2AD,即 2t 2(60 4t),解得：t=12,综上所述，当t=15或12时，4DEF为直角三角形.28.已知矩形纸片 OBCD的边OB在x轴上，OD在y轴上，点C在第一象限，且OB 8, OD 6.现将纸片折叠，折痕为 EF (点E, F是折痕与矩形的边的交点)，点 P 为点D的对应点，再将纸片还原。(I)若点P落在矩形 OBCD的边OB上， 如图，当点E与点O

24、重合时，求点F的坐标； 如图，当点E在OB上，点F在DC上时，EF与DP交于点G,若OP 7 ,求点F的 坐标：(n )若点P落在矩形OBCD的内部，且点E, F分别在边OD,边DC上，当OP取最小值 时，求点P的坐标(直接写出结果即可)。第图【答案】(I)点F的坐标为(6,6)；点F的坐标为 85,6 ; (II) P -,145 5【解析】【分析】(I) 根据折叠的性质可得DOF POF 45o，再由矩形的性质，即可求出F的坐标；由折叠的性质及矩形的特点，易得 DGF PGE,得到DF PE ,再加上平行，可以得到四边形 DEPF是平行四边形，在由对角线垂直，得出 YDEPF是菱形，设菱形

25、的边长为x,在Rt ODE中，由勾股定理建立方程即可求解 ；(II)当O,PF点共线时OP的长度最短.【详解】解：(I)二折痕为EF点P为点D的对应点DOF POFDOF POF 450四边形OBCD是矩形，ODF 90DFO DOF 45DF DO 6点F的坐标为（6,6）二折痕为EF,点P为点D的对应点.DG PG, EF PD四边形OBCD是矩形,DC /OB,FDG EPG;Q DGF PGEDGF PGEDF PEQ DF /PE四边形DEPF是平行四边形Q EF PD ,YDEPF是菱形.设菱形的边长为x,则DE EP xQOP 7,OE 7 x,在Rt ODE中，由勾股定理得 O

26、D2 QB2 DE262 (7 x)2 x285解得x 851485DF 14，点F的坐标为85,614此题考查了几何折叠问题、等腰三角形的性质、平行四边形的判定和性质、勾股定理等知 识，关键是根据折叠的性质进行解答，属于中考压轴题.9.如图，在 4ABC中，/ACB=90°, /CAB=30°,以线段 AB为边向外作等边 ABD,点E 是线段AB的中点，连接 CE并延长交线段 AD于点F.（1）求证：四边形 BCFD为平行四边形；（2）若AB=6,求平行四边形 ADBC的面积.【答案】（1）见解析；（2） S平行四边形adbc=空四._1 _ 一BEhAB,得至/BCE=

27、Z EBC=60 .由221（1）在RtABC中，E为AB的中点，则 CE=AB,2 AEFABEC；得 /AFE=Z BCE=60.又 / D=60 °,得 / AFE=/D=60 度.所以 FC/ BD,又因为 /BAD=/ ABC=60°,所以 AD/ BC,即 FD/BC,则四边形 BCFD是平行四边形.(2)在RtABC中，求出BC, AC即可解决问题；【详解】解：(1)证明：在 4ABC 中，/ACB=90, Z CAB=30 ,/ ABC=60 ,在等边 4ABD 中,Z BAD=60 ,° ，/BAD=/ ABC=60 ,° E 为 AB

28、 的中点，. . AE=BE 又/ AEF=Z BEC八八 一人，一 。，一 八11 .AEH4BEC 在 ABC 中，/ ACB=90 , E 为 AB 的中点，. .CEAB, BE=-AB,22 . CE=AE/ EAC=Z ECA=30 , °，/ BCE4 EBC=60又.， AEF BEC,，/AFE=/ BCE=60又. / D=60 ； . . / AFE=/ D=60 ； . . FC/ BD,又 / BAD=/ABC=60AD/ BC,即 FD/ BC, 二.四边形 BCFD是平行四边形；(2)解：在 RtABC中，. /BAC=30, AB=6, . BC=AF

29、=3 AC=a/3 , . S平行四边形bcfcf3X3.3 = 9,3 ,Sa acf= X 33. 3 = 9- ,S平行四边形ADB中27 2122【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质、直角三角形斜边中线定理、等边三角形的性质、解直 角三角形、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考 题型.10.已知AD是4ABC的中线P是线段 AD上的一点(不与点 A、D重合)，连接 PB PC, E、F、G、H分别是AB、AC、PB PC的中点，AD与EF交于点 M;邕1D2(1)如图1,当AB= AC时，求证：四边形 EGHF是矩形；(2)如图2,当点P与点M重合时，

