运动图像、追及相遇问题

1、芭远程敦昌网yCKWIMJ.COM101远程教育网状元班课程年级且一乒a学科物理编稿老师张晓春课程标题运动图象、追及和相遇问题一校林卉二校张琦锋审核薛海燕【明确有Q专注重难后】、考点突破习变速直线运动考纲要求匀变速直线运动的5-£图象II句变速直线运动的y-1图象II追及、相遇问题I近年来，s-t图象和V-f图象在各省市的考题中几乎都可见到，大多数以选择题的形式出现，有时也在综合型计算题中出现，通过图象给出物体的运动过程，进行综合性的考查。追及与相遇问题是最容易和实际生活现象相联系的一个考点，要求学生针对生活中的现象建立相应的运动学模型进行分析求解，多以计算题的形式考查。二、重难点提

2、示重点：1 .明确位移一时间图象和速度一时间图象的物理意义，会用图象描述物体的运动过程并能通过图象识别物体运动过程的特点。Im-.2 .掌握分析追及、相遇类问题的一般思路，会解决追及和相遇类问题。难点：1 .对图象意义的认识和应用图象解决运动学问题的分析过程。2 .追及和相遇问题的求解过程及解题思路的归纳，并能据此求解相关问题。3 .能应用图象解决简单的追及和相遇问题。$嚼霰盛爨）【特高阳家倾力打造】一、运动图象4 .位移一时间（st）图象：o4t图1物体运动的s-t图象表示物体的位移随时间变化的规律，与物体的运动轨迹无任何直接关系。图1中三条直线对应的st关系式分别为s=s0+vt、s=vt

3、、s=v'（t10）,www. chinaedu. c om第1页 版权所有不得复制*§»101远程救昌网CKAHXJCOM都是匀速直线运动的图象。纵轴截距S0表示t=0时，a在b前方S0处；横轴截距to表示c比b晚出发to时间；斜率表示运动速度的大小，易见V'>V；交点P可反映t时刻c追及b。5 .速度一时间（vt）图象：www. chinaedu. c om第3页版权所有不得复制关系式分别为y=常数、v =v o+a 其余都是匀变速直线运动的速度图象， tm表示匀减速直线运动的速度等于零时所需要0 ）对应于匀减速直线运动。图线下方P可反映在时刻（两

4、个运动（C和d）有相同的物体运动的v-f图象表示物体运动的速度随时间变化的规律，与物体的运动轨迹也无任何直接关系。图2中卜b、e、d四条直线对应的卜v=at、v=V0-apa是匀速运动的速度图象，纵轴截距70表示占、d的初速度，横轴截距的时间，斜率表示运动的加速度，斜率为负值（如覆盖的面积表示运动的位移。两图线的交点速度。图3和下表是形状一致的图线在s-t图象与V-t图象中的比较。S一士图象冒一£图象表示物体做匀速直线运动（斜率表示速度T）。表示物体做匀加速直线运动（斜率表示加速度a）。表示物体静止。表示物体做匀速直线运动。表示物体静止。表示物体静止。表示物体向反方向做匀速直线运动；

5、初位移为So。表示物体做匀减速直线运动；初速度为V0O交点的纵坐标表小二个运动质点相遇时的位移。'交点的纵坐标表示三个运动质点的共同速度。0tl时间内物体的位移为&。tl时刻物体速度为V（图中阴影部分面积表小质点在0ti时间内的位移）。6 .运用图象时需注意的问题（1）首先明确所给的图象是什么图象，即认清图中横、纵轴所表示的物理量及它们的函数关系。特别是对那些图形相似，容易混淆的图象，更要注意区分。（2）要清楚地理解图象中的熏“、线“、斜率“、戳距”、面积”的物理意义。点：图线上的每一个点都对应研究对象的一个状态，特别注意起点“、终点”、拐点”，它们往往对应一个特殊状态。线：表

