解三角形常见题型总结材料

1、实用标准文案?解三角形?常见题型总结1.1 正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理【典型题剖析】考察点1:利用正弦定理解三角形例1在IIABC中,A:B:C=1:2:3,求a:b:c.【点拨】 此题考查利用正弦定理实现三角形中边与角的互化,利用三角形内角和定理及正弦定理的变形形式a:b:c=sinA:sinB:sinC求解.AA:B:C=1:2:3,而A+B+C=兀.JInn解：A=,B=,C=,63213-a:b:=sinA:sinB:sinC=sin:sin:sin=一：:1=1:、3:2.63222【解题策略】要牢记正弦定理极其变形形式,要做到灵活应用.例2在ABC中,c=v/2+而,C=

2、30,求a+b的取值范围.【点拨】此题可先运用正弦定理将a+b表示为某个角的三角函数,然后再求解.abc.2、.6sinAsinBsinCsin30a=2(72+J6)sinA,b=2(&+J6)sinB=2(J2+J6)sin(150-A).-a+b=2(应+索)sinA+sin(150-A)=2(&+T6)-2sin75cos(75-A)=(亚+而)cos(750-A)1当75-A=0,即A=75时,a+b取得最大值(亚十J6；=8+4J3;2.1=180-(C+B)=150-B,.Ac150,.0vAv150,-7575-Av75,cos75Vcos(75-A)(6+而)

3、cos75=(V2+而)X=72+6.4综合可得a+b的取值范围为考察点2：利用正弦定理判断三角形形状例3在ABC中,a2-tanB=b2-tanA,判断三角形ABC的形状.【点拨】通过正弦定理把边的关系转化为角的关系,利用角的关系判断ABC的形状.解：由正弦定理变式a=2RsinA,b=2RsinB得：文档解：C=30,c=J2+J6,.由正弦定理得:实用标准文案2sinB2sinA2RsinA2RsinB,cosBcosA.sinAcosA=sinBcosB,即sin2A=sin2B,.2A=2B或2A+2B=n,A=B或A+B=.2.LJABC为等腰三角形或直角三角形.【解题策略】“在A

4、BC中,由sin2A=sin2B得/A=ZB是常犯的错误,应认真体会上述解答过程中/A=/B或/A+/B=的导出过程.2例4在ABC中,如果lgalgc=lgsinB=lgJ2,并且B为锐角,试判断此三角形的形状.【点拨】通过正弦定理把边的形式转化为角的形式,利用两角差的正弦公式来判断ABC的形状.解：:lgsinB-lg,2,.sinB=.2又B为锐角,B=45.,c、2由lga-lgc=-lg亚,得一=.a2A=18045C,代入上式得：J2sinC=2sin(135C)=2sin135cosC-cos135sinC二、2cosC2sinC,cosC=0, C=90,A=45.J.UABC

5、为等腰直角三角形.考察点3:利用正弦定理证实三角恒等式222222例5在ABC中,求证一a-b一十一b二c一十一ca=0.cosAcosBcosBcosCcosCcosA【点拨】观察等式的特点,有边有角要把边角统一,为此利用正弦定理将a：b：c2转化为sin2A,sin2B,sin2C.文档由正弦定理,得sinAsinC实用标准文案证实：由正弦定理的变式a=2RsinA,b=2RsinB得:a2-b24R2sin2A4R2sin2B,左边=4R2(cosB-cosA+cosC-cosB+cosA-cosC)=0=右边等式成立.【解题策略】在三角形中,解决含边角关系的问题时,常运用正弦定理进行边

6、角互化,利用三角知识去解决,要注意体会其中的转化与化归思想的应用.例6在ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,C=2B求证c2b2=ab.【点拨】此题考查正弦定理与倍角公式的综合应用证实：ABC-180,BC-180-A.又7C-2B,CB=B.：sin(BC)=sin(180-A)=sinA,2,2-2,.2 2-、.c-b=4R(sinC-sinB)2=4R(sinCsinB)(sinC-sinB)BCC-B_BC.C-B=4R,2sin,cos2cos.sin=4R2sin(C+B)sin(C-B)=4R2sinAsinB=ab=右边.二等式成立.【解题策略】有关三角形的证实题中

7、,要充分利用三角形本身所具有的性质.(1)A+B+C=n,A+B=冗-C,2B=2二-2C.(2)sin(AB)=sinC,cos(AB)=-cosC,tan(AB)二一tanC.文档cosAcosBcosAcosB4M(1-cos2A)-(1-cos2B)cosAcosB,22、(cosB-cosA)cosAcosB2,=4R(cosB-cosA),22b-c同理cosB-cosC22c-acosCcosA2,=4R(cosC-cosB),一2,一=4R(cosA-cosC).然后实用标准文案(3)sinABCAB.CAB=cos,cos=sin,tan22222(4)sin(2A2B)二一

