离散傅里叶变换dft

1、第三章离散傅立叶变换（DFT）3.1 离散傅立叶变换的几种形式3.2 离散傅里叶变换（DFT）3.3 离散傅里叶变换的性质3.4 频域采样数字信号处理,；、:啖Digital signal processing土工离散傅立lO换的几种形式1 .连续周期信号一一傅里叶级数(FS)2 .连续非周期信号傅里叶变换(FT)3 .离散非周期信号序列的傅里叶变换(DTFT)4 .离散周期信号 离散傅里叶级数(DFS)数字信号处理Digital signal processing3.2离散傅里叶变换.（ DFp3.2.1 离散傅里叶变换的定义有限长序列X"）的离散频谱得从周期序列宜功的离散傅 里叶

2、级数的系数无中来求得，即：x*） 二又）Rn«） = X&k）N - %的4"）、戈伏）都是以川为周期的周期序列收（攵）的值完全可以由一个周期内的有限长序列宜九）来确定。取主值区间上的序列（即主值序列），就把离散傅里叶级数变为离散傅里叶变换。数字信号处理力 、, :IDigital signal processing n*1 r A f rt k -3；21离散傅里叶变换的定义有限长序列的DFT,定义为:N-1X(k) = Qb"M)=ZM")A， OWkWN-l (3.2二 01 N-Lx(n) = IDFTX(k)i =-0<n<

3、-l (322 N k=o2/r.其中明三）"。式（3.2-1）称为M"）的/V点离散傅里叶变换(DFT )式(3. 2-2 )称为片(火)的离散傅里叶逆变换（InverseDiscrete Fourier Transform, IDFT)。数字信号处理& .*力、g. . - - r*- oDigital signal processing3. 2.1离散傅里町变换的定义因为文(左)、工()只有衿独立样值，其它值均是这些样值 的重复。所以在一个周期的有限长范 围内计算DFS与DFT,其结果是一样的。实质上DFT 就是将有限长序列作为周期序列的一个周期所进行 的离散

4、变换。DFT具有隐藏的周期性。而且DFT可以看作序列 傅里叶变换的近似，所以对连续函数的处理就可以 代之以离散采样的处理。数字信号处理6 力、G. . - - r*- DDigital signal processing例题/j=0ii 旺 n=0 北CCS”是一个的有限长序列，求其离散傅里叶变换。解：序列的D FT为:X(k)= DFTTcos6ii=，cosnn 7噌射cos-e 126,左二 1/1,其它上且0«k<ll数字信号处理& ；司=、Q.卢8V. . DDigital signal processingr.° I v-i n » 4

5、4tx *>A P c, :一 L例题如图所示:3-1武）及其DFT变换（N = 12）数字信号处理6 . -、. .- - L（）bDigital signal processing3.2.2 DFT与序列傅里叶变换、Z变换的关系3. 2.2 DFT与序列傅里叶变换、Z变换的关系设工5）是一个长度为"的有限长序列，对无5）进行Z变 换，X（N）=2才5）二”，7=0比较殡换与DFT的定义式，可以看到，当（。三6一1） 时，N7X （讥* = Z= r>FTx（«）H0数字信号处理& "、 ：产口Digital signal processin

6、g3.2.2 DFT与序列傅里叶变换、Z变换的关系即：X/) = X(z)|z*/ ，0<k<N-l(3.2-3)Z = Wk 三e萼卜一 一， 一 2万r 表明W/是z平面单位圆上辐角为口 =犷左的点，也即将z平面单位圆片等分后的第4点，所以x(幻也 就是对X(z)在郤面单位圆上的憔等间隔采样值。DFT与序列傅里叶变换的关系为:XQk) = *0川)2兀,zt>=-kNjk>X(Jz )(3.2-4)数字信号处理Digital signal processing小一% n » *、X * F A f fl r ': “品嘱惠 丽与喇傅里时变换.2变换

7、的关系式（3.2-4）说明X（A）也可以看作序列 式）的傅里叶变换x（V）茬区间0, 2冗 上的旅等间隔采样，其采样间隔为 这就轲T的物理意义。显而易见，DFT的变 换区间长度N不同，表示对X©&）在区间0, 2n上的采样间隔和采 样点数不同，所以DFT的变换结果也不同。10数字信号处理8 M14c、 ,：产口Digital signal processingid*. V - M .Q.-£s« 寺:.O6 X / 5-<5 Oj.*，.誉/*C VTf f73-2DFT与序列傅里叶变换、Z变换的关系$ 2.2 DFT与序列傅里叶变换、Z变换的关系1

