概率论与数理统计复旦大学出版社课后标准答案

1、概率论与数理统计习题二答案1.一袋中有5只乒乓球，编号为1, 2, 3, 4, 5,在其中同时取3只，以X表示取出的3只 球中的最大号码，写出随机变量X的分布律.【解】X的可能取值为3,4,5 ,其取不同值的概率为1P X 3= 0.1,P X 4C530.3,P X c5C25 -4 0.6C5故所求分布律为X345P0.10.30.62.设在15只同类型零件中有 2只为次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样,以X表示取出的次品个数，求:(1) X的分布律；(2) X的分布函数并作图;133 PX 0 P1 X 3, P1 X 3, P1 X 2.【解】X的可能取值为0,1,2 ,其

2、取不同值的概率为C3322C2C2312C2c11-Z- , P X I ; , P X 2;- C535C535C535故X的分布律为X012P2212135353522353435(2)当 x 0 时，F(x) P X x 0当 0 x 1 时，F(x) P X x当 1 x 2 时，F(x) P X x当 x 2 时，F(x) P X x故X的分布函数,350 x 134,1 x 2351,x 20,x 0F(x)P(X2)2235P(1P(132) |)P(XP(12)F(2)F(1)34351) P(1 XF(1) P(X3.射手向目标独立地进行了 分布律及分布函数，并求3次射击，每

3、次击中率为34 035|)2) 11235341 八0.35 350.8,求3次射击中击中目标的次数的3次射击中至少击中2次的概率.【解】设X表示3次射击中击中目标的次数.则X的可能取值为0,1,2,3,显然Xb(3,0.8)其取不同值的概率为PX0(0.2)0.896 0.008, P X1030.8(0.2)20.096PX202(0.8)20.2 0.384,PX 3(0.8)30.512故X的分布律为X0123P0.0080.0960.3840.512X分布函数F(x)0, 0.008, 0.104, 0.488, 1,3次射击中至少击中2次的概率为4. (1) 设随机变量X的分布律为

4、ka一,k!其中k=0, 1,2,，入0为常数，试确定常数a.(2)设随机变量X的分布律为_aP x k k=1, 2,，N, 试确定常数a.【解】(1)由分布律的性质知k1 P X k a agek 0k 0 k!故a e(2)由分布律的性质知NN1 P X k - ak 1k 1 N即a 1.5 .甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6,0.7,今各投3次，求：(1)两人投中次数相等的概率；(2)甲比乙投中次数多的概率【解】设X、Y分别表示甲、乙投中次数，则X b(3,0.6),Yb(3,0.7)(1) P X YP X 0,Y0 P X 1,Y 1 P X2,Y 2 PX 3,Y3_3_

5、3_1_2_1_2_2_2_2_2_3_3(0.4)3(0.3)3 C30.6(0.4)2C30.7(0.3)2 + C2(0.6)20.4C2(0.7)20.3 (0.6)3(0.7)3 0.32076(2) P X Y P X 1,Y 0 P X 2,Y 0 P X 3,Y 0P X 2,Y 1 P X 3,Y 1 P X 3,Y 2_123_ 22333_ 22_ 12C30.6(0.4) (0.3)C3(0.6) 0.4(0.3)(0.6) (0.3) C3(0.6) 0.4C30.7(0.3)(0.6)3C30.7(0.3)2 (0.6) 3C3(0.7)20.3 =0.2436 .

