人教备战中考数学备考之旋转压轴突破训练∶培优篇附详细答案(1).doc

1、人教备战中考数学备考之旋转压轴突破训练培优篇附详细答案(1)一、旋转真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EFBD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG（1）请问EG与CG存在怎样的数量关系，并证明你的结论；（2）将图中BEF绕B点逆时针旋转45，如图所示，取DF中点G，连接EG，CG问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由（3）将图中BEF绕B点旋转任意角度，如图所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？（请直接写出结果，不必写出理由）【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）结论仍然

2、成立【解析】【分析p 】（1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证出CG=EG（2）结论仍然成立，连接AG，过G点作MNAD于M，与EF的延长线交于N点；再证明DAGDCG，得出AG=CG；再证出DMGFNG，得到MG=NG；再证明AMGENG，得出AG=EG；最后证出CG=EG（3）结论依然成立【详解】（1）CG=EG理由如下：四边形ABCD是正方形，DCF=90在RtFCD中，G为DF的中点，CG=12FD，同理在RtDEF中，EG=12FD，CG=EG（2）（1）中结论仍然成立，即EG=CG证法一：连接AG，过G点作MNAD于M，与EF的延长线交于N点在DAG与DCG中，AD=

3、CD，ADG=CDG，DG=DG，DAGDCG（SAS），AG=CG；在DMG与FNG中，DGM=FGN，FG=DG，MDG=NFG，DMGFNG （ASA），MG=NGEAM=AEN=AMN=90，四边形AENM是矩形，在矩形AENM中，AM=EN在AMG与ENG中，AM=EN，AMG=ENG，MG=NG，AMGENG（SAS），AG=EG，EG=CG证法二：延长CG至M，使MG=CG，连接MF，ME，EC在DCG与FMG中，FG=DG，MGF=CGD，MG=CG，DCGFMG，MF=CD，FMG=DCG，MFCDAB，EFMF在RtMFE与RtCBE中，MF=CB，MFE=EBC=90，E

4、F=BE，MFECBEMEF=CEB，MEC=MEF+FEC=CEB+CEF=90，MEC为直角三角形MG=CG，EG=1MC，EG=CG2（3）（1）中的结论仍然成立理由如下：过F作CD的平行线并延长CG交于M点，连接EM、EC，过F作FN垂直于AB于N由于G为FD中点，易证CDGMFG，得到CD=FM，又因为BE=EF，易证EFM=EBC，则EFMEBC，FEM=BEC，EM=ECFEC+BEC=90，FEC+FEM=90，即MEC=90，MEC是等腰直角三角形G为CM中点，EG=CG，EGCG【点睛】本题是四边形的综合题（1）关键是利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答；（2）关键

5、是利用了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质、全等三角形的判定和性质解答2如图1，在RtABC中，ACB90，ACBC点D、E分别在AC、BC边上，DCEC，连接DE、AE、BD点M、N、P分别是AE、BD、AB的中点，连接PM、PN、MN（1）PM与BE的数量关系是，BE与MN的数量关系是（2）将DEC绕点C逆时针旋转到如图2的位置，判断（1）中BE与MN的数量关系结论是否仍然成立，如果成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由； （3）若CB 6CE 2，在将图1中的DEC 绕点C 逆时针旋转一周的过程中，当B 、E 、D 三点在一条直线上时，求MN 的长度【答案】（1）1,22PM

6、 BE BE MN =；（2）成立，理由见解析；（3）MN 171或17+1【解析】【分析p 】（1）如图1中，只要证明PMN 的等腰直角三角形，再利用三角形的中位线定理即可解决问题；（2）如图2中，结论仍然成立，连接AD 、延长BE 交AD 于点H .由ECB DCA ，推出BE AD =，DAC EBC =，即可推出BH AD ，由M 、N 、P 分别AE 、BD 、AB 的中点，推出/PM BE ，12PM BE =，/PN AD ，12PN AD =，推出PM PN =，90MPN =，可得22222BE PM MN MN =； （3）有两种情形分别求解即可.【详解】（1）如图1中，A

7、M ME ，AP PB ，PM BE ，12PM BE =， BN DN ，AP PB ， PN AD ，12PN AD =， AC BC ，CD CE ，AD BE ，PM PN ，ACB 90，AC BC ，PM BC ，PN AC ，PM PN ， PMN 的等腰直角三角形，2MN PM =， 122MN BE =， 2BE MN =，故答案为12PM BE =，2BE MN = （2）如图2中，结论仍然成立理由：连接AD 、延长BE 交AD 于点H ABC 和CDE 是等腰直角三角形， CD CE ，CA CB ，ACB DCE 90， ACB ACE DCE ACE ， ACD EC

