立体几何证明方法汇总情况

1、实用文档中位线定理例题：如图：平行四边形ABCDABCD中,BC=6,正方形ADEFADEF所在平面与平面ABCDABCD垂直,G,HG,H分别是DF,BEDF,BE的中点.(1)求证：GHGH/平面CDE;CDE;(2)假设CD=2,DB=4,2,求四棱锥F-ABCDF-ABCD的体积.练习：1 1、如下列图所示：在直三棱柱ABC-ABC中,AC=3BC=4AB=5AA=4,点D是AB的中点.求证：AC/平面CDB;2.如图,ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1是正四棱柱侧棱长为1,1,底面边长为2,2,E E是棱BCBC的中点.(1)(1)求证：BDBDi i

2、/平面C CDEDE; ;(2)(2)求三棱锥D-DD-D1 1BCBC的体积.3、如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD_L底面ABCD,PD=4,DC=3,E是PC的中点.(1)证实：PA平面BDE;(2)求APAD以PA为轴旋转所围成的几何体体积.标准文案实用文档例2、如图,在矩形ABCD中,AB=2BC,P,Q分别为线段AB,CD的中点,EP,平面ABCD.求证：AQ/平面CEP;利用平行四边形练习：如图,PAPA垂直于矩形ABCDABCD所在的平面,E E、F F分别是ABAB、PDPD的中点.求证：AFAF/平面PCEPCE; ;如图,P是矩形ABCD所在平面外

3、一点,PD_L平面ABCDABCD,M,N分别是AB,PC中点.求证:MNMN/平面PADPAD如图,AB_LAB_L平面ACDACD, ,DE/ABDE/AB, ,ACDACD是正三角形,ADAD= =DEDE= =2AB2AB,且F F是CDCD的中点.求证：AF/AF/平面BCEBCE; ;、正方体ABCD-ABCD-A1B1clD1,O是底ABCD对角线的交点.求证：CQ面ABiDi标准文案实用文档1.一.上,且满足CM=CA,求证：EMEM平面 FBCFBC; ;4面面平行一线面平行例题4 4、如图,矩形ABCDABCD和梯形BEFCBEFC所在平面互相垂直,BE/CFBE/CF,

4、,N NBCF=BCF=/ /CEF=CEF=90,AD=V3,EF=2,AD=V3,EF=2.(I)(I)求证：平面ABEABE平面CDFCDFIIII求证：AE/AE/平面DCF;DCF;利用面面平行-线面平行练习：1 1、如下图,四棱锥PABCD中,底面ABCD为正方形,PD_L平面ABCD,PD=AB=2,E,F,G分别为PC、PD、BC的中点.标准文案比例关系例题3 3、P P是平行四边形ABCDABCD平面外一点,求证：MNMN平面PCDPCD利用比例关系PMPMBNBNNCNC练习：如图,四边形 ABCDABCD 为正方形,EA_LEA_L 平面 ABCDABCD, ,EF/AB

5、EF/AB, ,ABAB= =4,AE4,AE=2,=2,EFEF=1=1.(n).(n)假设点M在线段ACM M、N N分别且BMBMB BD D实用文档(1)求证：；PA/面EFG；(2)求三棱锥PEFG的体积.2 2、如图,在直三棱柱ABC-ABCi中,/ACB=90E,F,G分别是AAiiACiBBi的中点,且CGCiG(I)(I)求证：CG平面BEF;3 3、如下图,正方形,“T 与梯形,弋所在的平面互相垂直找一点,使得平面,7,7, ,请确定点的位置,并给出证实.4、(2022山东文)如图,几何体 E EABCDABCD 是四棱锥,ABDABD 为正三角形,CB=CD,EC_BD.

6、(I)求证：BE=DEBE=DE；(n)假设/BCDBCD=120=120, ,M M 为线段 AEAE 的中点,求证：DMDM/平面 BECBEC.标准文案实用文档例题：如图,四棱锥P-ABCDo假设底面ABCD为平行四边形,练习：1 1、如图,在四锥 P-ABCDP-ABCD 中,侧面 PADPAD 是正三角形,且与底面 ABCDABCD 垂直,底面 ABCDABCD 是边长为2 2的菱形,/BAD/BAD=60=60, ,N N 是 PBPB 中点,过A A、N N、D D三点的平面交 PCPC 于M.求证:2 2、20222022浙江高考如图,在侧棱锥垂直底面的四棱锥ABCD-AABC

7、D-Ai iB Bi iC Ci iD Di i中,AD/BC,ADXAB,AB=J2AD/BC,ADXAB,AB=J2.AD=2AD=2, ,BC=4,AABC=4,AAi i=2,E=2,E是DDDDi i的中点,F F是平面BQBQi iE E与直线AAAAi i的交点.1 1证实：EFEF/A Ai iD Di i；标准文案和点F的平面与平面BDE的交线为FG,求证:AP/FG.证实：连AC与BD,设交点为0,连OEE为PC的中点,在DE上取点F,过APAD/MNAD/MN; ;实用文档3 3.如图,四边形ABCDABCD是矩形,平面ABCD_LABCD_L平面BCEBCE, ,BE_