8、sin2C,cos(2A2B)=cos2C,tan(2A2B)=-tan2C.考察点4:求三角形的面积例7在4ABC中,a,b,c分别是三个内角A,B,C的对边,假设a=2,C=2,cosB=2匹,求425ABC的面积S.【点拨】先利用三角公式求出sinB,sinA及边c,再求面积.解：由题意cosB2,得cosB=2cos2B-1=3,25254一3二,B为锐角,sinB=-,sinA=sin(n-B-C)=sin(一B)547.210由正弦定理得10c=T-1.rS=-acsinB21042一一75【解题策略】在ABC,以下三角关系式在解答三角形问题时经常用到,要记准、记熟,并能灵活应用,

9、ABC-,sin(AB)=sinC,cos(AB)-cosC;sinCcos,cos2.C=sin.2例8ABC43a,b,c分别是三个内角A,B,C的对边,ABC勺外接圆半径为12,且C=3求ABC的面积S的最大值.【点拨】 此题主要考察正弦定理与三角形面积公示的综合应用.解：SABC=1absinC=L2RsinANRsinBqinC22=、3R2sinAsinB=-R2cos(A-B)-cos(AB)2=-R2cos(A-B)1.22当cos(AB)=1|3A=印寸,文档实用标准文案33233.-(SABC)max=R=1144=108,3.44【解题策略】把三角形的面积公式和正弦定理相

10、结合,通过讨论三角函数值的取值,求得面积的最大值.考察点5:与正弦定理有关的综合问题例9ABC的内角A,B极其对边a,b满足a+b=acotA+bcotB,求内角C【点拨】此题主要考察解三角形中的正弦定理、和差化积公式等根底知识,考察运算水平、分析水平和转化水平.ab解法1：.a+b=acotA+bcotB,且=2R(R为ABC的外接圆半径),sinAsinB,sinA-cosA=cosB-sinB,.1-sin2A=1-cos2B.cos2A-cos2B=0又7sin2A-sin2B=2cos(AB)sin(A-B).cos(AB)sin(A-B)=0,.cos(AB)=0或sin(A-B)

11、=0.又A,B为三角形的内角,A+B=2或A=B,2一_n一冗当A+B=一时,C=一;22当A=B时,由得cotA=1,AA+B=-,AC=-.42综上可知,内角C=一.2解法2：由a+b=acotA十bcotB及正弦定理得,sinA+sinB=cosA+cosB,sinA-cosA=cosB-sinB,一._n._一冗_冗从而sinAcos-cosAsin=cosBsin-sinBcos,4444,兀、.,兀即sin(A-)=sin(-B).44urJI又0vA+B/3,b=6,A=30：求B;(2)在4ABC中,a=2/3,b=2,A=60：求B;1两斛都存在.2增斛.由sinB=0B18

12、0可得B=30或150,由于ba,2根据三角形中大边对大角可知BA,所以B=150口不符合条件,应舍去.【正解】sinAusin30sinB=b二6a2.3又0vBa,所以1由正弦定理得实用标准文案B=60或120*(经检验都符合题意)sinA-sin601(2)由正弦TE理得sinB=bx=2父=-=-.a232又0.vBv180.,B=30或150.bva,根据三角形中大边对大角可知BvA,:B=150不符合条件,应舍去,:B=30、易错点忽略三角形本身的隐含条件致错【易错点解析】解题过程中,忽略三角形本身的隐含条件,如内角和为180.等造成的错误.c.例2在ABC中,假设C=3B,求一的

13、取值范围.b【错解】由正弦定理得csinCsin3Bsin(B2B)=二二bsinBsinBsinBsinBcos2BcosBsin2B实用标准文案例12022广东高考a,b,c分别是ABC的三个内角A,B,C所对的边,假设a=1,b=Q,A+C=2B,那么sinC=【命题立意】此题主要考察正弦定理和三角形中大边对大角的性质,解题的关键是确定角C的值.【点拨】在ABC中,A+B+Cwi,又A+C=2B,故B,由正弦定理知3.asinB1B,sinA=,又ab,因此A=从而可知C=,即sinC=1.故填1.b262【名师点评】解三角形相关问题时,应灵活掌握边角关系,实现边角互化.2二例22022