6、示研究对象的变化过程和规律，如vt图象中的图线若为倾斜的直线，则表示物体做匀变速直线运动。斜率：表示横、纵坐标轴上两物理量的比值，常有一个重要的物理量与之对应，用于求解定量计算对应物理量的大小和定性分析变化的快慢问题。如x-t图象的斜率表示速度大小，vt图象的斜率表示加速度大小。面积：图线与坐标轴围成的面积常与某一表示过程的物理量相对应.如vt图线与横轴包围的面积”大小表示位移大小。截距：表示横、纵坐标表示的两物理量在边界”条件下的物理量的大小。由此往往能得到一个很有意义的物理量.二、追及和相遇问题1 .追及问题：追和被追的两物体的速度相等(同向运动)是能追上、追不上、两者距离有极值的临界条件

7、。追及”的主要条件是两个物体在追赶过程中处在同一位置，常见的情形有三种：初速度为零的匀加速运动的物体甲追赶同方向的匀速运动的物体乙时，一定能追上，在追上之前两者有最大距离的条件是两物体的速度相等，即丫甲二v乙。匀速运动的物体甲追赶同方向做匀加速运动的物体乙时，恰好追上或恰好追不上的临界条件是两物体速度相等，即v甲=v乙。j判断此种追赶情形能否追上的方法是：假定在追赶过程中两者能处在同一位置，比较此时的速度大小，若v甲Av乙，则能追上，若v甲v乙，则追不上，如果始终追不上，当两物体速度相等时，两物体的间距最小；速度大者减速(如匀减速直线运动)追速度小者(如匀速运动)a、若二者速度相等，追者位移仍

8、小于被追者位移，则永远追不上，此时二者间有最小距离。b、若速度相等时，有相同位移，则刚好能追上，也是二者相遇时避免碰撞的临界条件。c、若位移相同时追者速度仍大于被追者的速度，则被追者还有一次追上追者的机会，二者速度相等时，二者间距离有一个较大值。2 .追及问题的解题思路是：(1)分清前后两物体的运动性质；(2)找出两物体运动的位移、时间关系；(3)列出位移的方程；(4)当两物体速度相等时，两物体间距离出现极值。I八兴i兄1【典型例题剖析激话解题思堆】能力提升类例1(海南)t=0时，甲、乙两汽车从相距70km的两地开始相向行驶，它们的v-1图象如图所示.忽略汽车掉头所需时间。下列对汽车运动状况的

9、描述正确的是101远程教育网CKAHXJCOMA.在第1小时末，乙车改变运动方向B.在第2小时末，甲、乙两车相距10kmC.在前4小时内，乙车运动加速度的大小总比甲车的大D.在第4小时末，甲、乙两车相遇一点通：该题考查对vt图象的理解。在该图象中，两图线的交点不一定是物体的相遇点，解这类题的关键在于，正确理解图线斜率的意义是表示物体运动的加速度，及图线与时间轴围成的面积表示物体在该段时间内的位移。解：速度图象在t轴下的部分均为反方向运动，故2h末乙车改变运动方向，A错；2h末从图线围成的面积可知乙车运动的位移为30km,甲车运动的位移为30km,相向运动，11此时两车相距70km-30km-3

10、0km=10km,B对；从图象的斜率看，斜率大则加速度大，故乙车的加速度在4h内一直比甲车的加速度大，C对；4h末，甲车运动的位移为120km,乙车运动的位移为30km,两车原来相距70km,故此时两车还相距20km,D错。答案：BC例2(海南高考)甲、乙两车在一平直道路上同向运动，其vt图象如图所示，图中OPQ和OQT的面积分别为xi和X2(X2>Xi),初始时，甲车在乙车前方X0处A.若X0=Xi+X2,两车不会相遇B.若X0<Xi,两车相遇2次C.若X0=Xi,两车相遇1次D.若X0=X2,两车相遇1次一点通：根据甲、乙两车加速度的关系及速度的关系确定两车之间距离的变化规律，

11、弄清两车速度相同时的位移关系是解题的关键。解：甲、乙两车速度相同时，位移分别为X2和X1+X2,若X0=X+X2,则X0+X2>X1+x2,此时甲车仍在乙车前方，两车不会相遇，选项A对；若甲、乙两车速度相同时，X0VX1,则X0+X2VX1+X2,此时乙车在甲车前方，即此时两车已经相遇一次，由于甲车加速度大于乙车加速度，所以甲车速度此后会大于乙车速度，经过一段时间，甲、乙会再次相遇，选项B对；若甲、乙两车速度相同时，X0=X1,则X0+X2=X1+X2,此时两车恰好相遇，此后甲车在乙车前方，两车不会再相遇，选项C对；若甲、乙两车速度相同时，X0=X2,则X0+X2=X+X2,即X0+X2

