用数学归纳法证明不等式

1、4.2用数学归纳法证明不等式举例、教学目标1 会用数学归纳法证明简单的不等式.2 会用数学归纳法证明贝努利不等式，了解贝努利不等式的应用条件.二、课时安排1课时三、教学重点会用数学归纳法证明简单的不等式.四、教学难点会用数学归纳法证明贝努利不等式，了解贝努利不等式的应用条件.五、教学过程一导入新课复习数学归纳法的根本思想。二讲授新课教材整理用数学归纳法证明不等式1 .贝努利Bernoulli不等式如果x是实数，且x> 1, xM0, n为大于1的自然数，那么有1 + xn>.2在运用数学归纳法证明不等式时，由n=k成立，推导n= k+ 1成立时，常常要与其他方法，如比拟法、分析法、

2、综合法、放缩法等结合进行.三重难点精讲题型一、数学归纳法证明不等式11 1n例 1 Sn= 1 + 2 + 3 + + n>1 , n N+,求证：S2n>1 + ?n?2 n N +.【精彩点拨】先求Sn再证明比拟困难，可运用数学归纳法直接证明，注意Sn表示前n项的和n>1,首先验证n= 2;然后证明归纳递推.、十、t,111252【自王解答】1当 n= 2 时，S22 = 1+ + 3 + 4= 72>1 + 2，即n = 2时命题成立.111 k假设n= k(k>2 k N+)时命题成立，即 S2k= 1 + ? + ?+刁>1 +当n = k+ 1时

3、,1 1S2k+1 = 1 + 2+ 3 +丄 1+ 2k+ 2k+ 1 + +1?k+1i+1+ 2 = i+k+ 1>1 + k+2k2k + 2k=故当n= k+ 1时，命题也成立.由(1)(2)知，对 n N + , n>2 S2n>1 + 2都成立.1 规律总结：此题容易犯两个错误，一是由n= k到n= k+ 1项数变化弄错，认为 才的后1 1111一项为 JTk+i，实际上应为； 一是 / |彳+ k o + + <)k+ 1共有多少项之和，实际上2k +2 2 + 1 2 + 1 2 + 2 21到2k+1是自然数递增，项数为2k+1 - (2k + 1)

4、 + 1 = 2k.再练一题1 1 1 11. 假设在本例中，条件变为设 f(n)= 1 + 2 + 3 + + (n N +)，由 f(1) = 1>?,f(3)>1 ,f(7)>3，f(15)>2 ,试问：f(2n- 1)与2大小关系如何？试猜测并加以证明.13【解】 数列1,3,7,15,，通项公式为an= 2n- 1，数列-,1, 2, 2,，通项公式为n猜测：f(2n 1)>2-下面用数学归纳法证明：1 当n= 1时，f(21 - 1) = f(1) = 1>2,不等式成立. 假设当n = k(k> 1 k N+ )时不等式成立，即 f(2k

5、- 1)>2，+ 1 1 1 1当 n = k+ 1 时，f(2k +1- 1) = f(2k- 1) + 2k + 2k+ 1 + + 2k+1 2 + 2k+1- 1 >f(2k 1) +当n= k+ 1时不等式也成立.据知对任何n N+原不等式均成立.例 2 证明：2n+ 2>n2(n N +).n = k+ 1成立, 结论得证验证n = 1, 2, 3时【精彩点拨】不等式成立假设n = k成立，推证n = k + 1【自主解答】 当n= 1时，左边=21 + 2= 4;右边=1,左边 >右边; 当n = 2时，左=24 【证明】(1)当n = 2时，左边=1 +

6、 3 = 3；右边=".左边右边，不等式成立;假设n= k(k>2且k N +)时不等式成立,+ 2= 6，右=22= 4，所以左 >右； 当n = 3时，左=2111p2k+1即 1 + 3 1 + 5 1 + 2k 1 > 厂+ 2 = 10,右=32= 9,所以左 >右.因此当n = 1,2,3时，不等式成立.一k2假设当n= k(k>3且 k N +)时，不等式成立，即 2 + 2> k2(k N +).当 n = k+ 1 时，2k+1 + 2= 2 2+ 2=2(2k + 2) 2>2k2- 22 2=k2+ 2k+ 1 + k2

7、 2k 3=(k+ 1)2+ (k+ 1)(k 3),/ k>3 / (k + 1)(k 3) >0 (k+ 1)2+ (k+ 1)(k 3) X+ 1)2,所以 2k+1 + 2>(k+ 1)2.故当n= k+ 1时，原不等式也成立.根据(1)(2)知，原不等式对于任何n N +都成立.规律总结：1. 本例中，针对目标 k2+ 2k+ 1,由于k的取值范围(k> 1太大，不便于缩小.因此，用 增加奠基步骤(把验证n = 1扩大到验证n= 1,2,3)的方法，使假设中k的取值范围适当缩小到 k>3促使放缩成功，到达目标.2. 利用数学归纳法证明数列型不等式的关键是