14、北乐局考如图1-9所不,在ABC中,假设b=1,c=J3,C=,3那么a=.【命题立意】此题考查利用正弦定理解决三角形问题,同时要注意利用正弦定理得到的两解如何取舍.3.2二sin3C为钝角,B必为锐角,B=A=.a=b=1.66故填1【名师点评】在0尸范围内,正弦值等于1的角有两个,由于角C为钝角,所以角B必为锐角,预防忽略角的范围而出现增解图1-9ABC中,a=15,b=10,A=60那么cosB等于文档【点拨】由正弦定理得,1sinB例32022湖北高考在4实用标准文案【命题立意】此题考查正弦定理及同角三角函数根本关系式,解题的关键是确定角B的范围.siBc(C-s(BosCsimsin

15、(B-C)=0.由于nvB-Cvn,从而B-C=0,所以B=C.2一2.5,一.一一.一一4.2TEsin2B=V1-cos2B=从而sin4B=2sin2Bcos2B=,【名师点评】1证角相等,故由正弦定理化边为角.2在1的根底上找角A与角B的函数关系,在求2B的正弦值时要先判断2B的取值范围.1.1.2 余弦定理文档2,2A-32、2B.3C.-T1015【点拨】由正弦定理得5,sin60sinB_3,D1心m6010y.sinB=1515一虫A=60口,.B为锐角.,cosB=J-sin2B=1-(3.-3【名师点评】根据三角形性质大边对大角准确判断角B的范围,从而确定角B的余弦值.(1

16、)(2)2022天津高考在ABC中,求证B=C;1右cosA=,求sin.4B+JiACcosBABcosC的值.3J【命题立意】 此题主要考察正弦定理、 两角和与差的正弦公式、二倍角的正弦与余弦等根底知识,同时考察根本运算水平.同角三角函数的根本关系、证实：1在ABC中,由正弦定理及已sinB知,得sinCcosBcosC解：(2)由A+B4C=n和(1)得A=n-2B,故g2B-csin30=33父一=,知此题有两解.22a.a1.csinB3323由正弦TE理得sinC=2=,b32二C=60口或120,当C=60=时,A=901由勾股定理得：=Jb2+c2=d32+(3百j=6当C=1

17、209寸,A=30ABC为等腰三角形,a=3.【解题策略】比拟两种解法,从中体会各自的优点,从而探索出适合自己思维的解题规律和方法.三角形中两边和一角,有两种解法.方法一利用余弦定理列出关于第三边的等量关系列出方程,利用解方程的方法求出第三边的长,这样可免去判断取舍的麻烦.方法二直接运用正弦定理,先求角再求边.例2：4ABC中,a=26,b=6+2j3,c=4/3,求A,B,C【点拨】解答此题可由余弦定理求出角的余弦值,进而求得各角的值.解法1：由余弦定理得：cosA二,222bc-a2bc(6+2/3)+(4百2-(276226234、33624.31248-2448348文档_72+24褥

18、_3逆_直48348-2、,322由于Aw(01180A)所以A=30%a2+b2-c2(2而；十(6+2V3j-(46：243624、312-48_-/224,624、2-2由于Cw(0*180)所以C=45*由于A+B+C=1801所以B=180J45、30W105解法2:1由解法1知sinA=,2由于bc,所以BC,所以角C应该是锐角,因此C=45*.又由于A+B+C=180：所以B=180s-45-30=1050【解题策略】三角形三边求角,可先用余弦定理求解,再用正弦定理求解,在用正弦定理求解时,要根据边的大小确定角的大小,预防增解或漏解.考 察 点2:利 用 余 弦 定 理 判 断

19、三 角 形 的 形 状 例3：在 ABC中 ,(a+b+ca+bc)=3ab,且2cosA_sinB=sinC,试判断ABC的形状.【点拨】 此题主要考察利用正弦定理或余弦定理判断三角形的形状,从问题的条出发,找到三角形边角之间的关系,然后判断三角形的形状.解法1：角化边由正弦定理得snCsinB由2cosAsinB=sinC,得cosA=sinC2sinB2b2_2又由余弦定理的推论得cosA=-.2bc文档实用标准文案cosC2ab22.662.3csinA由正弦TE理得,sinC=4,3：22；62c.2b2,22cb-a2,即c2bc222222.又,abcab-c=3ab.ab)-c

20、=3b,4b-c=3b,b=c.a=b=c,UABC为等边三角形.解法2：(边化角)：ABC=180,sinC=sinAB.又2cosA_SinB=sinC,.2cosAinB=sinA|_cosBcosAJsinB,sinA-B=0.又A与B均为ABC的内角,A=B.22又由(a+b+ca+bc)=3ab,得(a+b)-c=3ab,222_.2.221a+b-c+2ab=3ab,即a+b-c=ab,由余弦定理得cosC=一,2而0vC0,a+bc,222二k+(k+2)v(k+4),解得-2kk+4,k2.故2vkv6.故k的取值范围是2,6.【解题策略】应用三角形三边关系时,应注意大边对大