12、>X1+X2,此时甲车在乙车前方，甲、乙两车不会相遇，选项D错。答案：ABC例3在平直水平面上，物体A和B由同一位置同时开始同向运动，物体B以2-vB=4m/s的速度做匀速运动，物体A以v0=10m/s的初速度做加速度为0.25m/s的匀减速运动，求经多长时间物体B追上物体A。一点通：该题为匀速运动的物体追赶减速运动的物体，追及的基本特征为，相同的时间内物体通过的位移相等。解：设运动方向为正，则aA=0.25m/s2再设A运动h后停止，由0=v0+aA，t1得t1=i_10s=40saA-0.25再设B经t2追上A则Sb=Vb1212SA-V0t2aAt22a-2追上时sA=sB即v0t

13、2+t2=vBt22亦即10t2-025t2=4t2d2解之得t2=48s>t1,说明A早已停止运动对A,由0v；=2aA%'得Sa-v2AJ102m.200m2aA2(-0.25)追上时Sb'=SaHVbt3=Sa,Sa'200”可信t3=s=50sVb4则经50sB追上A。小结：该题为匀速运动的物体追赶减速运动的物体，由此可知：(1)匀速运动的B一定能追上减速运动的Ao(2) B追上A的位移关系为对同一参考点的位移相等。(3) B追上A的时间的求法：由0=v0+aAt1求出A的运动时间t1=二地:一,一aA由v0,t2+a-At22=vB't2求出t2

14、2比较t/Dt2:若12<t1则t2即是所求；2若t2At1说明A早已停止运动，则据0V2=2'aA-Sa求出Sa=二出,再由2aAVB13=SA,求得t3=也，即是B追上A的时间。Vb综合运用类www. chinaedu. c om第5页版权所有不得复制<§»1伽远程救育网CKAHXJCOM例1(全国I卷)甲、乙两运动员在训练交接棒的过程中发现：甲经短距离加速后能保持9m/s的速度跑完全程；乙从起跑后到接棒前的运动是匀加速的。为了确定乙起跑的时机，需在接力区前适当的位置设置标记。在某次练习中，甲在接力区前x0=13.5m处作了标记，并以v=9m/s的速

15、度跑到此标记处时向乙发出起跑口令。乙在接力区的前端听到口令时起跑，并恰好在速度达到与甲相同时被甲追上，完成交接棒。已知接力区的长度L=20m。求：(1)此次练习中乙在接棒前的加速度a;(2)在完成交接棒时乙离接力区末端的距离。一点通：该题以体育活动中常见的接力比赛为背景，考查追及类问题的分析处理，该题所给的情景为后面匀加速的人追及前方匀速运动的人，而且在追上的瞬间两人的速度相等，在解题的过程中，要注意匀变速运动规律的灵活应用。解：设甲从离接力区13.5m处到追上乙所用时间为t,乙从开始起跑到被甲追上，所跑的路程为x,甲、乙二人所用时间相等。(1)对甲：13.5+X=tv对乙：x=；at2,且v

16、=at=9m/s由以上各式可解得：a=3m/s2,t=3s,x=13.5m(2)完成交接棒时，乙离接力区末端的距离为Lx=20m13.5m=6.5m.二'、I1-J-.例2(高考四川卷理综)A、B两辆汽车在笔直的公路上同向行驶。当B车在A车前84m处时，B车速度为4m/s,且正以2m/s2的加速度做匀加速运动；经过一段时间后，B车加速度突然变为零。A车一直以20m/s的速度做匀速运动。经过12s后两车相遇。问B车加速行驶的时间是多少？一点通：该题仍然是生活中常见的两辆汽车的追及过程，因后面汽车的运动特征发生了改变，所以要根据不同的运动特点选择对应的解题方法。解：设A车的速度为Va,B车