6、设某机场每天有 200架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为0.02,且设各飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于0.01(每条跑道只能允许一架飞机降落)？【解】设X为某一时刻需立即降落的飞机数，则 X b(200,0.02),设机场需配备 N条跑 道，根据题意有P X N 0.01200 kk200 k即C200 (0.02) (0.98)0.01k N 1利用泊松定理近似计算np 200 0.02 4.2004 k0.01e 4查表得N >9.故机场至少应配备9条跑道.7 .有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通

7、过，设每辆车在一天的某时段出事故的概率为0.0001,在某天的该日段内有 1000辆汽车通过，问出事故的次数不小于 2的概率是多少(利 用泊松定理)？【解】设X表示出事故的次数，则 Xb (1000, 0.0001)P(X 2) 1 P(X 0) P(X 1)0.10.11 e 0.1 e8 .已知在五重贝努里试验中成功的次数X满足PX=1= PX=2,求概率PX=4.【解】设在每次试验中成功的概率为p,则c；p(1 p)4 c5P2(i p)3故所以1p 3P(X 4) C4(：)423 3102439 .设事件A在每一次试验中发生的概率为0.3,当A发生不少于3次时，指示灯发出信号(1)进

8、行了 5次独立试验，试求指示灯发出信号的概率；(2)进行了 7次独立试验，试求指示灯发出信号的概率.【解】设B表示指示灯发出信号(1)设X表示5次独立试验中 A发生的次数，则 XB(5,0.3)所求概率为5_ k k 5 kP(B) P(X 3) C5(0.3) (0.7)0.16308k 3(2)令Y表示7次独立试验中A发生的次数，则 YB(7,0.3),所求概率为7 k k 7 kP(B) P(Y 3)C7(0.3) (0.7)0.35293k 310 .某公安局在长度为t的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X服从参数为 工的泊松分布,2而与时间间隔起点无关(时间以小时计)(1)求某一天中午1

9、2时至下午3时没收到呼救的概率； (2)求某一天中午12时至下午5时至少收到1次呼救的概率.【解】-2(1)3 1.5 P X k2k1.5 ek!1.5一,k 0,1,2,L从而(2)P(X 0)3e 2 0.2231o ,-k 2.5,k 0,1,2,L k 0 k!_25_P(X 1) 1 P(X 0) 1 e .0.91811.设PX=k= C2pk(1p)2k, k=0,1,2PY=m= Cmpm(1p)4m,m=0,1,2,3,4分别为随机变量 X, Y的概率分布，如果已知PX>1=5,试求PY>1.9一一一 _5_4【解】因为P(X 1) 5 ,所以 P(X 1) 4

10、 .99_2 41即P(X0) (1 p)2 ,可得 p -.93. 一465从而 P(Y 1) 1 P(Y 0) 1 (1 p)40.802478112.某教科书出版了 2000册，因装订等原因造成错误的概率为0.001,试求在这2000册书中恰有5册错误的概率.【解】令X为2000册书中错误的册数，则 Xb(2000,0.001).利用泊松定理近似计算，np 2000 0.001 2554995C2000(0.001) (0.999)e2255!0.00181 一 一，一， 一.以X表本试验首次成功所需试 4X取偶数的概率为1 3.1.3 3苕(4)4(4)2k11L3 13.进行某种试验

11、，成功的概率为一，失败的概率为4验的次数，试写出 X的分布律，并计算 X取偶数的概率。【解】X的可能取值为 1,2,3,L , X的分布律为3-,k 1,2.3,L42k L14.有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险.在一年中每个人死亡的概率为0.002 ,每个参加保险的人在 1月1日须交12元保险费，而在死亡时家属可从 保险公司领取2000元赔偿金.求：(1)保险公司亏本的概率；(2) 保险公司获利分别不少于10000元、20000元的概率.【解】以“年”为单位来考虑.(1) 在1月1日，保险公司总收入为2500X 12=30000元.设1年中死亡人数为 X ,则X

12、b(2500,0.002),则所求概率为P 2000X 30000 PX 15 1 PX 14由于n很大，p很小，X=np=5,故用泊松定理近似计算，有P(X 15) 114 e 55k0.000069k 0 k !(2) P(保险公司获利不少于10000)P(30000 2000X 10000)P(X 10)10 e 55k 0.986305即保险公司获利不少于10000元的概率在 98%以上P (保险公司获利不少于20000)P(30000 2000X 20000) P(X 5)5 e55k0.615961k 0 k!即保险公司获利不少于20000元的概率约为62%15.已知随机变量 X的