21、角.考察点3：利用余弦定理证实三角形中的等式问题例5在中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,(1)求证acosB+bcosA=c;2C2A1(2)求证acos一+cos=(a+b+c).222【点拨】此题考察余弦定理及余弦定理与二倍角公式的综合应用.实用标准文案c2b2.2.22.22证实：(1)左边:ahaJb-+b上一心工2ac2bc文档22,2,222ac-bbc-a+2bc2c2=c=右边,故原式成立.2c2-22.222、1a+b-cx1b+caa+c+1.=3a+b+c=右边,故原式成乂.【解题策略】1小题利用余弦定理将角化为边.2小题先降哥,然后利用余弦定理将角化为边.例6在A

22、BC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c.sinC【点拨】此题考察余弦定理及余弦定理与两角和差正弦公式的综合应用sinBcsinC实用标准文案2ac(2)左、力a1cosCc1cosA2,221ab-c,2221+b+c-a2ab2bc2l2b2ba2-b2sinA-B1求证a-ccosBsinB(2)求证=b-ccosAsinA证实：(1)由a2=b2+c22bccosA得;2,2a-b2c-2bccosA=1-2bcosAoc2,2,a-b/_sinB八sinC-2sinBcosA=1-2cosA=sinCsinCsinAB)-2cosAsinBsinAcosB-cosAsinBsinC

23、sinCsinABsinC故原式成立.文档实用标准文案(2)左边ac-ba-c2acL222,bc-ab-c2bc22222a-a-cb_2a=2b2-b2-c2a22b22a-cb22ab222-一b-caa皿右边.sinA2b故原式成立.考察点4:正余弦定理的综合应用例7：在ABC中,b=V31a,C=30：求A,B.【点拨】此题主要考察正、余弦定理的综合应用.解：b=3-1a,c2=b2a2-2abcosCW+22一勿251产日二：4-2,3a2a2-,3.3-1a2h：2-,3a2.a0,c0,c=2-3a,=.21.3.a由正弦定理得c=snC,asinA.2-3_、31_.6222

24、.24,A=75或105.由b=.3-1a知ab,假设A=75：那么B=180“A+C=75：a=b,与矛盾.A=105,B=180-AC=45.【解题策略】此题边未知,一角,所以考虑使用余弦定理得a,c的关系,再结合正弦6262定理求sinA.注意特殊角的三角函数值,如：sin75=2,sin15=2.44例8：设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,b2+c2=a2+J3bc,文档sinC12(1)求A的大小;(2)求2sinBcosC-sin(B-C)的值.【点拨】此题考察余弦定理,和角、差角的正弦公式的综合应用.卜2+22解：(1)由余弦定理a2=b2+c22bccosA,得c

25、osA=2bc所以A=三.62sinBcosC-sin(B-C)=2sinBcosC-sinBcosC-cosBsinC=sinBcosCcosBsinC=sinBC1=sinf冗一A=sinA=.2例9：设UABC得到内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且acosB=3,bsinA=4.(1)求边长a；(2)假设IJABC的面积S=10,求|_|ABC的周长l.【点拨】此题考察正弦定理、余弦定理、三角形面积公式及同脚三角函数关系式的综合应用.解：(1)acosB=3,bsinA=4.3acosBacosBbcosB,将两式相除,有一=cotB.4bsinAsinAbsinBb又由acosB

26、=3知cosB0,_3._4一那么cosB=-,sinB=-,那么a=5.551(2)由S=-acsinB=10,得c=5.2222ac-b由cosB二2ac故l=1025o【解题策略】把两个关系式相除是此题的难点,也是解决此题的关键,相除之后出现a,使用正弦定理使问题得到顺利解决.sinA易错疑难解析易错点利用余弦定理判断三角形的形状时出现漏解情况【易错点辨析】在等式两边同时约去一个因式时,需要十分小心,当该因式恒正或恒负时可以约去,一定要预防约去可能为零的因式而导致漏解.实用标准文案,3bc.3一2bc一2=.,得b=25/5.5文档实用标准文案例1：在ABC中,acosA=bcosB,试