30、在不添加任何辅助线的条件下，写出所有与4BPE面积相等的三角形(不包括 4BPE本身).【答案】(1)见解析；(2) AAPE AAPR CPF PGH.【解析】【分析】1 1(1)由二角形中位线定理得出EG/AP,EF/BC,EFBC,GH/BC,GH=BC,推出2 2EF/ GH, EF=GH证得四边形 EGHF是平行四边形，证得 EF± AP,推出EF± EG,即可得出 结论；(2)由4APE与4BPE的底AE=BE又等高，得出 S apefSa bpe,由4APE与4APF的底 EP=FP又等高，得出 SaapefSaapf,由APF与CPF的底AF=CF又等高，得

31、出 Saapf=Scpf,证得 PGH底边GH上的高等于 4AEF底边EF上高的一半，推出S>A PGhF S AEF=SA APF,即可得出结果.2【详解】(1)证明：£、F、G、H分别是AB、AC PB PC的中点， .EG/ AP, EF/ BC, EF= 1 BC, GH/ BC, GH= 1 BC,22 .EF/ GH, EF= GH, 四边形EGHF是平行四边形， .AB= AC, ADXBC, .ED AP,1) EG/ AP, EF± EG,平行四边形EGHF是矩形；2) ) PE是 APB 的中线， .APE与4BPE的底 AE= BE,又等高，Sa

32、 ape= Sa bpe, AP是AAEF的中线， .APE与APF的底“EP= FP,又等高，Saape= Saapf,Saapf= Sabpe, .PF是APC的中线， .APF与CPF的底 AF="CF,又等高，Saapf= Sa cpf,Scpf= Sabpe,EF/ GH/ BC, E、F、G、H 分别是 AB AC PB、PC的中点，.AEF底边EF上的高等于ABC底边BC上高的一半， PGH底边GH上的高等于 PBC 底边BC上高的一半，PGH底边GH上的高等于4AEF底边EF上高的一半，.GH= EF,Sa pgh= _ Sa aef= Sa apf,2综上所述，与

33、ABPE面积相等的三角形为：APE、AAPR ACPF PGH.【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定、三角形中位线定理、平行线的性质、 三角形面积的计算等知识，熟练掌握三角形中位线定理是解决问题的关键.11 . (1)问题发现如图1,点E.F分别在正方形 ABCD的边BC CD上,/EAF=45°,连接EF、则EF=BE+DF,试说明理由；(2)类比引申如图2,在四边形 ABCD中,AB=AD,/BAD=90 ,点E. F分别在边 BC CD上，/ EAF=45°,若ZB, /D都不是直角，则当 /8与/口满足等量关系 时，仍有EF=BE+DF；(3)联想拓

34、展如图 3,在 4ABC 中，/ BAC=90°,AB=AG 点 D、E 均在边 BC 上，且 / DAE=45° ,猜想 BD、DE、EC 满足的等量关系，并写出推理过程。【答案】(1)详见解析；(2)详见解析；(3)详见解析.【解析】试题分析：(1)把ABE绕点A逆时针旋转90°AADG,可使AB与AD重合，证出 AFGAAFE根据全等三角形的性质得出EF=FG即可得出答案；(2)把4ABE绕点A逆时针旋转90°至ADG,可使AB与AD重合，证出AFEAFG,根据全等三角形的性质得出EF=FG即可得出答案；(3)把4ACE旋转到ABF的位置，连接 D

35、F,证明4AF三4AFG ( SAS ,则EF=FGZC=ZABF=45 ,0 4BDF是直角三角形，根据勾股定理即可作出判断.试题解析：(1)理由是：如图1,c F D G图1.AB=AD, 把4ABE绕点A逆时针旋转90°至ADG,可使AB与AD重合，如图1, / ADC=Z B=90°, ./ FDG=180。，点 F. D.年线，则 / DAG=Z BAE, AE=AG,/ FAG=Z FAD+Z GAD=Z FAD+Z BAE=90° -45 =45 ° =/ EAF, 即 / EAF=Z FAG在AEAF和GAF中，AF=AF, / EAF=

36、Z GAF, AE=AG, .AFGAAFE(SAS)，EF=FG=BE+D F(2)/B+/ D=180° 时，EF=BE+DF.AB=AD, 把ABE绕点A逆时针旋转90°至ADG,可使AB与AD重合，如图2,Z BAE=Z DAG, / BAD=90°,/ EAF=45 ,Z BAE+Z DAF=45° ,Z EAF=Z FAG, / ADC+Z B=180° ,/ FDG=180°,点 F. D.切线， 在AFE和AFG中，AE=AG / FAE土 FAG AF=AF, .AFEAFG(SAS) .EF=FG 即：EF=BE+