8、1数字信号处理支 .印35*、«.产",- - L 口力Digital signal processing3. 2. 3 DFT的隐含周期性按照DFT的定义，龙()与x均为有限长序列，但是证:式)与X(k)均隐含周期性，且周期为N。NTN-1X(k + mN) = £%(麓)卬$= £式5 网八=X(k)77=0n=Q同理,x(n + mN) x(ri)12数字信号处理& 、： L。Digital signal processing<i离散傅里肝变换的基本性质 tto J* o3P- ： ° X1、线性性质z、对藤定强3、时间反转

9、定理4、序列求和6、序列的循环移位7、循环卷积 8、帕塞瓦尔定理8用 9、DFT的对称性13数字信号处理4* * '、,尸D7 L DDigital signal processingi W n » «* »A P A 9? Lt 3离散傅里叶变换的基本性质1、线性性质vp(zi) = ax(n) + by(n)取"=应凡'项,若 取)和丁 对应的腐DFT分别为X(女)和V仕) ，则的点DFT为W = aX(k)+bY(k)(3.3-112、尔定理设序列的N点DFT为x(n)则当时间序列为X(Z即具有频谱序列的形状时,其对应的DFT为DF

10、TX(n) Nx(N-k)(3.3-2)""数字信号处理14Digital signal processing3.3离散傅里时变换的基本性质 3、时间反转定理DFTx(N-n) = X(N-k)(3.3-3)4、序列求和H-1N-129)=X(k)虑=>眼戒k=0ji=O/i=05、初值定理N-i“(°)= 77ZX(A)N於0数字信号处理d 、,：产口(3. 3-4 ) 3-5 )15Digital signal processing3.3离散傅里叶费换的基本蟠6、序列的循环移位：(1)序列循环移位的定义序列x(n),x(n)n以N为周期，进行周期延拓，得

11、至IJ其AMS).()-A-M数字信号处理&牙Ji* 、'产士匕， L 口Digital signal processing16备盘毒散傅里叶变换的基本礴数字信号处理Digital signal processing3.3离散傅里叶变换的基本性质 U1O JX O3 JrPc O «.(2)时域循环移位定理设长度为N的有限长序列”5)的N点DFT为X(Z), y(n)为x(n) 的循环移位，即y5) = %( + 喻)nRn 5)(3. 3-6)18Y(k) = DFTy(nJ=3/'9(左) 1/ .数字信号处理& 刃2=*、,：产口Digital

12、signal processingta离散他里叫的基本如旅*1 P "，i.*(3)频域循环移位定理,、- 内 /-j(竺涧yn= IDF7Y(k) = Wlx(n) = e N x(n) /令m=k+L,则有(3.3-7)证明;y(n)= iDFTYk= IDF7X(k + l)Mk)NT二房Xx(伏+/%也)叫产N "o1 N -11 n-My()二町 m£x(m)N%rN MI N-I二 w,痴，X(MW二"N m4二 whW设长度为N的有限长序歹U无 的川点DFT为X(k),且丫jX(A + /)A外的 则19数字信号处理Digital sign

13、al processing£3离散傅里叶变换的基本性质7、循环卷积<1)定义Xj(rt) = x(n) * x2(n)NT=X 8(阳)2 ("- m)N & ®wi=ON-l=£巧(加)芯(九-m)N RN (W)m=0玉5)和X2(n)均是长度为的有限长序列。20数字信号处理Digital signal processing立3 ：高散傅里叶变换的科性质循环卷积计算过程如图，为（/!卜西（用）2-5 -3 TO 1 2 3 4 5 6 7 8 91 %仞）唐（川）一.【*_ I1JJ121数字信号处理Digital signal pro

14、cessing3.3 ：离散傅里叶变换的势性质,瓜卜啊）N*2(C)以(1-必k:IILU八I LIe22数字信号处理力、'' : r 数字信号处理6 50=*、 *产 DDigital signal processingDigital signal processing3.3离散傅里叶变换的基本性质059图34循环卷积过程示意图23因为卷积过程只在主值区间1内进行-m)"实际上就 是心(M的循环移位oti离散傅里叶变换的乳性质,C ° 一（2）时域循环卷积定理设公（相）和/5）分别是长度为M和N?的有限长序列，取N-nmCNuM6即X Xk) = DFTx