8、B ，ECB DCA ，BE AD ，DAC EBC ， AHB 180（HAB +ABH ） 180（45+HAC +ABH ） 180（45+HBC +ABH ） 1809090，BH AD ，M 、N 、P 分别为AE 、BD 、AB 的中点，PM BE ，12PM BE =，PN AD ，12PN AD =， PM PN ，MPN 90， 2222BE PM MN MN = （3）如图3中，作CG BD 于G ，则2CG GE DG =当D 、E 、B 共线时，在Rt BCG 中，22226234BG BC CG =-=-=， 342BE BG GE =-=-，2171MN BE =-

9、 如图4中，作CG BD 于G ，则2CG GE DG =，当D 、E 、B 共线时，在Rt BCG 中，22226234BG BC CG =-=-= 342BE BG GE =+=，21712MN BE = 综上所述，MN 17117【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题.3如图，矩形OABC 的顶点A 在_ 轴正半轴上，顶点C 在y 轴正半轴上，点B 的坐标为（4，m ）（5m7），反比例函数y 16_ （_ 0）的图象交边AB 于点D （1）用m

10、的代数式表示BD的长；（2）设点P在该函数图象上，且它的横坐标为m，连结PB，PD记矩形OABC面积与PBD面积之差为S，求当m为何值时，S取到最大值；将点D绕点P逆时针旋转90得到点E，当点E恰好落在_轴上时，求m的值【答案】（1）BDm4（2）m7时，S取到最大值m5【解析】【分析p 】（1）先确定出点D横坐标为4，代入反比例函数解析式中求出点D横坐标，即可得出结论；（2）先求出矩形OABC的面积和三角形PBD的面积得出S12（m8）2+24，即可得出结论；利用一线三直角判断出DGPF，进而求出点P的坐标，即可得出结论【详解】解：（1）四边形OABC是矩形，AB_轴上，点B（4，m），点D

11、的横坐标为4，点D在反比例函数y16_上，D（4，4），BDm4；（2）如图1，矩形OABC的顶点B的坐标为（4，m），S矩形OABC4m，由（1）知，D（4，4），SPBD12（m4）（m4）12（m4）2，SS矩形OABCSPBD4m12（m4）212（m8）2+24，抛物线的对称轴为m8，a0，5m7，m7时，S取到最大值；如图2，过点P作PF_轴于F，过点D作DGFP交FP的延长线于G，DGPPFE90，DPG+PDG90，由旋转知，PDPE，DPE90，DPG+EPF90，PDGEPF，PDGEPF（AAS），DGPF，DGAFm4，P（m，m4），点P在反比例函数y16，_m（m4

12、）16，m2+25或m225（舍）【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，矩形的性质，三角形的面积公式，全等三角形的判定，构造出全等三角形是解本题的关键4小明在矩形纸片上画正三角形，他的做法是：对折矩形纸片ABCD(ABBC)，使AB与DC重合，得到折痕EF，把纸片展平；沿折痕BG折叠纸片，使点C落在EF上的点P 处，再折出PB、PC，最后用笔画出PBC(图1)（1）求证：图1中的PBC 是正三角形： （2）如图2，小明在矩形纸片HIJK 上又画了一个正三角形IMN ，其中IJ=6cm ，且HM=JN 求证：IH=IJ请求出NJ 的长； （3）小明发现：在矩形纸片中，若一边长为6

13、cm ，当另一边的长度a 变化时，在矩形纸片上总能画出最大的正三角形，但位置会有所不同请根据小明的发现，画出不同情形的示意图(作图工具不限，能说明问题即可)，并直接写出对应的a 的取值范围【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；12-63（3）33a 43，a 43【解析】分析p ：（1）由折叠的性质和垂直平分线的性质得出PB=PC ，PB=CB ，得出PB=PC=CB 即可；（2）利用“HL”证Rt IHM Rt IJN 即可得；IJ 上取一点Q ，使QI=QN ，由Rt IHM Rt IJN 知HIM=JIN=15，继而可得NQJ=30，设NJ=_ ，则IQ=QN=2_ 、QJ=3_

14、，根据IJ=IQ+QJ 求出_ 即可得；（3）由等边三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理进行计算，画出图形即可 （1）证明：对折矩形纸片ABCD(ABBC)，使AB 与DC 重合，得到折痕EFPB=PC沿折痕BG 折叠纸片，使点C 落在EF 上的点P 处PB=BCPB=PC=BCPBC 是正三角形：（2）证明：如图矩形AHIJH=J=90MNJ 是等边三角形MI=NI在Rt MHI 和Rt JNI 中MI NI MH NJ =Rt MHI Rt JNI （HL ）HI=IJ在线段IJ上取点Q，使IQ=NQRtIHMRtIJN，HIM=JIN，HIJ=90、MIN=60，HIM=JIN=15