8、LEC.BE_LEC.(1)(1)求证：平面AEC_LAEC_L平面ABE;ABE;(面面垂直性质) )BFBF1(2)(2)点F F在BEBE上,假设DEDE平面ACFACF, ,求的值.(线面平仃的性质一)BEBE2例题：在正方体ABCD-ABCD-A1B1c1D1中,E,F分别是C C1 1D/DDD/DD1 1A Al l上的点,点P在正方体外,平面PEF与正方体相交于AC,求证：EF/平面ABCD标准文案例、如图,在正方体ABCDAB1c1D1中,EF、G分别是AB、AD、C1D1的中点.练习：如下图,在正方体ABCD-ABCD-AB1c1D1中,E、F、GH分别是BCCC、GD、A

9、A的中点.求证:(1) EG/平面BBDD;(2)平面BDF/平面BDHE(第 16 题图)求证：平面DiEF/平面BDG.实用文档菱形的对角线互相垂直：例题.E,FE,F分别是止方形ABCDABCD边ADAD, ,ABAB的中点,EFEF,平面GMC.GMC.练习：如图ABCD-ABCD-A1B1 1c1D1是底面为正方形的长方体,求证:等腰三角形底边的中线垂直底边例1 1、如图,在三棱锥PABC中,AC=BC=2,AP=BP=AB,PC_LAC.求证：PC-LAB；标准文案EFEF交ACAC于M,GCM,GC垂直于ABCDABCD所在平面.求证:八ApB(1)BD_L平面ACC1 1A(2

10、)BDBD1AC1AC1DCA44i iJ Jc cCABP/ACB=90,/ABPA；,C实用文档练习：1 1、在三棱锥A-BCDA-BCD中,AB=AC,BD=DC,AB=AC,BD=DC,求证：BC_LAD圆的直径所对的圆周角为直角例题3 3、如图ABAB是圆O O的直径,C C是圆周上异于A A、B B的任意一点,PA-LPA-L平面ABC,ABC,(1)(1)图中共有多少个直角三角形？(2)(2)假设AH-LPCAH-LPC, ,且AHAH与PCPC交于H,H,求证：AHAH-L-L平面PBC.PBC.利用勾股定理例4 4、在长方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1c c1

11、1D D1 1中,底面ABCD是边长为1 1的正方形,侧棱AAAA1 1=2,=2,E E是侧棱BBBB1 1的中点.求证：AE_L平面A1D1E；证实：: :ABCDABCDA A1 1B B1 1c cl lD D1 1为长方体,练习：如图,四棱锥P-ABCDP-ABCD的底面是边长为1 1PA-LCD,PA=1,PD=&,求证：(1)PA_L平面ABCDABCD(2)(2)求四棱锥P-ABCDP-ABCD的体积.标准文案BC CD D实用文档间接法,用线面垂直的性质定理(l_Lb,bml_Lb)例题：如图,四棱锥P-ABCDP-ABCD中,底面ABCDABCD为平行四边形,NDA

12、B=60-AB=2AD,PD_L底面ABCD,证实：PA_LBD;练习1 1: :如图,在直三棱柱ABCABCABGABG中,AC=3AC=3, ,BC=4BC=4, ,AB=5,AA=4,AB=5,AA=4,点D D是ABAB的中点.(I)求证：AC_LBC1;练习2：如图,四边形ABCD为矩形,BC_L平面ABE,F为CE上的点,且BF_L平面ACE.求证：AE_LBE;证实：由于BC_L平面ABE,AEu平面ABE,例1如图,ABAB 是.O O 的直径,PAPA 垂直.O O 所在的平面,C C 是圆上不同于 A,BA,B 的任意一点,求证：平面PACLPACL 平面 PBCPBC练习

13、1：如图,棱柱ABCAB1cl的侧面BCC1B1是菱形,BC_LA1B标准文案实用文档2、如图,在直三棱柱ABC-A1B1cl中,E、F分别是A1B、A1c的中点,点D在B1cl上,A1D_LB1c求证：(1)EF/平面ABC(2)平面A1FD_L平面B&GC.3、 如图,ABCDABCD正方形,S S平面 ABCDABCDBKSC于K,连结DR求证(1)1)平面 SBC1SBC1 平面KBDKBD例1:1:如图,在四棱锥P PABCDABCD中,侧面PAD,PAD,底面ABCDABCD, ,侧棱PA=PD,OPA=PD,O为ADAD中点.,求证：POLPOL平面ABCDABCD; ;