37、DF故答案为：ZB+ZADC=180°； (3)BD2+cE?=dE2.理由是：把 ACE旋转到ABF的位置，连接 DF,F即 贝U / FAB=Z CAE. / BAC=90°, Z DAE=45°,Z BAD+Z CAE=45°, 又 / FAB=Z CAE,Z FAD=Z DAE=45°, 贝U在ADF和AADE中， AD=AD, / FAD=Z DAE, AF=AE) . .AD国 ADE,.DF=DEZ C=Z ABF=45°, / BDF=90° ,.BDF是直角三角形, bd2+bf2=df2, .bd2+ce

38、?=de2.12.已知点O是 ABC内任意一点，连接 OA并延长到E,使得AE=OA,以OB, OC为邻边 作？OBFC,连接OF与BC交于点H,再连接EF.(1)如图1,若 ABC为等边三角形，求证：EFLBC;EF="'3bC;(2)如图2,若 ABC为等腰直角三角形(BC为斜边)，猜想(1)中的两个结论是否成AB=AC=kBC请你直接写出 EF与BC之间的数量1BH=HC= BC, OH=HF,再由等边三角形的性质史AH= BC,即可；立？若成立，直接写出结论即可；若不成立，请你直接写出你的猜想结果;(3)如图3,若4ABC是等腰三角形，且 关系.【答案】(1)见解析；

39、(2) EF± BC仍然成立；(3) EF=、： BC【解析】试题分析：(1)由平行四边形的性质得到得到AB=BC AH± BC,根据勾股定理得到1(2)由平行四边形的性质得到BH=HC=BC, OH=HF,再由等腰直角三角形的性质得到AB= BC, AHBC,根据勾股定理得到 AH=BC,即可；(3)由平行四边形的性质得到BH=HC=BC, OH=HF,再由等腰三角形的性质和AB=AC=kBC导至ij AB=BC, AH± BC,根据勾股定理得到 AH=BC,即可.试题解析：(1)连接AH,如图1,.四边形OBFC是平行四边形, 1.BH=HC，BC, OH=H

40、F,ABC是等边三角形，.AB=BC, AHXBC,在 RtABH 中，AH2=AB2 - BH2,- ilJC)AH=(3:? BC,. OA=AE, OH=HF,.AH是AOEF的中位线,1.AH=2EF, AH / EF,EF± BC,EF± BC,1BCEF,EF= BC;.四边形OBFC是平行四边形， 1.BH=HC='BC, OH=HF,.ABC是等腰三角形，AbMbC, AH ± BC,BH2=BH2,在 RtMBH 中，AH2=AB2- BH2= (?BH) 2.AH=BH= BC, . OA=AE, OH=HF,.AH是AOEF的中位线,

41、 I.AH=2EF, AH / EF,1111EF± BC, 'BC=EF,EF± BC, EF=BC(3)如图3,四边形OBFC是平行四边形， 1 .BH=HC，BC, OH=HF,.ABC是等腰三角形，.AB=kBC, AH ± BC,在 RtABH 中，AH2=AB2- BH2= (kBC) 2 (BC) 2= (k2-4) BC2,.AH=BH=BC, . OA=AE, OH=HF,.AH是AOEF的中位线， 11.AH='eF, AH / EF,EF± BC,BC= EF,BC.考点：四边形综合题.13.数学活动课上，老师给出如

42、下问题：如图，将等腰直角三角形纸片沿斜边上的高AC剪开，得到等腰直角三角形 4ABC与EFD,将4EFD的直角顶点在直线 BC上平移，在平 移的过程中，直线 AC与直线DE交于点Q,让同学们探究线段 BQ与AD的数量关系和位 置关系.请你阅读下面交流信息，解决所提出的问题.展示交流：小敏：满足条件的图形如图甲所示图形，延长 BQ与AD交于点H.我们可以证明 BCQAACD,从而易得 BQ=AD, BQXAD.小慧：根据图甲，当点 F在线段BC上时，我们可以验证小慧的说法是正确的.但当点F在线段CB的延长线上（如图乙）或线段CB的反向延长线上（如图丙）时，我对小慧说法的正确性表示怀疑.（1）请你

43、帮助小慧进行分析，小敏的结论在图乙、图丙中是否成立？请说明理由.（选择图乙或图丙的一种情况说明即可）.甲O（2）小慧思考问题的方式中，蕴含的数学思想是 .拓展延伸：根据你上面选择的图形，分别取AB、BD DQ、AQ的中点M、N、P、是什么样的特殊四边形？请说明理由.T,则四边形MNPT【答案】成立；分类讨论思想；正方形 .【解析】BQ=AD,MNPT是平行试题分析：利用等腰直角三角形的性质结合全等三角形的判定与性质得出BQAD；利用已知条件分类得出，体现数学中的分类讨论思想，拓展延伸：利用三角形中位线定理结合正方形的判定方法，首先得出四边形四边形进而得出它是菱形，再求出一个内角是90。，即可得

