线性分组码的编码原理

1、第 8 章差错控制编码本章教学基本要求：掌握： 1. 差错控制编码的基本概念、基本原理2. 线性分组码的 G、 H 矩阵3. 位同步理解：卷积码了解：常用的简单编码本章核心内容：一、差错控制编码的基本概念、原理二、常用的简单编码三、线性分组码四、卷积码一、差错控制编码的基本概念、原理1. 差错编码的基本概念差错控制编码属信道编码，要求在满足有效性前提下，尽可能提高数字通信的可靠性。 差错控制的目的是用信道编码的方法检测和纠正误码，降低误比特率。数字信号在传输过程中受到干扰的影响，使信号波形变坏，发生误码，可以采用一些方法解决。同时设计系统时，还要合理地选择调制、解调、发送功率等因素，采用上述措

2、施仍难以满足性能要求，就要采用差错控制措施了。从差错控制角度来看，根据加性干扰引起的错码分布规律的不同，把信道分为三类，即随机信道、突发信道和混合信道，对不同类型的信道，采用不同的差错控制技术。差错控制方法常用的有以下三种：（ 1）检错重发法（ ARQ）：检错重发方式只用于检测误码，需具备双向信道。收端在接收到的信码中发现错码时，就通知发端重发，直到正确接收为止。（ 2）前向纠错法（ FEC）：收端不仅能检测误码，还能纠正错码。这种方法实时性好，不需要反向信道，但纠错设备较复杂。（ 3）反馈校验法：接收端将接收到的信码原封不动地转发回发端，并与原发送信码相比较，若发现错误，发端再重发。d0 ，

3、最小码距是衡三种方法可以结合使用2. 纠错编码的基本原理在信息码序列中加监督码就称为差错控制编码，也叫纠错编码。不同的编码方法， 有不同的检错和纠错能力， 增加监督码元越多， 检（纠）错能力越强。差错控制编码原则上是降低Rb来换取可靠性提高。 （即Pe更小）。信息码元和监督码元之间有一种关系，关系不同，形成码的类型也不同。信息码元和监督码元用线性方程组联系，所形成的码称为线性分组码，包括汉明码和循环码。在线性分组码中，两个码组对应位上数字不同的位数称为码组距离，简称码距，又称汉明（Hamming）距离。编码中各个码组间距离的最小值称为最小码距量码组检错和纠错能力的依据，其关系如下:(1) 为检

4、测 e 个错码，则要求最小码距d0 e 1 ，(2) 为纠正 t 个错码，则要求最小码距 d0 2t 1 ，(3) 为纠 正t 个错码 ，同时 为检测e 个错码，则要求最小码d 0et1, et 。二、常用的简单编码（ 1）奇偶监督码：可分为奇数监督码和偶数监督码两种，原理和检错能力都相同。监督码只有一位，编码后码组中“1”的数目为奇数是奇监督，“ 1”的数目为偶数是偶监督，能够检测奇数个错码，适用于检测随机错误。（ 2）二维奇偶监督码：又称为方阵码，它是把上述奇偶监督码的若干码组排成矩阵，每一码组写成一行，再按列的方向增加第二维监督位。能检测部分偶数个错码，适用于检测突发错码，检错能力较强。

5、（ 3）恒比码：在恒比码中，每个码组均含有相同数目的“1”（和“0”）。由于“ 1”和“ 0”的数目之比保持恒定，故得此名。在检测时，只要计算接收码组中的“1”的数目是否对，就知道有无错误。恒比码编码简单，适用于传输字母和符号， 对二进制随机数字序列不适用。（ 4）正反码：正反码是一种简单的能够纠错的编码。编码的监督位数目与信息位数目相同，监督码元是信息码的重复还是反码，由信息码中“ 1”的个数而定。“ 1”为奇数时是重复，“ 1”为偶数时是反码。三、线性分组码1. 基本概念(1) 分组码：先将信息码分组，然后给每组信码附加若干监督码的编码称为分组码，用符号(n, k ) 表示， k 是信息码