15、，由QI=QN知JIN=QNI=15，NQJ=30，设NJ=_，则IQ=QN=2_，QJ=22=3QN NJ_，IJ=6cm，2_+3_=6，_=12-63，即NJ=12-63（cm）（3）分三种情况：如图：设等边三角形的边长为b，则0b6，则tan60=3=2ab，a=3b，0b63=33；如图当DF与DC重合时，DF=DE=6，a=sin60DE=63=33，当DE与DA重合时，a=643 sin603=，33a43；如图DEF是等边三角形FDC=30DF=643 cos303=a3点睛：本题是四边形的综合题目，考查了折叠的性质、等边三角形的判定与性质、旋转的性质、直角三角形的性质、正方形

16、的性质、全等三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，难度较大5在平面直角坐标系中，O为原点，点A（0，4），点B（2，0），把ABO绕点A逆时针旋转，得ABO，点B、O旋转后的对应点为B、O（1）如图，若旋转角为60时，求BB的长；（2）如图，若AB_轴，求点O的坐标；（3）如图，若旋转角为240时，边OB上的一点P旋转后的对应点为P，当OP+AP取得最小值时，求点P的坐标（直接写出结果即可）【答案】（1）252）点O8545）；（3）点P的坐标为（835，365 【解析】分析p ：（1）由点A 、B 的坐标可得出AB 的长度，连接BB ，由旋转可知：AB =AB ，BAB =60，进而可得出

17、ABB 为等边三角形，根据等边三角形的性质可求出BB 的长； （2）过点O 作O D _ 轴，垂足为D ，交AB 于点E ，则AO E ABO ，根据旋转的性质结合相似三角形的性质可求出AE 、O E 的长，进而可得出点O 的坐标；（3）作点A 关于_ 轴对称的点A ，连接A O 交_ 轴于点P ，此时O P +AP 取最小值，过点O 作O F y 轴，垂足为点F ，过点P 作PM O F ，垂足为点M ，根据旋转的性质结合解直角三角形可求出点O 的坐标，由A 、A 关于_ 轴对称可得出点A 的坐标，利用待定系数法即可求出直线A O 的解析式，由一次函数图象上点的坐标特征可得出点P 的坐标，进

18、而可得出OP 的长度，再在Rt O P M 中，通过解直角三角形可求出O M 、P M 的长，进而可得出此时点P 的坐标详解：（1）点A （0，4），点B （2，0），OA =4，OB =2，AB 22OA OB 5在图中，连接BB 由旋转可知：AB =AB ，BAB =60，ABB 为等边三角形，BB =AB 5 （2）在图中，过点O 作O D _ 轴，垂足为D ，交AB 于点E AB _ 轴，O E _ 轴，O EA =90=AOB 由旋转可知：B AO =BAO ，AO =AO =4，AO E ABO ，AE AO =O E BO =AO AB ，即4AE =2O E 25AE 85，O

19、 E 45O D 45+4，点O 的坐标为（85555，+4） （3）作点A 关于_ 轴对称的点A ，连接A O 交_ 轴于点P ，此时O P +AP 取最小值，过点O 作O F y 轴，垂足为点F ，过点P 作PM O F ，垂足为点M ，如图3所示由旋转可知：AO=AO=4，OAF=240180=60，AF=12AO=2，OF=32AO=23，点O（23，6）点A（0，4），点A（0，4）设直线AO的解析式为y=k_+b，将A（0，4）、O（23，6）代入y=k_+b，得：4236bk b=-+=，解得：534kb=-=-，直线AO的解析式为y=53_4当y=0时，有53_4=0，解得：_

20、=43，点P（43，0），OP=OP=43在RtOPM中，MOP=60，OMP=90，OM=12OP=23，PM=32OP=65，点P的坐标为（23+235，6+65），即（833655，）点睛：本题考查了函数图象及旋转变换、待定系数法求一次函数解析式、等边三角形的判定与性质、一次函数图象上点的坐标特征以及解直角三角形，解题的关键是：（1）利用等边三角形的性质找出BB的长；（2）通过解直角三角形求出AE、OE的长；（3）利用两点之间线段最短找出当OP+AP取得最小值时点P的位置6如图1，ACB、AED都为等腰直角三角形，AED=ACB=90，点D在AB上，连CE，M、N分别为BD、CE的中点（