44、出答案.试题解析：（1）、成立，理由：如图乙：由题意可得：/FDE=/ QDC=Z ABC=Z BAC=45 ,则 DC=QC AC=BC在ADC和 BQC 中,AADCABQC (SAS , ，AD=BQ,DC=CQ/ DAC=Z QBC,延长 AD 交 BQ 于点 F,则 / ADC=Z BDF, . / BFD=Z ACD=90 , . AD± BQ；（2）、小慧思考问题的方式中，蕴含的数学思想是：分类讨论思想；拓展延伸：四边形 MNPT是正方形，理由：,取 AB、BD DQ、AQ 的中点 M、N、P、T, ，MN工AD, TP犷工AD, H2 2.-.MNTP,四边形 MNP

45、T是平行四边形， NPZL-BQ, BQ=AD, . NP=MN, .平行四边形 MNPT是菱形，又ADBQ, NP/ BQ, MN / AD, . . / MNP=90 , .四边形 MNPT 是正方形.考点：几何变换综合题14.（本题14分）小明在学习平行线相关知识时总结了如下结论：端点分别在两条平行线上的所有线段中，垂直于平行线的线段最短.小明应用这个结论进行了下列探索活动和问题解决.问题1:如图1,在RtA ABC中，/C=90, AC=4, BC=3, P为AC边上的一动点，以 PB,PA为边构造（1）在解决这个问题时，小明构造出了如图2的辅助线，则PQ的最小值为，当PQ最小时APA

46、C_=_；（2）小明对问题1做了简单的变式思考.如图 3, P为AB边上的一动点，延长 PA到点 E,使 AE=nPA （ n为大于0的常数）.以PE, PC为边作DPCQE试求对角线 PQ长的最小值，并求 PQ最小问题 2:在四边形 ABCD中，AD/BC, AB± BC, AD=1, AB=2, BC= 3.（1）如图4,若为“"上任意一点，以叩，pc为边作斗Q".试求对角线FQ长的最小值和PQ最小时.皿的值.A D图4(2)若P为仞上任意一点，延长PR到P,使DEn,再以口B, PC为边作出CQE.请AP直接写出对角线PQ长的最小值和PQ最小时捞 的值.11

47、2 APL6【答案】问题 1： (1) 3/；(2) PQ=5 , aB =25(n + 2).问题 2： (1)PQ=4,AP _ 1AP _ 122. (2) PQ的最小值为用+.aS n + 2 .【解析】试题分析：问题1: ( 1)首先根据条件可证四边形 PCBQ是矩形，然后根据条件 四边形APBQ是平行四边形可得 AP=QB=PC从而可求AC的值.(2)由题可知：当 QP±AC 时，PQ最小.过点 C作CD，AB于点D.此时四边形 CDPQ为矩形，PQ=CD,在RtA ABC1216中，/C=90, AC=4, BC=3,利用面积可求出 CD= 5，然后可求出 AD= 5

48、,由AE=nPA可得 竺TFJPE="T)'尸，而 PE=CQ=PD=AD-AP= ,所以 Ap,g-?).所以AP L648=25(*+ 2) .问题2： (1)设对角线股与吟目交于点G. rPMP|0r#"W,所以AD=HC, QH=AP.由题可知：当 QPLAB时，PQ最小，此时0Q=CH=4,根据条件可证四边 理 1形BPQH为矩形，从而 QH=BP=AP所以. (2)根据题意画出图形，当 PQI1 ABAP _ 1时，PQ的长最小，PQ的最小值为冷+ 4 .尺3收十二.、一 I试题解析：问题1: (1) 3, £(2)过点C作CD± A

49、B于点D.由题意可知当PQAB时，PQ最短.所以此时四边形 CDPQ为矩形.PQ=CD,DP=CQ=PE 因为 / BCA=90°, AC=4,1212BC=3,所以 AB=5.所以 CD=- .所以 PQ=- .在 RtACD 中 AC=4, CD= ,所以 AD邛.因为 AE=nPA 所以 PE="+1).<P=CQ=PD=AD-ApE一/尸.所以AP=55+ Z.所以AP _16一铝 25(n 4- 2)问题2：（1）如图2,设对角线也与巾相交于点q所以G是DC的中点，作QhJ_BC,交BC的延长线于 H,因为AD/BC,所以Y-ADP +上即G =乙DCQ +七QC"所以 UDP = LQCH又PD = CQ,所以r少"且侬忆Q.所以AD=HC, qh=ap由图知，当pq I AB时，PQ的长最小,即Fq=CH_4.4P 1易得四边形BPQH为矩形，所以 QH=BP=AP.所以一二一.-IS 2（若学生有能力从梯形中位线角度考虑，若正确即可评分.但讲评时不作要求）c r.HP 1（2） PQ的最小值为总+4.-=.且3 « + 2考点：1.直角三角形的性质；2.全等三角形的判定与性质；3.平行四边形的性质;形的判定