17、加速行驶时间为t,两车在to时相遇。则有Sa=Va12Sb=VBt+at+(Vb+at)(t0t)2式中，t0=12s,sa、Sb分别为A、B两车相遇前行驶的路程。依题意有Sa=Sb'S式中s=84m。由式得t2-2t0t+2(Vb-VA)t0=0a代入题给数据VA=20m/s,VB=4m/s,a=2m/s2,有t224t+108=0解得t1=6s,t2=18st2=18s不合题意，舍去。因此，B车加速行驶的时间为6So思维拓展类例1一辆汽车在十字路口等候绿火T,当绿灯亮时汽车以3m/s2的加速度从静止开始匀加速行驶，恰在这时一辆自行车以6m/s的速度匀速驶来，从后边超过汽车。试求：(

18、1)汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？www. chinaedu. c om第#页版权所有不得复制<§»101远程教育网CHHAHXJ COM(2)什么时候汽车追上自行车，此时汽车的速度是多少？一点通：该题考查的是追及、相遇中问题的第一种情形：初速度为零的匀加速运动的物应抓住一个关键条件 '速度相等开始运所以在汽车速度等于自行车的时候，它们之间而自行车的速度是定值。 当汽车的速度仍小于体追匀速运动的物体。涉及极值问题的计算，动的时候，前方的自行车速度大于汽车速度,相距最远。解：解法一：汽车开动后速度由零逐渐增大,自行车

19、速度时，两者的距离将越来越大，而一旦汽车速度增加到超过自行车速度时，两车距离将缩小。因此两者速度相等时两车相距最大，有丫汽=at=丫自，所以，t=v自Ja=2s,2s=v自t-at/2=6m。解法二：用数学中求极值的方法来求解(1)设汽车在追上自行车之前经过t时间两车相距最远，因为.：s=s2-s1=丫自1-2/2所以As=6t3t2/2,由二次函数求极值条件知，t=E=2s时，As最大2a即.6m=6t-3t22=62-3222.6m,(2)汽车追上自行车时，两车位移相等，则vt=at226t'=3t)2,t，=4sv=at=12m/s解法三：用相对运动求解更简捷选匀速运动的自行车为

20、参考系，则从运动开始到相距最远这段时间内，汽车相对于此参考系的各个物理量为：初速度v0=v汽初丫自=(06)m/s=6m/s末速度vt=v汽末丫自=(66)m/s=0力口速度a=a汽一a自=(30)m/s2=3m/s222v一心所以相距取远s=6m(负号表示汽车落后)2a解法四：用图象法求解(1)自行车和汽车的v-t图如图，由于图线与横坐标轴所包围的面积表示位移的大小，所以由图上可以看出：在相遇之前，在t时刻两车速度相等时，自行车的位移(矩形面积)与汽车的位移(三角形面积)之差(即斜线部分)达最大，所以1 v/m. s-1www. chinaedu. c om第#页版权所有不得复制(6X2-3

21、 >22/2) m= 6mt=v自/a=s=2s3s=vtat2/2=(2)由图可看出：在t时刻以后，v自与v汽的图线组成的三角形面积与标有斜线的三角形面积相等时，两车的位移相等(即相遇)。所以由图得相遇时，t'=2t=4s'=2v=12m/s小结：本题用了四种解法，同学们可以从不同角度理解两个物体运动的相互关联。例2摩托车在平直公路上从静止开启起动，a1=1.6m/s2,稍后匀速运动，然后减速运动，加速度的大小为a?=6.4m/s2,直到停止，共历时130s,行程1600m。试求：(1)摩托车行驶的最大速度vm；(2)若摩托车从静止启动，aa2不变，直到停止，行程不变，

22、所需最短时间为多少?v-t图象中图线与t轴一点通：该题考查应用图象法来求解比较复杂的运动过程，运用包围的面积大小等于位移大小进行过程分析和求极值是解题的关键。v-t解：(1)整个运动过程分三个阶段：匀加速运动；匀速运动；匀减速运动。可借助图象表示，如图所示。利用推论v-v：=2as有：d/m其中 a1 =1.6m/s2, a2=6.4m/s2解得：vmax=12.8m/s (另一解舍去)(2)首先要弄清摩托车以什么样的方式运动可使得时间最短。借助|1v-t图象可以证明:摩托车先以a匀加速运动，当速度达到 vmax,紧接着以a2匀减速运动直到停止时，行程不_ v max v. v maxmin