21、1）求证：MNCE；（2）如图2将AED绕A点逆时针旋转30，求证：CE=2MN【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】试题分析p ：（1）延长DN交AC于F，连BF，推出DEAC，推出EDNCFN，推出DE EN DN=，求出DN=FN，FC=ED，得出MN是中位线，推出MNBF，证CF CN NFCAEBCF，推出ACE=CBF，求出CBF+BCE=90，即可得出答案；（2）延长DN到G，使DN=GN，连接CG，延长DE、CA交于点K，求出BG=2MN，证CAEBCG，推出BG=CE，即可得出答案试题解析：（1）证明：延长DN交AC于F，连BF，N为CE中点，EN=CN，ACB

22、和AED是等腰直角三角形，AED=ACB=90，DE=AE，AC=BC，EAD=EDA=BAC=45，DEAC，EDNCFN，DE EN DN=，CF CN NFEN=NC，DN=FN，FC=ED，MN是BDF的中位线，MNBF，AE=DE ，DE=CF ，AE=CF ，EAD=BAC=45，EAC=ACB=90，在CAE 和BCF 中，CA BC CAE BCF AE CF ， CAE BCF （SAS ），ACE=CBF ，ACE+BCE=90，CBF+BCE=90，即BF CE ，MN BF ，MN CE （2）证明：延长DN 到G ，使DN=GN ，连接CG ，延长DE 、CA 交于点

23、K ，M 为BD 中点，MN 是BDG 的中位线，BG=2MN ，在EDN 和CGN 中， DN NG DNE GNC EN NC ，EDN CGN （SAS ），DE=CG=AE ，GCN=DEN ，DE CG ，KCG=CKE ，CAE=45+30+45=120，EAK=60，CKE=KCG=30，BCG=120，在CAE 和BCG 中，AC BC CAE BCG AE CG ， CAE BCG （SAS ），BG=CE ，BG=2MN ，CE=2MN 【点睛】考查了等腰直角三角形性质，全等三角形的性质和判定，三角形的中位线，平行线性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力7已知:在ABC

24、中，BC=a ，AC=b ，以AB 为边作等边三角形ABD 探究下列问题:（1）如图1，当点D 与点C 位于直线AB 的两侧时，a=b=3，且ACB=60，则CD=； （2）如图2，当点D 与点C 位于直线AB 的同侧时，a=b=6，且ACB=90，则CD= ； （3）如图3，当ACB 变化,且点D 与点C 位于直线AB 的两侧时，求 CD 的最大值及相应的ACB 的度数.【答案】（1）；（2）；（3）当ACB=120时，CD 有最大值是a+b.【解析】【分析p 】 （1）a=b=3，且ACB=60，ABC 是等边三角形，且CD 是等边三角形的高线的2倍，据此即可求解；（2）a=b=6，且AC

25、B=90，ABC 是等腰直角三角形，且CD 是边长是6的等边三角形的高长与等腰直角三角形的斜边上的高的差；（3）以点D 为中心，将DBC 逆时针旋转60，则点B 落在点A ，点C 落在点E 连接AE ，CE ，当点E 、A 、C 在一条直线上时，CD 有最大值，CD=CE=a+b 【详解】（1）a=b=3，且ACB=60，ABC 是等边三角形，OC=，CD=3；（2）3；（3）以点D为中心，将DBC逆时针旋转60，则点B落在点A，点C落在点E连接AE，CE，CD=ED，CDE=60，AE=CB=a，CDE为等边三角形，CE=CD当点E、A、C不在一条直线上时，有CD=CEAE+AC=a+b；当

26、点E、A、C在一条直线上时，CD有最大值，CD=CE=a+b；只有当ACB=120时，CAE=180，即A、C、E在一条直线上，此时AE最大ACB=120，因此当ACB=120时，CD有最大值是a+b【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，以及轴对称的性质，正确理解CD有最大值的条件，是解题的关键8如图1，在RtABC中，ACB=90，E是边AC上任意一点（点E与点A，C不重合），以CE为一直角边作RtECD，ECD=90，连接BE，AD（1）若CA=CB，CE=CD猜想线段BE，AD之间的数量关系及所在直线的位置关系，直接写出结论；现将图1中的RtECD绕着点C顺时针旋转锐角，得到图2，请判