13、密度函数为 f(x)=Ae|x|,oo<x<+oo,求：(1) A 值；(2) P0< X<1;(3) F(x).【解】(1)由 f(x)dx 1得1Ae为x2 Ae xdx 2A0一-1故A-.21 1 X 11(2) p(0 X 1) - 0exdx -(1 e1)x 1 x .1 x(3)当 x<0 时，F (x)-e dx -ex 1 |V|0 1x 1 Y当 x>0 时，F(x)- e dx-e dx -e dx220 2d 1 x1 e21 xce , x 02故F(x) 21 x1 e x 0216 .设某种仪器内装有三只同样的电子管，电子管使

14、用寿命X的密度函数为100f(x)0, xx 100,100.求：(1)在开始150小时内没有电子管损坏的概率;(2)在这段时间内有一只电子管损坏的概率；(3) F (x).m11)电子管寿命小于 150小时的概率为_150 1001P(X 150) rdx - ')100 x23150小时内没有电子管损坏的概率为P1 P(X 150)3 (1)3 832 7(2)在这段时间内有一只电子管损坏的概率为P2心2(3)当 x<100 时 F (x) =0x当 x>100 时 F(x) f (t)dt100xf(t)dt 100 f(t)dtx 100,100/出100F(x)0

15、,x 100x 017 .在区间0, a上任意投掷一个质点，以 X表示这质点的坐标，设这质点落在0, a中任意小区间内的概率与这小区间长度成正比例，试求X的分布函数.【解】由题意知X U 0,a,密度函数为1 cf(x)-,0 x a a0, 其他故当x<0时F (x) =0当 0wxwa 时 F(x)xf(t)dtf(t)dtx 1 -dt当 x>a 时，F (x) =1即分布函数0,F(x)a1,18 .设随机变量X在2,值大于3的概率.【解】XU2,5,即5上服从均匀分布.现对X进行三次独立观测，求至少有两次的观测故所求概率为f(x)P(X13,0,3)p C3(|)2；3

16、319 .设顾客在某银行的窗口等待服务的时间等待服务，若超过10分钟他就离开 到服务而离开窗口的次数，试写出2x5其他51dx333 2 3c3(2)332027X(以分钟计).他一个月要到银行 Y的分布律，并求 一1、一 服从指数分布E(-).某顾客在窗口- 5次，以Y表示一个月内他未等PY> 1.1【解】依题意知X - E(-),即其密度函数为f(x)0,该顾客未等到服务而离开的概率为P(X10)1e10 5x1x2Yb(5,e 2)，即其分布律为P(Y k) Ck(e2)k(1 e2)5k,k 0,1,2,3,4,5 2 5P(Y 1) 1 P(Y 0) 1 (1 e2)5 0.5

17、16720.某人乘汽车去火车站乘火车，有两条路可走.第一条路程较短但交通拥挤，所需时间X服从N (40, 102);第二条路程较长，但阻塞少，所需时间X服从N (50, 42).(1)若动身时离火车开车只有 1小时，问应走哪条路能乘上火车的把握大些？(2)又若离火车开车时间只有 45分钟，问应走哪条路赶上火车把握大些？【解】(1)若走第一条路，XN (40, 102),则P(X 60) Px 40 60 401010 0.97727若走第二条路，XN (50, 4P( 4 X 10)0.9996),则P(X 60) PX 5060 50(2.5)0.9938故走第二条路乘上火车的把握大些(2)

18、若 XN (40, 102),P(X 45) PX 401045 4010(0.5)0.6915若 XN (50 , 42),则P(X 45)5045 501.25)(1.25)0.1056故走第一条路乘上火车的把握大些21.设 XN (3, 22),(1)求 P2<X 苞, P 4<XW10,P I X |>2, PX>3;(2) 确定c使PX>c= PX< c.【解】(1)P(2(1) 10.84130.69150.532810 32P(|X| 2)P(X2)P(X2)0.69150.6977(2)由 P(XP(X 3) P(3- 3T)1(0) 0.5