6、的位数，n是编码组总位数，又称为码长，rnk 为监督位数。(2) 代数码：建立在代数学基础上的编码称为代数码。(3) 线性码：线性码中信息位和监督位是按一组线性方程构成的。线性码是一种代数码。(4) 线性分组码：信息码分组后，附加的监督码和信息码由一些线性代数方程联系着的编码称为线性分组码。(5)编码效率：指码组中的信息码元个数与码组长度的比值k1r 。n n2. 线性分组码的编码原理一般说来，若码长为 n ，信息位为 k ，则监督位为 r n k ，如果希望用 r 个监督位构造出 r 个监督关系式来指示一位错码的 n 种可能位置，则要求：2r1n 或2rrk1以汉明码为例来说明编码原理。汉明

7、码是一种能够纠正一位错码且编码效率较高的线性分组码。（7，4）汉明码的编码效率：1r4 , n 很大时，1。n7（1）监督矩阵：（7，4）汉明码码位之间满足下式，其中a6 a5 a4a3为信息码， a2 a1 a0 为监督位。1 a61 a51 a40 a31 a20 a10 a001 a61 a50 a41 a30 a21 a10 a001 a60 a51 a41 a30 a20 a11 a00式中的“ +”指模 2加，改写为矩阵形式：a6a51110100a40110101 0a30 (模2)1011001a20a1a0上式还可以简记为HAT0T或A HT0其中1110100H110101

8、01011001Aa6a5a4a3a2a1a00000H 称为监督矩阵，只要H给定，编码时监督位和信息位的关系就完全确定了，H 的行数是监督关系式的数目，等于r。 H矩阵的各行应是线性无关的。H 可化为典型监督矩阵，包含两部分：1110100H1101010PI r1011001（2）生成矩阵： a6a5a4 a3 a2 a1a码位之间还可以改写成下式：0a2a1a0a6a5a4a3Q式中， Q 为一 kr 阶矩阵，它为p的转置111QPT110101011上式表明，信息位a6 a5 a4 a3给定后，用信息位的行矩阵乘矩阵Q就产生出监督位。将Q的左边加上一kk阶单位方阵就构成一矩阵G :10

9、00111G I k0100110Q01010100001011G 称为生成矩阵，可以由此产生整个码组，即Aa6a5a4a3G所以如果给出码的生成矩阵，则编码方法就完全确定了。 具有 I k Q形式的生成矩阵称为典型生成矩阵，得到的码组信息位不变，监督位附加其后，这种码称为系统码。线性码具有封闭性，因此线性码的最小距离即是码的最小重量（除全“ 0”外）。四、循环码1. 循环码的编码原理循环码是一种重要的线性分组码。这种码的编码和解码设备都不太复杂，且有较强的检（纠）错能力。循环码具有循环性，即码中任一码组循环一位以后，仍为该码中的一个码组。讨论循环码时，用多项式代表许用码组，码组中各码元当作是

10、多项式的系数，这种多项式有时称为码多项式，用T (x)表示。T ( x)可以按模运算，且运算规律符合循环性。如T ( x)是长为n的许用码组，则T (x)xiT (x)在按模x n 1 运算下，也是一个许用码组。生成矩阵G ：在循环码中，一个( n, k)码有 2k个不同码组，若用g( x)表示其中前k1 位皆为“ 0”的码组，则g( x), xg (x),xk 1 g( x)都是码组，且线性无关。找出任一(n, k )循环码的生成多项式，就可以构成此循环码的生成矩阵G。k 1xg( x)G( x)xg( x)g( x)G 不是典型矩阵，可以通过初等变换，将其化为典型阵。2. 循环码的编码方法和编码器的构造编码方法：由循环码的构造可知，所有码多项式 T ( x) 都可被 g (x) 整除。即若某多项式能被 g(x) 整除，且商的次数不大于 k 1 ，则其必为码多项式。根据上述原理，编码步骤归纳如下：（1）设m( x)为信息码多项式，用xn k 乘 m( x) 。（2）用g( x)除 xn k m( x) ，即x n k m( x)r (x)g (x)Q( x)g( x)其中， r ( x)是余式。（3） xn k m( x)r ( x