次曲线上的四点共圆问题的完整结论

1、二次曲线上的四点共圆问题的完整结论甘志国(该文已发表数学通讯，2013(7 下)：40-41)百年前，著名教材坐标几何(Loney 著)中曾提到椭圆上四点共圆的一个必要条件是2 2这四点的离心角之和为周角的整数倍(椭圆 冷 与1(a0,b 0)上任一点A的坐标可a2b2以表示为(acos,bsin )(R)，角 就叫做点A的离心角)，证明方法十分巧妙，还要运用高次方程的韦达定理这一条件是否充分，一直是悬案在 20 世纪 80 年代编写数学题解 辞典(平面解析几何)时，仍未解决到 20 世纪年代初编写中学数学范例点评时，才证 明了此条件的充分性.1,22011 年高考全国大纲卷理科第21 题，2

2、005 年高考湖北卷理科第 21 题(也即文科第 22题)及 2002 年高考江苏、广东卷第 20 题都是关于二次曲线上四点共圆的问题(见文献3,4).笔者曾由 2005 年的这道高考题得出了二次曲线上四点共圆的一个简洁充要条件(其证明也很简洁但有技巧)：若两条直线h : y y0K (x x0)(i 1,2)与二次曲线2 2:ax by cx dy e 0(a b)有四个交点，则这四个交点共圆的充要条件是k1k20.文献2还用此结论证得了“椭圆上的四点共圆的充要条件是这四点的离心角之和为周 角的整数倍” 文献5用较长的篇幅得出了下面的两个结论(即原文末的命题 7、8):结论 1 抛物线y22

3、px的内接四边形同时内接于圆的充要条件是该四边形的两组对边、两条对角线所在的三对直线中有一对直线的倾斜角互补结论 2 圆锥曲线mx2ny21(mn 0, m n)的内接四边形同时内接于圆的充要条件是该四边形的两组对边、两条对角线所在的三对直线中有一对直线的倾斜角互补请注意，文献5中所涉及的直线的斜率均存在，所以这两个结论均正确但不够完整，本文将给出二次曲线上的四点共圆问题的完整结论，即文末的推论4.定理 1 若两条二次曲线ax2by2cx dy e 0(a b)，a x2b y2cx d y e 0有四个交点，则这四个交点共圆.证明 过这四个交点的二次曲线一定能表示成以下形式(，不同时为 0)

4、:2 2 2 2(ax by cx dy e) (ax b y cx d y e)0式左边的展开式中不含xy的项，选1时，再令式左边的展开式中含x2, y2项a b的系数相等，得，此时曲线即b ax2y2cxdye0的形式，这种形式表示的曲线有且仅有三种情形：一个圆、一个点、无轨迹而题中的四个交点都在曲线上，所以曲线表示圆这就证得了四个交点共圆定理 2 若两条直线ax by G 0(i1,2)与二次曲线2 2 _:ax by cx dy e 0(a b)有四个交点，则这四个交点共圆的充要条件是a2b0.证明由ll,l2组成的曲线即(a-ix b y C|)(a2x b2y c2)0所以经过它与

5、的四个交点的二次曲线一定能表示成以下形式(，不同时为 0):aQ?a2d 0充分性当a-b2a2b-0时，式左边的展开式中不含xy的项，选1时，再令式左边的展开式中含x2, y2项的系数相等，即a a2b bb，得旦色_b a此时曲线即2 2x y cx d y e 0的形式，这种形式表示的曲线有且仅有三种情形：一个圆、一个点、无轨迹而题中的四个交点都在曲线上，所以曲线表示圆这就证得了四个交点共圆推论 1 若两条直线与二次曲线:ax2by2cx dy e 0(a b)有四个交点，则这四个交点共圆的充要条件是这两条直线的斜率均不存在或这两条直线的斜率均存在且互为相反数证明 设两条直线为li：ax