19、c) P(X c)得 Pc30.5 ,故 c 3.222.由某机器生产的螺栓长度( 求一螺栓为不合格品的概率cm)X-N(10.05,0.062),规定长度在10.05±0.12内为合格品,【解】P(|X 10.05| 0.12) P10.050.060.120.062) 21(2)0.045623.一工厂生产的电子管寿命 X (小时)服从正态分布N>0.8,允许(T最大不超过多少？(160,篇,若要求 P120<X<200【解】P(120 X 200)P 120 160 X 160200 16024.设随机变量X分布函数为40401.29(x)=Bex, x0,0

20、,0.401 0.831.25(0),(1)(2)(3)求常数A, B;求 PX< 2 , PX>3;求分布密度f (x).lim【解】(1)由xlimx 0F(x)F(x)得PmF(x)(2) P(X2)F(2) 1P(X3)F(3)(1 f(x) F (x)25.设随机变量X的概率密度为0,f (x)=x,2 x,0,求X的分布函数F (x),并画出f (x)x其他.1,2,及 F (x).【解】当x<0时F (x) =0当 0Wx<1 时 F(x) f(t)dtf (t)dt 0 f(t)dtxtdt0x当 1wx<2 时 F(x) f(t)dt01f(t)

21、dt 0 f(t)dtx1f (t)dt1x0tdt 1(212x2t)dt322x 1当 x>2 时 F(x)xf (t)dt 1F(x)21,2x 1,x 00 x 11 x 2x 226.设随机变量X的密度函数为(1) f (x) ae0 f(x)=ae 凶,入 >0;bx, 0 x 11(2) f (x)2,1 x 2x0, 其它试确定常数a,b,并求其分布函数 F (x).即密度函数为【解】(1)由 f (x)dx 1 知 1 ae |xdx 2aoe e , x 0f(x) 2e x x 02dx 2a当xW 0时F(x)xf (x)dxe xdx当x>0时F(x

22、)xf(x)dxdx故其分布函数(2)由 11e x2F(x)f (x)dx1bxdx03dxx得即X的密度函数为b=1f(x)x,12， x0,当 xW0时 F (x) =0当 0vx<1 时 F(x)f (x)dxf (x)dx当 1wx<2 时 F(x)2当 x>2 时 F (x) =1故其分布函数为27.求标准正态分布的上(1)=0.01，求 Z ;xxdx0f (x)dx00dx0,2 xF(x)分位点,(2)=0.003,求 z , z/2.21,1 xe2x-e xdx 2其他x0 f (x)dx1xdx0Mdxx【解】(1)由P(X z )1即故(2)由 P(

23、X z )即查表得由 P(X Z /2)P(Y 0) P(XP(Y 1) P(XP(Y 4) P(XP(Y 9) P(X0)1) P(X2)3)11301)1 1 z6 15 300.01可得(Z0.01)0.01(Z0.01) 0.99Z0.012.330.003可得1(Z0.003)0.003(Z0.003)0.997z 2.750.0015 得1 (z /2) 0.0015即(z /2) 0.9985查表得z /2 2.9628.设随机变量X的分布律为X21013Pk1/51/61/51/1511/30求Y=X2的分布律.【解】Y可取的值为0, 1, 4, 9故Y的分布律为Y0149Pk

24、1/57/301/511/3029.设 PX=k=( 1)k, k=1,2,令2Y 1，当X取偶数时1,当X取奇数时.求随机变量 X的函数Y的分布律.【解】随机变量Y的可能取值为1,1,其分布律为P(Y 1) P(X2) P(X 4) L P(X 2k) L11(4)/(1 4)(y 1)/2fX (x)dx(y 1)/2 X ' '(景(J4 L (：)2kLP(Y 1) 1 P(Y 1) 2 330.设 X-N (0,1).(1) 求丫=eX的概率密度；(2) 求丫=2X2+1的概率密度；(3) 求Y= | X |的概率密度.【解】因为XN(0,1)，所以X的密度函数为1