27、断中的结论是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（2）若CA=8,CB=6，CE=3，CD=4，RtECD绕着点C顺时针转锐角，如图3，连接BD，AE，计算的值【答案】（1）BE=AD，BEAD；见解析；（2）125【解析】试题分析p ：根据三角形全等的判定与性质得出BE=AD，BEAD；设BE与AC的交点为点F，BE与AD的交点为点G，根据ACB=ECD=90得出ACD=BCE，然后结合AC=BC，CD=CE得出ACDBCE，则AD=BE，CAD=CBF，根据BFC=AFG，BFC+CBE=90得出AFG+CAD=90，从而说明垂直；首先根据题意得出ACDBCE，然后说明AGE

28、=BGD=90，最后根据直角三角形的勾股定理将所求的线段转化成已知的线段得出答案试题解析：（1）解：BE=AD，BEADBE=AD，BEAD仍然成立证明：设BE与AC的交点为点F，BE与AD的交点为点G，如图1ACB=ECD=90，ACD=BCE AC=BC CD=CE ACDBCEAD=BE CAD=CBF BFC=AFG BFC+CBE=90AFG+CAD=90AGF=90BEAD（2）证明：设BE与AC的交点为点F，BE的延长线与AD的交点为点G，如图2ACB=ECD=90，ACD=BCE AC=8，BC=6，CE=3，CD=4 ACDBCECAD=CBE BFC=AFG BFC+CBE

29、=90AFG+CAD=90AGF=90BEAD AGE=BGD=90，考点：三角形全等与相似、勾股定理9在ABC中，AB=AC，A=300，将线段BC绕点B逆时针旋转600得到线段BD，再将线段BD平移到EF，使点E在AB上，点F在AC上（1）如图1，直接写出ABD和CFE的度数；（2）在图1中证明：AE=CF；（3）如图2，连接CE，判断CEF的形状并加以证明【答案】（1）15，45；（2）证明见解析；（3）CEF是等腰直角三角形，证明见解析.【解析】试题分析p ：（1）根据等腰三角形的性质得到ABC的度数，由旋转的性质得到DBC的度数，从而得到ABD的度数；根据三角形外角性质即可求得CFE

30、的度数.（2）连接CD、DF，证明BCD是等边三角形，得到CD=BD，由平移的性质得到四边形BDFE是平行四边形，从而ABFD，证明AEFFCD即可得AE=CF（3）过点E作EGCF于G，根据含30度直角三角形的性质，垂直平分线的判定和性质即可证明CEF是等腰直角三角形.（1）在ABC中，AB=AC，A=300，ABC=750.将线段BC绕点B逆时针旋转600得到线段BD，即DBC=600ABD= 15.CFE=A+ABD=45（2）如图，连接CD、DF线段BC绕点B逆时针旋转60得到线段BD，BD=BC，CBD=600BCD是等边三角形CD=BD线段BD平移到EF，EFBD，EF=BD四边形

31、BDFE是平行四边形，EF= CDAB=AC，A=300，ABC=ACB=750ABD=ACD=15四边形BDFE是平行四边形，ABFDA=CFD.AEFFCD（AAS）AE=CF（3）CEF 是等腰直角三角形，证明如下：如图，过点E 作EG CF 于G ，CFE =45，FEG=45EG=FG A=300，AGE=90， AE=CF ，G 为CF 的中点EG 为CF 的垂直平分线EF=EC CEF=FEG=90CEF 是等腰直角三角形考点：1.旋转和平移问题；2等腰三角形的性质；3三角形外角性质；4等边三角形的判定和性质；5.平行四边形的判定和性质；6.全等三角形的判定和性质；7含30度直角

32、三角形的性质；8垂直平分线的判定和性质；9等腰直角三角形的判定.10我们定义:如果一个三角形一条边上的高等于这条边,那么这个三角形叫做“等高底”三角形,这条边叫做这个三角形的“等底”。（1）概念理解:如图1,在ABC 中,6AC = ,3BC =.30ACB =,试判断ABC 是否是“等高底”三角形，请说明理由.（2）问题探究:如图2, ABC 是“等高底”三角形,BC 是“等底”，作ABC 关于BC 所在直线的对称图形得到A BC ,连结AA 交直线BC 于点D .若点B 是123,12z ai z i =-=+的重心,求AC BC 的值.（3）应用拓展:如图3,已知12l l /,1l 与2l 之间的距离为2.“等高底”ABC 的“等底” BC 在直线1l 上,点A 在直线2l 上,有一边的长是BC 的2倍.将ABC 绕点C 按顺时针方向旋转45得到A B C ,A C 所在直线交2l 于点D .求CD 的值.【答案】（1）证明见解析；（2）132AC BC =（3）CD 的值为2103,22,2 【解析】 分析p