23、一aa2v'2maxv'2max2 al2a2=1600m其中 a1 =1.6m/s2, a2 =6.4m/s2由式解得v'max =64m/smax故 tmin = s 空 s=50s 1.66.4即最短时间为50s。小结：对复杂的多过程问题，借助v-t图象直观地表达出来，然后根据题给时间、位移可方便地列出方程，求解最大速度、最短时间等，关键是要正确画出图象，利用v-t图象进101远蹉教育网CKAHXJ COM行过程分析、求极值是较高层次的要求。用图象研究物理问题是一种常用的数学方法，图象具有直观、简单等优点；但是用图象法研究问题，一定要根据题意分析清楚物体的运动情景

24、，正确画出物体的运动图象，这是应用图象解题的关键。电馥钿造【万王则招及时总结】1 .分析追及“相遇”问题时应注意:(1)一定要抓住一个条件两个关系：一个条件指两物体的速度满足的临界条件，两个关系指时间关系和位移关系。其中通过画示意图找到两物体位移之间的数量关系，是解题的突破口。(2)若被追赶的物体做匀减速运动，则一定要注意追上前该物体是否停止运动，(3)仔细审题，注意抓住题目中的关键字眼，充分挖掘题目中的隐含条件，如刚好”恰好”最多“至少”等，往往对应一个临界状态，满足相应的临界条件。2 .解决追及、相遇问题的三种方法：(1)物理分析法：抓好两物体能否同时到达空间某位置”这一关键。(2)图象法

25、：将两者的速度一时间图象在同一坐标系中画出，然后利用图象求解。(3)数学方法：设相遇时间为t,根据条件列方程，得到关于时间t的一元二次方程，用判别式进行讨论。若A>0即有两个解，说明可以相遇两次；若=0,说明刚好追上或相碰；若A<Q说明追不上或不能相碰。求最大距离或最小距离时，先根据条件列出距离的表达式，然后求其极值。伊:|【网员热点间题选视】www. chinaedu. c om第9页版权所有不得复制v-t图象和s-t图象能否描述曲线运动的轨迹？解答：不能。因为在v-t图和s-t图中，v,s轴上的正负只能表示同一直线上的两个方向，所以无法描述曲线运动。同时，对匀变速直线运动来说，

26、其轨迹是一条直线，但其s-t1 2图象却因为s是t的二次函数s=v0t+at是一条曲线。因此在利用图象处理运动学问题2时，千万不要把s-t图象或v-t图象中的直线或曲线认为是物体运动的轨迹，简单来讲，图线只是反映了物体运动过程中位移或速度随时间变化的规律。等抽嵬读蜃【其废演练，击状元】”(答题时间：60分钟)，V CKlAHMJ,COMA.甲、乙两物体均做匀变速直线运动B.甲、乙两物体由不同地点同时出发，to时刻两物体相遇C. 0to时间内，两物体的位移一样大D. 0to时间内，甲的速度大于乙的速度；2.如图所示为甲、乙两物体相对于同一坐标的j/ni甲、乙均做匀变速直线运动质点离开原点的位移最

27、大A. t= 1 s 时,B. t=2 s 时,C. t=4 s 时,D. 0到1 s与3 s到4 s质点的加速度相同4.甲、乙两车某时刻由同一地点沿同一方向开始做直线运动，若以该时刻作为计时起点,ZvA K、7 I ZaB K、质点回到原点to时刻后，乙的速度大于甲的速度st图象，则下列说法正确的是（）甲比乙早出发时间to 甲、乙运动的出发点相距 甲的速率大于乙的速率A.C.B.D.*3.（常州质检） 动，则以下说法不如图所示，有一 1 正确的是（）t=o时刻开始,v轴的方向运得到两车的位移一时间（st）图象如图所示，则下列说法正确的是（0£1A. ti时刻乙车从后面追上甲车B.