25、KfX(x)一存 e 2(1)当 ywo 时，Fy(y) P(Y y) 0x当 y>0 时，Fy(y) P(Y y) P(e y) P(X In y)In yfX(x)dx故fy(y)dFY(y) - fx(ln y)工-e 2 ,y 0dy y丫 42 K2.(2)由Y 2X 1 1可知当 yw1 时，FY(y) P(Y y) 0当 y>1 时，FY(y) P(Y y) P(2X2 1 y)故 fY(y)-d-FY(y)J fXfXJyFdy 4 , y 1， 221)/4,y 112由Y= | X |可知P(Y 0) 1当 yW0时FY(y) P(Y y) 0y)当 y>

26、0时FY(y) P(|X | y) P( y Xyy fX (x)dx故 fY(y)"(y) fX(y) fX( y) dy2 y2/2e , y 0h冗31.设随机变量X-U (0,1),试求:(1) YeX的分布函数及密度函数;(2)Z 2ln X的分布函数及密度函数_ 1. 0 x 1【解】X的概率密度为fx(x), 一»X 0,其它e) 1(1)由 P(0 X 1) 1,Y eX,得 P(1 Y当 y 1 时，FY(y) P(Y y) 0X当 1<y<e 时,FY(y) P(e y) P(X ln y)ln ydx ln y0当 y>e 时，FY(

27、y) P(eX y) 1即分布函数0,y1F/(y)lny,1ye1,ye故Y的密度函数为1 y efy(y)y,0,其他(2) 由 P (0<X<1) =1 , Z2ln X ,可得P(Z 0) 1当 zW0 时，Fz(z)P(Zz)当 z>0 时，FZ(z)P(Zz)P(2ln Xz)即分布函数故Z的密度函数为32.设随机变量X的密度函数为试求Y=sinX的密度函数【解】因为P（0 X当yw0时,Fy（Y）当0<y<1时,FY(y)当y>1时,FY(y)故Y的密度函数为P(ln X1z/2 dx eFz(z)fZ(z)f(x)1,由P(YP(YP(0y)

28、y)P(Xz/2e0,1-e-z/21e20,2x2 ,7t0,z/27tY=sinX 可知 P(0 Y 1) 1,P(sin Xarcsiny)arcsin y 2x .xdx° 7t12(arcsiny)7t2 arcsin y7ta arcsin y1;7ty)P( a arcsiny X 俞2xdx7t(- arcsiny)2fy(y)y20,其他33 .设随机变量X的分布函数如下:F(x)11 x2(2)x x (3)试填上(1),(2),(3)项.【解】由lim F(x) 1知填1。x由右连续性lim+F(x) F(x0) 1知x0 0 ,故为0。 x x01F(x)rv

29、1.从而亦为0。即x 0x 034 .同时掷两枚骰子，直到一枚骰子出现6点为止，求抛掷次数 X的分布律.【解】设Ai=第i枚骰子出现6点。(i=1,2) ,P(Ai)= 1.且A1与A2相互独立。再设 C=每次6抛掷出现6点。则P(C) P(AUA2)P(A) P(A2)P(Ai)P(A2)1136X可能的取值为1,2,3L ,分布律为P x kk 125113636k 1,2,3,L11,一 故抛掷次数X服从参数为一的几何分布。360.9?35 .随机数字序列要多长才能使数字0至少出现一次的概率不小于【解】令X为0出现的次数，设数字序列中要包含n个数字，则Xb(n,0.1)P(X 1) 1

30、P(X 0) 1 C0(0.1)°(0.9)n 0.9即(0.9)n 0.1解得n>22即随机数字序列至少要有22个数字。36 .已知则F(A)(C)(x)是(连续型;【解】因为limx但是0,L，、1F (x) = x 21,)随机变量的分布函数非连续亦非离散型.(B)0,1 ,212离散型;F (x)在(oo,+oo)上单调不减右连续，且 lim F(x) 0xF(x) 1，所以f (x)是一个分布函数。F (x)在x=0处不连续，也不是阶梯状曲线，故 F (x)是非连续亦非离散型随机变量的分布函数。选(37.设在区间 等于(A)a,b上,随机变量 )0,兀 /2;C)X的