14、例 2 2：如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是/DAB=60且边长为a的菱形,侧面PAD是等边三角形,且C平面PAD垂直于底面ABCD.(1)假设G为AD的中点,求证：BG_L平面PAD;(2)求证：AD_LPB;练习：1 1、如图ABAB是圆O O的直径,C C是圆周上异于A A、B B的任意一点,PAPA,平面ABCABC,(1),(1)图中共有多少个直角三角形？(2)(2)假设AHAHP PPCPC,且AHAH与PCPC交于H H, ,求证：平面PAC-LPAC-L平面PBC.(3)AH-LPBC.(3)AH-L平面PBCPBC标准文案HO实用文档2 2、在四棱锥P-ABCD中,

15、平面PAD,PAD,平面ABCDABCD, ,AB=ADAB=AD,/,/BAD=60BAD=60, ,E E、F F分别是APAP、ADAD的中点. .求证：平面BEN平面PAD3、如图,正方形ABC所在平面与以AB为直径的半圆O所在平面ABEE相垂直,点,求证：O直线AP1平面PBG平面PBCL平面APC4 4、如图,三角形ABCABC中,AC=BC=AC=BC=AB,ABEDABED2ABEDABED,底面ABC,ABC,且,假设G G、F F分别是ECEC、BDBD的中点,I I求证:H H求几何体ADEBADEBC C的体积VoVo是边长为a的正方形,平面GFGF底面ABC;ABC;

16、5 5、如图,AB,C,D为空间四点.在ABC中,AB=2,AC=BC=6.等边三角形ADB以AB为轴运动.I I当ADB,平面ABC时,求CD;标准文案五、体积问题1.如图,ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1是正四棱柱侧棱长为1,1,底面边长为2,2,E E是棱BCBC的中点(1)(1)求证：BDBD1 1平面C C1 1DEDE; ;练习1：三棱锥P-ABC中,APAC和APBC者B是边长为行的等边三角形,AB=2,O、D分别是AB的中点.(1)(1)求证：OD/平面PAC(2)(2)求证：平面PAB,平面ABC;(3)(3)求三棱锥A-PBC的体积.实用文

17、档(2)(2)求三棱锥D-DD-Di iBCBC的体积.PB2 2、如图,长方体ABCDA1B1c1D1中,AB=AA1=1,AD=2,E是BC的中点.标准文案实用文档I求证：平面A1AE_L平面D1DE；II求三棱锥A-A1DE的体积.3、如图,在四棱锥P-ABCW,PD垂直于底面ABCD,底面ABCM直角卞$形,DCAB,/BAD=90o,且AB=2AD=2DC=2PD=4单位：cm,E为PA的中点.1如图,假设主视方向与AD平行,请作出该几何体的左视图并求出左视图面积;2证实：DE平面PBC；4、某几何体的直观图图1与它的三视图图2,其中俯视图为正三角形,其它两个视图是矩形.D是这个几何

18、体的棱AG上的中点.I求出该几何体的体积；3333n求证：直线BCI/平面ABID;出求证：平面AB1D_L平面AA1D.A Ai iD Di iCI5 5、某个几何体的三视图如图主视图的弧线是半圆I求这个组合体的体积；n假设组合体的底部几何体记为ABCD-AB1C1D1,其中A1B1BA为正方形.i求证：A1B面AB1clD;ii求证：P为棱AB1上一点,求AP+PC1的最小值.六：等体积法求高距离：h h1 11如：二极车隹V“ECECi i=VB*FCB*FCi i- -S SBECBECi ih h=S.EFCiBE3 33例题2022广东文数如图,弧AEC是半径为a的半圆,AC为直径

19、,点E为弧AC的中点,点B和点C为线段AD的三等分点,平面AEC外一点F满足FC_L平面BED,FB=V5a1证实：EB1FD2求点B到平面FED的距离.实用文档,根据图中标出的数据,标准文案实用文档练习1:ABC-A1B1cl是正三棱柱,长均为J5,E、F分别是AGA1cl的中点,(1)求证：平面AB1F/平面BEC(2)求点A到平面BEC,间的距离作与PD平行的平面交PB与点E,ABCD的两对角线交点为F.(I)求证:AC_LDE;(n)假设EF=73,求点D到平面PBC的距离.3、如图4,在四棱锥PABCD中,平面PAD_L平面ABCD,AB/DC,PAD是等边三角形,BD=2AD=4,AB=2DC=2而.(1)求证：BD_L平面PAD；(2)求三棱锥A-PCD的体积.2 2、如图,在四棱锥P-ABCD中,PD_L平面ABCD;四边形ABCD是菱形,例题边长为2,/BCD=60,经过AC4.如图,己知ABCD中,/BCD=90,BC=CD=1,AB_L平面BCD,NADB=60,E,F分别是AC,AD上的动点,且