15、(n)X 2(k) = DFTx2X,*) = Xlk)X<k)覆()=IDF7Xk)N-1=2%(加)片("用)N%()w=0NT=2迎（5）&（5- m）N“（） 第二0.数字信号处理装、,：产口Digital signal processing24备豆离散傅里叶变换的日鹏,C 。 一证明;对上式两边直接进行DFT,X 式左)=DFTx3 (w)N -I NT=X为OX (5 -/Rn 5)卬出nO rnONTNT=2 巧(加)£ %2 (" m)N WNn mOn=0“TNj”*3(左)=工巧5z) 2%(5')#w然小扁n <o

16、tntNt-hi=2>式加)吐£心(伽”吠汴 D“，NJ”Z-iZ5=2>,5)吐 NWW/M«0"=00< k < N-I25数字信号处理% .*力、Q. : L 0Digital signal processing23离散傅里叶变换的基本性质（3）频域循环卷积定理 若、3（）=为（"）巾式）,则XM = DFT。° b >/ e1 NT= fZxN)X 式 *T)nRn i NT=卷工工式/)*(色一。)附氏处(女)N z26数字信号处理% .*、g. . - - r*- oDigital signal pro

17、cessing3 3离散俾里叶变换的基 8、帕塞瓦尔定理(Parseval)设长度为人的有限长序列尢()的4点DFT为X(A) ,则NT1 N-1(3.3-8)表明一个序列在时域计算的能量与在频域计算的能量是相等的,即能量守恒原理“27数字信号处理d .*力、=. - - r*- DDigital signal processing3.3离散傅里时变换的基本性质U卜O JA O9 ITPc O M.9、DFT的对称性因为把有限长序列看成周期为俐时间序列中的一个周期,因此有:x(一") = X(N n)(3. 3-9)X(k)=X(2V大)C3u 3-10)Cl)奇偶序列的DFT奇对称

18、 若 x(n)=-x(-n)=-x(N-n), 则 X(份二-X(-祐-X(AM)偶对称 若 x()= x(n) = xtN - n)则 X(府= X(Y)= X(NlE)28数字信号处理Digital signal processingti :离散傅里叶变换的珏性质,C ° 一(2)共加复序歹U的DFT设长度为人的有限长序列”5)的川点DFT为X(k),则加K® = x*一初n时= X*(N-初 n&5)= X'(N - k),OvkwN -1X(外可认为是分布在A等分的圆周上，它的末点即它的起点,X(N) = X(O)所以凡是 x(N)都认为有 X(N)

19、lX(O) 0数字信号处理d ,力、:"口3-11)29Digital signal processing33离散俾里时变换的基本性质(3) DFT的共物对称性如同任何实函数都可以分解成偶对称分量和奇对称分量一样，任何 有限长序列工5)都可以表示成其共钝对称分量七05)和共轨反对称 工叩5)分量之和，即%()二匕p() + %5)0<n<N-lC3.3-12)则DFTxtpy = DFt |(x(n)+x(jV -«)=J DFTx(h)-f I DFT (N 一编= ；X3 + X*®同理可得=ReX(i)Z)FT(/i)= J Im X (Jt)数

20、字信号丸理30& . 力"产它匕 * L 口Digital Signal processing'3. .3离散傅里叶变换的基本性质， H W丫o JX o9 itpc o ».又假设将序列武九）分成实部和虚部，即其中xO) = xr()+ jxt 5)(3.3-13)怎 5) = Rex(n) = x(n)+x*(n) j&5) = j ImxS) = ；x() 一 /()则、Z 1 廿八DF7IE(初= X,p= 3X(k)+X (N切 n川 M)=X。*)=;x(k)-f(N-协Zj(3.3-14)(3.3-15)数字信号处理d .-力、&quo

21、t;. - - F*- oDigital signal processing3133离散傅里时变换的基本性质 所以，由DFT的线性性质可以得到x(k) = DFTx(n) = X C Xop(k) 3-16)其中，X0(幻=为X(A)的共朝对称分量，X叩(媳=小丁丸()为X (k)的共辗反对称分量532数字信号处理明 "力、 *：产口Digital signal processing3.4频域采样定理频域采样的特性与时域采样对偶，即对时 间序列的连续频谱函数在频域等间隔采样， 则采样得到的离散频谱对应时域序列将是原 时间序列的周期延拓序列，这一特性将与时 域采样，频域周期延拓相对偶。33数字信号处理&、:"口Digital signal processing证明设任意序列X«）绝对可和,其侬换和傅里叶变换分别表示为:x（z） = £Jl =-ooX（e*）二£式所即力三YO我出=x（/）L.=5位）丁寿.九=-00=£ X（JI）WJ/