31、密度函数为f(x)=sinx,而在a,b外，f(x)=0,则区间a,b(C)”2,0;【解】在0,|上sinxR 0,且兀在0,用上sin xdx0,在万,0上sin x3,在0,万句上，当 故选(A)。38.设随机变量 XN (0,(B)(D)0,兀;30,九.2“20 sin xdx 1 .故f(x)是密度函数。2 1 .故f(x)不是密度函数。0 ,故f(x)不是密度函数。x 3 九时，sinx<0,2f(x)也不是密度函数。b2),问：当b取何值时,1【解】因为XN(0, 2),P(1 X 3) P(一X落入区间(1,3)的概率最大?X 3、J)令g()利用微积分中求极值的方法，

32、有g()(目)(旦)(1)319/ 2一丁11/2 2.2- 2e 111/2 27re2令3e 024得0，则g ( o) 0ln3又一 2故o f=为极大值点且推、ln32.故当一 时X落入区间(1, 3)的概率最大。.ln339.设在一段时间内进入某一商店的顾客人数X服从泊松分布P (入)，每个顾客购买某种物品的概率为p,并且各个顾客是否购买该种物品相互独立，求进入商店的顾客购买这种 物品的人数Y的分布律.me【解】P(X m) ,m 0,1,2,Lm!设购买某种物品的人数为 Y,在进入商店的人数 X=m的条件下，Yb(m,p),即_ k km kP(Y k |X m) CmP (1 p

33、) ,k 0,1,L ,m由全概率公式有P(Yk) P(X m)P(Ym kk|Xm)mm kp)e.k k /-gCmp (1 k m!mkmp (1 p)mkk!(m k)!(p)k (1 p)mkk!k“e(m k)!k!ek!e (1p,kp)0,1,2,L此题说明：进入商店的人数服从参数为入的泊松分布，购买这种物品的人数仍服从泊松分布，但参数改变为入p.40.设随机变量X服从参数为2的指数分布.证明：Y=1 e 2X在区间(0, 1)上服从均匀分布【证】X的密度函数为fX(x)2e2x, x 00, x 0由于 P (X>0) =1,故 0<1 e2X<1,即 P

34、(0<Y<1) =1当 yW0 时，Fy (y) =0当 y> 1 时，Fy (y) =1当 0<y<1 时，Fy(y) P(Y2xy) P(e 1 y)P(Xy)即Y的密度函数为1 ln(120y)2x2e dxfY(y)1,0,0 y 1其他即 YU (0, 1)41.设随机变量X的密度函数为1 3, 2f(x)=90,x 1,x 6,其他.若k使得PX> k=2/3 ,求k的取值范围.(2000研考)【解】由_2 一1P (X>k)=知 P (X<k)=-3 k<0,P(X<k)=00<k<1,P(X<k)=k

35、=1 时 P (X<k)=- 3k1-dx0 311wkw 3 时 P (X<k)=1dx03113<k<6,贝U P (X<k) = -dx 03k0dx1k2dx3 932k9k>6则 P (X<k) =1故只有当1WkW3时满足P (X>k)=-342.设随机变量X的分布函数为0,0.4, F(x)=0.8,1,1,1,3,x 3.求X的概率分布.【解】由离散型随机变量X分布律与分布函数之间的关系，可知(1991研考)X的概率分布为X113P0.40.40.243.设三次独立试验中， 事件A出现的概率相等.若已知A至少出现一次的概率为 19

36、/27,求A 在一次试验中出现的概率.【解】令X为三次独立试验中 A出现的次数，若设 P(A) p,则X B(3, p)由 p (X>1)=19 知 p(x=0) =(1 p) 3= 2727故p= 131 f(x) 50,44.若随机变量X在(1, 6)上服从均匀分布，则方程 y2+Xy+1=0有实根的概率是多少? 【解】X的密度函数为1 x 6 +其他方程y2+Xy+1=0有实根的概率为24P(X 4 0) P(X 2) P(X 2) P(X 2) 52一.45.若随机变量 XN (2,)，且P2<X<4=0.3 ,则PX<0=.2 2 X 2 4 2【解】由 0.