6、 biy ci0(i 1,2)，由定理 2 得，四个交点共圆的充要2 2(ax by cx dy e)(a/ b y G)(a2x b2y c2)0必要性若四个交点共圆，则存在使方程表示圆，所以式左边的展开式中含xy项的系数(ab2a2b) 0而0(否则表示曲线 ，不表示圆)，所以条件是a b2玄200(1)当l1/I2即印匕2玄?“时，得四个交点共圆的充要条件即a1b2a2D0也即a1a20或b b20.(2)当11与12不平行即a1b2a2bi时，由aib2azb0得0,a2b0,所以四个交点共圆的充要条件即鱼a20也即直线11,12的斜率均存在且均不为0 且互为b2相反数由此可得欲证成立

7、推论 2 设二次曲线2:axby2cx dy e0(a b)上的四个点连成的四边形是圆内接四边形，在该四边形的的两组对边、两条对角线所在的三对直线中：右有对直线的斜率均不存在，则另两对直线的斜率均存在且均互为相反数；若 有 一 对 直 线 的 斜率 均 存 在 且均互为相反数，则另两对直线的斜率也均存在且均互为相反数，或另两对直线的斜率中有对均不存在另一对均存在且互为相反数线AC与BD所中的直线分别是由定理中的充分性知，若四个交点共圆，则以下等式之一成立:再运用定理 2 中的必要性知，若四个交点共圆，则以上等式均成立再由推论 1 的证明, 可得欲证成立.推论 2 的极限情形是推论 3 设点A是

8、定圆锥曲线(包括圆、椭圆、双曲线和抛物线)C上的定点但不是顶 点，E、F是C上的两个动点，直线AE、AF的斜率互为相反数，则直线EF的斜率为曲 线C过点A的切线斜率的相反数(定值).由推论 3 可立得以下三道高考题中关于定值的答案：3X2y2高考题 1 (2009 辽宁理 20(2)已知A 1,是椭圆C :1上的定点，243E、F是C上的两个动点，直线AE、AF的斜率互为相反数，证明EF直线的斜率为定值，1并求出这个定值.(答案：丄.)1iQXSyc1i0(i1,2)!i: a2iXb2iyC2i0(i1,2)Si：a3iXb$yc3i0(i1,2)1213证明设圆内接四边形是四边形ABCD，

9、其两组对边AB与CD、AD与BC及对角aibiai2b110, a31b32a32b312高考题 2 (2004 北京理 17(2)如图 1，过抛物线y22 px( p 0)上一定点P(xo,yo)(yo0)作两条直线分别交抛物线于A(X1,yJ, B(x?, y?)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1*的值，并证明直线AB的斜率是非零常数(答案：y。%y2122k2 kABy。pjy0图 1高考题 3(2004 北京文 17(2)如图 1,抛物线关于X轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1,2), A(Xi,yJ,B(X2, y2)均在抛物线上.当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求

10、yiy2的值及直线AB的斜率.(答案：yiy?4；kAB1.)22推论 4 设二次曲线:ax by cx dy e 0(a b)上的四个点连成的四边形是 圆内接四边形，则该四边形只能是以下三种情形之一：(1) 两组对边分别与坐标轴平行的矩形；(2) 底边与坐标轴平行的等腰梯形；(3) 两组对边均不平行的四边形，但在其两组对边、两条对角线所在的三对直线中，每对直线的斜率均存在且均不为0 且均互为相反数.证明 推论 2 中的圆内接四边形，只能是以下三种情形之一：(1) 是平行四边形由推论 2 知，该平行四边形只能是两组对边分别与坐标轴平行的矩 形(2) 是梯形.由推论 2 知，该梯形的底边与坐标轴平行， 两腰所在直线的斜率及两条对角 线所在直线的斜率均存在且均不为 0 且均互为相反数，可得该梯形是底边与坐标轴平行的等 腰梯形(3) 两组对边均不平行的四边形由推论 2 知，该四边形的两组对边、 两条对角线所在的三对直线中，每对直线的斜率均存在且均不为0 且均互为相反数参考文献1 陈振宣圆锥曲线上四点共圆的充要条件J.数学教学，2007(