8、由n=k到n= k+ 1的变形.为满足题目的要求，常常要采用 放与缩等手段，但是放缩要有度，这是一个难点，解决这个难题一 是要仔细观察题目结构，二是要靠经验积累.再练一题2. 用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数，不等式11L1+ 3 1 + 5 1 + 2n- 1 >2n+ 12 均成立.那么当n= k+ 1时,11 11 k1 k 1 +叶 352k112(k 1) 1：2k + 1 2k + 22k + 2> 2'4k2 + 8k+ 42k + 1 2 . 2k+ 1一 2 2k+ 1>2 * 2k+ 12 2k+ 1当n= k+ 1时，不等式也成立.由(1)

9、(2)知，对于一切大于1的自然数n,不等式都成立.题型二、不等式中的探索、猜测、证明111 1 a例3 假设不等式+ n+2 + 卞+ 3+7>24对一切正整数n都成立，求正整数 a的最大值，并证明你的结论.【精彩点拨】先通过n取值计算，求出a的最大值，再用数学归纳法进行证明，证明时，根据不等式特征，在第二步，运用比差法较方便.111 a 26 a【自主解答】当 1 23k+ 2+ 3k+ 43(k 1)>0，时，而 +1+2+31>24,那么24>24， a<26.又 a N + , 取 a= 25.11125下面用数学归纳法证明+ + q丄彳25n+ 1 n+

10、 23n+ 1 24(1) n= 1时，已证.11125(2) 假设当 n= k 时(k>1, k N +),弟 + k+2 + + 3k+7>24，当 n= k+ 1 时,1+(k 1) 1 (k1)1 1 1+ + + + + 3k+ 1 + 3k+ 2 + 3k+ 3 +13(k1) 11 13k+ 2 + 3k+ 3 +1 13k + 4 k+ 11 11_=k+ 1 + k+ 2 + + 3k+ 1 +25112>24+24 3k 2 3k 4 3(k 1)116 k+12'3k+ 2+ 3k + 4 = 9k2 + 18k+ 8> 3(k1)，112

11、5、(k 1) 1+ (k 1) 2 + 十 3(k 1) 1 >24也成立由(1)(2)可知，对一切 n N +,+ “亠 11125都有 n+ 1 + n+2+ + 3n+ 1 >24,a的最大值为25.规律总结：1 不完全归纳的作用在于发现规律，探究结论，但结论必须证明.11112.此题中从 n= k至U n = k+ 1时，左边添加项是 3k+2 + 3k + 3 + 3k+ 4 k+ 1 .这一点必须清楚.再练一题1 113. 设an= 1 + 2+ 3+ 一(n N +)，是否存在n的整式g(n),使得等式 a1 + a2 + a3+ 2 3n+ an1= g(n)(a

12、n 1)对大于1的一切正整数 n都成立？证明你的结论.【解】 假设g(n)存在，那么当n= 2时，由 a1= g(2)(a2 1),1即 1 = g(2) 1 + 2 1，二 g(2) = 2;当 n = 3 时，由 a1 + a2= g(3)(a3 1),1 1 1即 1 + 1 + 2 = g(3) 1 + 2 + 3 1 ,-g(3) = 3,当 n = 4 时，由 a1 + a2 + a3= g(4)(a4 1),1 1 1即 1 + 1 + 2 + 1 + 2+3结论成立.假设当n= k(k>2 k N +)时结论成立，即 ai + a2+ a3+ ak-1 = k(ak 1)

13、成立，那么当 n = k+ 1 时，ai + a2+ - + ak-1+ ak=k(ak 1) + ak = (k+ 1)ak k=(k+ 1)ak (k+1) + 11=(k+ 1) ak+ k+ 1 = (k+ 1)(ak+1 1),说明当n = k+ 1时，结论也成立，+ an 1 =由(1)(2)可知，对一切大于1的正整数n,存在g(n)=n使等式a1+ a2+ a3+g(n )(an 1)成立.(四)归纳小结证明不等式归纳法证明不等式一探索、猜测、证明问题贝努利不等式五随堂检测1数学归纳法适用于证明的命题的类型是A .？结论B .结论？C.直接证明比拟困难D .与正整数有关【答案】D

14、1 1 1 12.用数学归纳法证明不等式 1 + 23+孕+孑 2 £n 2 n N +时，第步应验证不等式)1 11 11A.1 + 戸 V 2 2B . 1 +尹亍<2_31 11丄1C.1 + 歹 V 2 3D.1 + 2彳+ 3?V 241【解析】no= 2时，首项为1，末项为尹【答案】 A1111273. 用数学归纳法证不等式 1 + 2+ 4+ 21 看成立，起始值至少取【解析】=2 1- n> 7,C. 9D. 10左边等比数列求和n11- 2沖厂1 2127> "64127> 128， n 取 8,B.【答案】六、板书设计4.2用数学归纳法证明不等式举例例1 :教材整理用数学归纳法证明例2 :学生板演练习不