28、ti时刻两车相距最远C. ti时刻两车的速度刚好相等D. 0到ti时间内，乙车的平均速度小于甲车的平均速度www. chinaedu. c om第io页版权所有不得复制101远程致昌网CKAHXJCOM5.一个以初速度vo沿直线运动的物体，t秒末速度为vt,如图所示，则关于t秒内物体运动的平均速度v和加速度a的说法中正确的是（）www. chinaedu. c om第#页版权所有不得复制0Vo+ VtB. V <井D. a随时间逐渐减小I1Avvo+vtC.a的大小和方向都没有变化* 6.（苏北四市模拟）利用速度传感器与计算机结合，可以自动作出物体运动的图象。某同学在一次实验中得到的运动

29、小车的速度一时间图象如图所示，以下说法错误的是（A.小车先做加速运动，后做减速运动B.小车运动的最大速度约为0.8m/sC.小车的位移一定大于8mD.小车做曲线运动度，其速度随时间变化的关* 7.小球从空中自由下落，与水平地面相碰后弹到空中某一高系如图所示，取g=10m/s2.则下列说法不正确的是（）A.B.小球下落的最大速度为5m/s小球第一次反弹的初速度的大小为3m/sC.小球能弹起的最大高度为0.45mD.小球能弹起的最大高度为1.25m* *8.两辆游戏赛车a、b在两条平行的直车道上行驶。t=0时两车都在同一计时处，此时比赛开始。它们在四次比赛中的vt图象如图所示。其中哪些图对应的比赛

30、中，有一辆赛车追上了另一辆？（）同地点出发，A、C是从同一地点出发，则以下说法正确的是（）A. A、C两物体的运动方向相反B. t=4 s时，A、B两物体相遇C. t=4s时，A、C两物体相遇D. t=2s时，A、B两物体相距最远2.*10.A车从静止开始以aA=1m/s的加速度前进，A车后相距为so=25m处，B车以Vb=6m/s的速度沿A车运动的方向匀速追赶A车，能否追上A车？若追不上，求两车间的最小距离s。（两车都可看作质点）11.（江苏扬州模拟）1935年在苏联的一条直铁轨上，有一列火车因蒸汽不足而停驶，驾驶员把货车厢甲留在现场（如下图所示），只拖着几节车厢向前方不远的车站开进，但他忘

31、了将货车厢甲刹好，使车厢在斜坡上以4m/s的速度匀速后退，此时另一列火车乙正以16m/s的速度向该货车厢驶来，驾驶技术相当好的驾驶员波尔西列夫立即刹车，紧接着加速倒退，结果恰好接住了货车厢甲，从而避免了相撞。设火车乙刹车过程和加速倒退过程均为匀变速直线运动，且加速度大小均为2m/s2,求波尔西列夫发现货车厢甲向自己驶来而立即开始刹车时，两车相距多远?16m/s 一a4m/s*12.一辆值勤的警车停在公路边，当警员发现从他旁边以10m/s的速度匀速行驶的货车严重超载时，决定前去追赶，经过5.5s后警车启动起来，并以2.5m/s2的加速度做匀加速运动，但警车的行驶速度必须控制在90km/h以内。问

32、：远程致官网CK4AHXJ.COM(1)警车在追赶货车的过程中，两车间的最大距离是多少?(2)警车启动后要多长时间才能追上货车？美好的结局往往来自于艰难的过程.I1I11.B2. C3. A解析：.根据v-t图象在各阶段均为直线，可知质点在各阶段均做匀变速直线运动：在01s内沿v轴正方向的速度不断增加，故做初速度为零的匀加速直线运动；在1s2s内沿v轴正方向做匀减速直线运动，2s时离原点最远；在2s3s内沿v轴负方向做匀加速直线运动；在3s4s内沿v轴负方向做匀减速直线运动，4s时回到原点；在01s和3s4s内加速度的大小和方向均相同。故选项B、C、D均正确。4. ajdKv.jK5. D6. D解析：由vt图象可以看出，小车的速度先增加，后减小，最大速度约为0.8m/s,故A、B均正确。小车的位移为vt图象与t轴所围的面积”，s=85X0.1¥m=8.5m>8m,C正确，图线弯曲表明小车的速度变化不均匀，不表示小车做曲线运动，故D错