37、3 P(2 X 4) P()(2) (0)(2) 0.5得(一)0.8X 2 0 22因此P(X 0) P()(一)1(-) 0.246 .假设一厂家生产的每台仪器，以概率 0.7可以直接出厂；以概率 0.3需进一步调试，经调 试后以概率0.8可以出厂，以概率 0.2定为不合格品不能出厂.现该厂新生产了 n(n>2) 台仪器(假设各台仪器的生产过程相互独立).求(1) 全部能出厂的概率 a;(2)其中恰好有两台不能出厂的概率B；(3)其中至少有两台不能出厂的概率0 .【解】设A=需进一步调试 , B=仪器能出厂,则A=能直接出厂, AB=经调试后能出厂由题意知B= A u AB ,且P(

38、A) 0.3,P(B| A) 0.8P(AB) P(A)P(B| A) 0.3 0.8 0.24P(B) P(A) P(AB) 0.7 0.24 0.94令X为新生产的n台仪器中能出厂的台数，则X6 (n, 0.94),故P(X n) (0.94)n_2_ n2 一_ 2P(X n 2) Cn(0.94)(0.06)P(Xn 2) 1 P(X n 1) P(X n)1 n(0.94)n 10.06 (0.94)n47 .某地抽样调查结果表明，考生的外语成绩(百分制)近似服从正态分布，平均成绩为72分，96分以上的占考生总数的2.3%,试求考生的外语成绩在 60分至84分之间的概率.近似【解】设

39、X为考生的外语成绩，则 XN(72, 2),X 72 96 72240.023 P(X 96) P 1()故查表知近似从而 X N (72,122)24故 P(60 X 84)60 7212(当)0.9772,即 b =12X 721284 7212(1)( 1) 2 (1) 10.68248.在电源电压不超过 200V、200V240V和超过240V三种情形下，某种电子元件损坏的概 率分别为0.1, 0.001和0.2 (假设电源电压 X服从正态分布 N (220, 252).试求：(1)该电子元件损坏的概率a;(2)该电子元件损坏时，电源电压在200240V的概率3【解】 设Ai=电压不超

40、过 200V , A2=电压在200240V,A3=电压超过240V , B=元件损坏。由 XN (220, 252)知P(A) P(X 200)P X 220 200 22025-25(0.8) 1(0.8) 0.212P(A2) P(200 X 240)P 200 220 X 220 240 2202525-25(0.8)( 0.8) 0.576P(A3)P(X 240) 1 0.212 0.576 0.212由全概率公式有3P(B) P(A)P(B|A) 0.0642 i 1由贝叶斯公式有P(A2|B)P(A2)P(B|A2)P(b50.00949.设随机变量X在区间(1,2)上服从均匀

41、分布，试求随机变量Y=e2X的概率密度fy(y).【解】X的概率密度为 fX(x)1, 1 x 20,其它因为 P (1<X<2) =1,故 P (e2<Y<e4) =1当 ywe2时，Fy (y) =P(Y<y)=0.2X当 e2<y<e4 时，FY(y) P(Y y) P(e y)1P(1X -ln y)1-ln y12 dx ln y 112当 yne4时，Fy(y)P(Y y) 120,y e1即FY(y)-ln y 1, e y efY(y)1 2y 0,1,y e424eye其他50.设随机变量X的密度函数为xe , x 0, 仅(x)=0, x 0.求随机变量Y=eX的密度函数fy(y).(1995研考)【解】因为P(X 0) 1,Y e