27、判断ABC的形状.【错解】由余弦定理得：,22222,2bc-a,ac-b二b2bc2ac4.22.22.4-a=babc-b,2,222,22,2a-bc=aba-b,故口ABC为直角三角形.【点拨】利用余弦定理把等式中角的形式转化为边的形式,其思路是正确的,但是在等式变形中约去了可能为零的因式a2-b2,产生了漏解的情况,导致结论错误.【正解】由余弦定理得：222222bc-a,ac-ba二bt2,2,2.2,22,2,t2,2,22,2.Ca-bc=aba-b,.a-bc-a-b=0,二a4或c2=a2+b2. uABC为等腰三角形或直角三角形.易错点易忽略题中的隐含条件而导致错误【易错

28、点辨析】我们在解题时要善于应用题目中的条件,特别是隐含条件,全面、细致地分析问题,如以下题中的ba就是一个重要条件.例2：在ABC中,a=2,b=2&,C=151求A.【错解】由余弦定理,得c2=a2b2-2abcosC=48-2222吏=8-43,.c=6-.2.4一asinC1由正弦TE理,得sinA=一.又0vAv180,A=30或150.c2【点拨】注意到条件中b=2j5a=2这一隐含条件,那么BA,显然A=150是不可能的.【正解】由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcosC=8-473Ac=76-72.asinC1又由正弦TE理,得sinA=.ba,BA.又0vAv180

29、,A=30c22,222,222,2.abc-a=bac-b,2.222abac2bc2ac文档实用标准文案高考真题评析例1:2022.山东模拟在口ABC中,D为BC边上一点,BC=3BD,AD=J2,NADB=135.,假设AC=T2AB,那么BD=.【命题立意】此题主要考察余弦定理与方程组的应用.【点拨】如图1-13所示,设AB=k,那么AC=J2k,再设BD=x,那么DC=2x,在ABD中,COLfJ2C_由余弦定理得k2=x2+2-2x72-=x2+2+2x.在ADC中,由余弦定理12J得2k2=4x2+2-22x亚必=4x2+24x,k2=2x2+1-2x.由得2x24x1=0,解得

30、x=2+J5负值舍去,故填2+J5.【名师点评】根据题意画出示意图由CD=2BD,AC=/2AB,设出未知量,在两个三角形中分别图1-13例2：2022.天津高考在ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,假设a2-b2=bc,sinC=273sinB,那么A等于A.30B.60C.120D.150【命题立意】此题考察正、余弦定理的综合应用,考察分析问题、解决问题的水平.【点拨】由sinC=2j3sinB,根据正弦定理得c=2,3b,代入a2-b2=石bc,得a2-b2=6b2,即a2=7b2,由余弦定理得选A【名师点评】应用正弦定理把条件中sinC=2j3sinB,转化成边b,c的关系

31、,再代入得a,b的关系,利用余弦定理变形形式求角的余弦值.cosA二222bc-a2bc222b2_12b2二7b22b2.36b23丁一=又0VAv1804.3b22,AA=30口故利用余弦定理,然后联立方程组求解.文档实用标准文案例3:2022.北京高考某班设计了一个八边形的班徽如图1-14所示,它由腰长为1,顶角为a的四个等腰三角形,及其底边构成的正方形所组成,该八边形的面积为A.2sina_2cosa2B.sina-3cosa3C.3sina-3cosa1D.2sina-cosa1【命题立意】此题考察了用余弦定理理解三角形以及三角形面积公式和图形的分割求和等知识.【点拨】三角形的底边长

32、为x=y/1+1-2x1x1xcosa=,2-2cosa,1/.2.S=4S三角形琏方形=4-11sinax=2sina2-2cosa=2sina-2cosa2应选A.【名师点评】此题难度较低,该八边形由4个等腰三角形和一个正方形组合而成,应用余弦定理求正方形的边长是关键.例4：2022.安徽高考设LIABC是锐角三角形,a,b,c分别是内角A,B,C所对边长,且 2A二sinA=sinI-+BIsin.-Bl+sinB.313)(1)求角A的值；(2)假设ABAC=12,a=2,求b,c(其中bvc)【命题立意】此题考察两角和的正弦公式,同脚三角函数的根本关系,特殊角的三角函数值,余弦定理,向量的数量积等知识.解：1由于sin2A=i-cosB+-sinB|-cosB-1sinB+sin2B32_12_2_3=cosBsinBsinB=一,444所以sinA=.又A为锐角,所以2I(2)由ABAC=12,得cbcosA=12.由(1)知JIA=1.所以cb=24.3由余弦定理知a2=c2+b22cbcosA将a=2/7及代入,得c2+b2=52,2一+X2,得(c+b)=100,所以c+b=10.二次方程t210t+24=0的两个根,解此方程并由bvc知c=6,b=4.文档